Příklad 6: Trojúhelník pod parabolou
Je dána parabola o rovnici y = 3-x^2/4. Nad osou x vedeme rovnoběžku s touto osou tak, že tato rovnoběžka protíná parabolu ve dvou různých bodech A a B. Situace je znázorněna v následujícím apletu. Bod C leží v počátku soustavy souřadnic.
Jakou vzájemnou vzdálenost mají mít body A a B, aby byl obsah trojúhelníku ABC maximální, a jaký bude tento obsah?
Řešení
Z obrázku a rovnice paraboly vidíme, že \; B = \left[x,3-\dfrac{x^2}{4}\right],\;\; A = \left[-x,3-\dfrac{(-x)^2}{4}\right] = \left[-x,3-\dfrac{x^2}{4}\right] a \; C = \left[0,0\right].
Výška trojúhelníku \; v_c = 3-\dfrac{x^2}{4}.
1. Nejdříve identifikujeme proměnnou, jejíž extrém budeme hledat, a typ extrému (maximum nebo minimum).
Maximalizujeme obsah trojúhelníku ABC. Označme tuto proměnnou písmenem s.
Obsah trojúhelníku je
s = \dfrac{|AB|\cdot v_c}{2} = \dfrac{2x\cdot(3-x^2/4)}{2} = 3x-\dfrac{1}{4}x^3.
2. Ze vztahů mezi proměnnými docílíme jejich redukce tak, aby proměnná, jejíž extrém hledáme, závisela jen na jedné nezávislé proměnné.
Zde nemusíme nic redukovat, neboť proměnná s závisí pouze na proměnné x.
3. Dále určíme definiční obor nezávislé proměnné x, na níž závisí proměnná s, jejíž extrém hledáme.
Protože bod B leží v prvním kvadrantu, musí být x \gt 0. Protože body A a B leží nad osou x, musí být jejich y-ová souřadnice kladná, tedy 3-x^2/4 \gt 0, tedy x \lt 2\sqrt{3}.
Definiční obor proměnné x je
x \in ( 0, 2\sqrt{3}) .
4. Nyní přepíšeme vztah s = 3x-x^3/4 pro x \in ( 0, 2\sqrt{3}) do tvaru funkčního předpisu. Místo proměnné s napíšeme f(x). Z definičního oboru proměnné x stanovíme definiční obor funkce f.
f(x) = 3x-\dfrac{1}{4}x^3 s definičním oborem D(f) = ( 0, 2\sqrt{3}) .
5. Najdeme hledaný extrém.
Hledáme globální maximum. Platí, že f^{\prime}(x) = 3-\dfrac{3}{4}x^2.
Vzhledem k tomu, že funkce f má definovanou derivaci na celém intervalu ( 0, 2\sqrt{3} ), tak body „podezřelými z extrému“ jsou pouze stacionární body funkce f.
Stacionární body splňuji rovnici 3-\dfrac{3}{4}x^2 = 0. Řešením z definičního oboru funkce f je
x = 2.
Ověříme, zda má funkce f ve stacionárním bodě x = 2 globální maximum.
Funkce f je na intervalu ( 0, 2\sqrt{3} ) spojitá. Její derivace je na tomto intervalu všude definovaná. Navíc tam má jediný stacionární bod x = 2. Proto přicházejí v úvahu pouze tyto možnosti:
(a) funkce f je na intervalu ( 0, 2 \rangle klesající a na intervalu \langle 2, 2\sqrt{3} ) rostoucí;
(b) funkce f je na intervalu ( 0, 2 \rangle rostoucí a na intervalu \langle 2, 2\sqrt{3} ) klesající;
(c) funkce f je na intervalu ( 0, 2\sqrt{3} ) buď jen rostoucí, nebo jen klesající.
Přitom jsme využili teorii z kapitoly Monotónnost a extrémy, podkapitoly Monotónnost tabulkovou metodou. Dále využijeme teorii z podkapitoly Lokální extrémy pomocí 2. derivace.
Určíme znaménko druhé derivace funkce f ve stacionárním bodě x = 2:
f^{\prime\prime}(x) = -\dfrac{3}{2}x.
Platí, že f^{\prime\prime}(2) = -3 \lt 0. To znamená, že funkce f má v bodě x = 2 ostré lokální maximum.
Proto nemohou platit možnosti (a) a (c). Musí tedy platit možnost (b). To znamená, že funkce f má v bodě x = 2 globální maximum.
6. Zapíšeme řešení.
Trojúhelník má maximální obsah pro x = 2, tedy pro |AB| = 4.
Obsah takového trojúhelníku je f(2) = 4.
Odkazy na příklady