Frekvence úročení
Doposud jsme se zabývali situací, ve které jsme měli roční úrokovou sazbou a vklad jsme úročili ročně. Nyní se budeme zabývat i ostatními případy. Konkrétně se podíváme, jak probíhá jednoduché a složené úročení v situaci, kdy uvažujeme roční úrokovou sazbou a vklad bychom úročili \(p\)-krát do roka (např. \(p=12\), tj. měsíčně), \(p\in\mathbb{N}\). Úrokovací období je tedy kratší než rok.
Můžeme se setkat s finančními nabídkami, které uvádějí roční úrokovou sazbu, a mají různou délku úrokovacího období. Proto si nyní odvodíme vztah pro tzv. efektivní úrokovou sazbu. Efektivní úroková sazba pomáhá porovnat výslednou úrokovou sazbu (úvěrů či spoření) při rozdílných frekvencí úročení.
Definice
Efektivní úroková sazba (míra) je roční úroková sazba, která dává za rok při ročním úrokovacím období stejný úrok jako roční úroková sazba při úrokovacím období kratším než 1 rok.
Značení \(i_{ef}\dots\) efektivní úroková sazba \(i\,\dots\,\,\,\) roční úroková sazba \(\frac{i}{p}\,\dots\,\) úroková sazba pro \(p\)-tinu roku
Je-li roční úroková sazba \(i=2\,\%\) a úrokovací období je půlroční (tj. \(p=2\)), pak \(\frac{i}{p}=\frac{i}{2}=1\,\%\).
Různé frekvence - jednoduché úročení
Nejdříve si odvodíme vztah mezi efektivní úrokovou sazbou a úroková sazba pro \(12\)tinu roku pro jednoduché úročení na následujícím příkladu.
Kapitál \(K_0=1\,\text{Kč}\) chceme uložit na bankovní účet na 1 rok. Uvažujme následující dva způsoby úročení. Daň z úroku neuvažujeme.
Bude nás zajímat stav účtu pro oba způsoby, vše je názorně ukázáno v tabulce 2.3.1.
| 1. způsob v Kč | 2. způsob v Kč | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Měsíc | Úrok | Celkový úrok | Stav účtu | Úrok | Celkový úrok | Stav účtu |
| \(1.\) měsíc | 0 | 0 | \(1\) | \(1\cdot \frac{0,02}{12} \) | \(\frac{0,02}{12} \) | \(1+\frac{0,02}{12}\) |
| \(2.\) měsíc | 0 | 0 | \(1\) | \(\frac{0,02}{12} \) | \(2\cdot\frac{0,02}{12} \) | \(1+2\cdot\frac{0,02}{12}\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(12.\) měsíc | \(i_{ef}\) | \(i_{ef}\) | \(1+i_{ef}\) | \(\frac{0,02}{12}\) | \(12\cdot\frac{0,02}{12}\) | \(1+12\cdot\frac{0,02}{12}\) |
Kapitál v Kč na konci roku dle 1. způsobu bude \(1+i_{ef}\). Kapitál v Kč na konci roku dle 2. způsobu bude \(1+12\cdot\frac{0,02}{12}=1+0,02\). Požadujeme \(1+i_{ef}=1+0,02\).
V tomto konkrétním příkladu platí \(i_{ef}=0,02\), tedy \(2\,\%\).
Nyní si obecně odvodíme vztah pro efektivní úrokovou sazbu u jednoduchého úročení.
Kapitál \(K_0=1\,\text{Kč}\) chceme uložit na bankovní účet na 1 rok. Uvažujme následující dva způsoby úročení. Daň z úroku neuvažujeme.
Bude nás zajímat stav účtů pro oba způsoby, vše je názorně ukázáno v tabulce 2.3.2.
| 1. způsob v Kč | 2. způsob v Kč | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| čas v \(p\)-tinách roku | Úrok | Celkový úrok | Stav účtu | Úrok | Celkový úrok | Stav účtu |
| \(0\) | \(1\) | 1 | ||||
| \(1\) | 0 | 0 | \(1\) | \(1\cdot \frac{i}{p} \) | \(\frac{i}{p} \) | \(1+\frac{i}{p}\) |
| \(2\) | 0 | 0 | \(1\) | \(\frac{i}{p} \) | \(2\cdot\frac{i}{p} \) | \(1+2\cdot\frac{i}{p}\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(p\) | \(i_{ef}\) | \(i_{ef}\) | \(1+i_{ef}\) | \(\frac{i}{p}\) | \(p\cdot\frac{i}{p}\) | \(1+p\cdot\frac{i}{p}\) |
Kapitál v Kč na konci roku dle 1. způsobu bude \(1+i_{ef}\). Kapitál v Kč na konci roku dle 2. způsobu bude \(1+p\cdot\frac{i}{p}=1+i\). Požadujeme \(1+i_{ef}=1+i\).
Vztah mezi efektivní úrokovou sazbou \(i_{ef}\) a roční úrokovou sazbou \(i\) s úrokovacím obdobím kratším než rok u jednoduchého úročení je \(i_{ef}=i\).
Různé frekvence - složené úročení
Nejdříve si odvodíme vztah mezi efektivní úrokovou sazbou a roční úrokovou sazbou u složeného úročení na následujícím příkladu.
Kapitál \(K_0=1\,\text{Kč}\) chceme uložit na bankovní účet na 1 rok. Uvažujme následující dva způsoby úročení. Daň z úroku neuvažujeme.
Bude nás zajímat stav účtů pro oba způsoby, vše je názorně ukázáno v tabulce 2.3.3.
| 1. způsob v Kč | 2. způsob v Kč | |||
|---|---|---|---|---|
| Měsíc | Úrok | Stav účtu | Úrok | Stav účtu |
| \(1.\) měsíc | 0 | 1 | \(1\cdot \frac{0,02}{12} \) | \(1+\frac{0,02}{12}\) |
| \(2.\) měsíc | 0 | 1 | \(\big(1+\frac{0,02}{12}\big)\cdot \frac{0,02}{12} \) | \(\big(1+\frac{0,02}{12}\big)^2\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(12.\) měsíc | \(i_{ef}\) | \(1+i_{ef}\) | \(\vdots\) | \(\big(1+\frac{0,02}{12}\big)^{12}\) |
Kapitál v Kč na konci roku dle 1. způsob bude \(1+i_{ef}\). Kapitál v Kč na konci roku dle 2. způsob bude \(\big(1+\frac{0,02}{12}\big)^{12}\). Požadujeme \(1+i_{ef}=\big(1+\frac{0,02}{p}\big)^{12}\).
V tomto konkrétním příkladu platí \(i_{ef}=\big(1+\frac{0,02}{p}\big)^{12}-1\).
Nyní si odvodíme obecný vztah pro efektivní úrokovou sazbu u složeného úročení.
Kapitál \(K_0=1\,\text{Kč}\) chceme uložit na bankovní účet na 1 rok. Uvažujme následující dva způsoby úročení. Daň z úroku neuvažujeme.
Bude nás zajímat stav účtů pro oba způsoby, vše je názorně ukázáno v tabulce 2.3.4.
| 1. způsob v Kč | 2. způsob v Kč | |||
|---|---|---|---|---|
| Čas v \(p\)-tinách roku | Úrok | Stav účtu | Úrok | Stav účtu |
| \(0\) | 0 | 1 | \(\) | 1 |
| \(1\) | 0 | 1 | \(1\cdot \frac{i}{p} \) | \(1+\frac{i}{p}\) |
| \(2\) | 0 | 1 | \(\big(1+\frac{i}{p}\big)\cdot \frac{i}{p} \) | \(\big(1+\frac{i}{p}\big)^2\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(p\) | \(i_{ef}\) | \(1+i_{ef}\) | \(\vdots\) | \(\big(1+\frac{i}{p}\big)^p\) |
Kapitál v Kč na konci roku dle 1. způsob bude \(1+i_{ef}\). Kapitál v Kč konci roku dle 2. způsob bude \(\big(1+\frac{i}{p}\big)^p\). Požadujeme rovnost \(1+i_{ef}=\big(1+\frac{i}{p}\big)^p\).
Úloha
Chceme uložit kapitál na termínovaný vklad do banky na jeden rok. Banka A úročí denně a má roční úrokovou sazbu 1,29 %. Banka B úročí půlročně a má roční úrokovou sazbu 1,30 %.
Obě banky úročí složeným úročením.
Jaká bude efektivní úroková míra termínovaného vkladu zaokrouhlená na tisíciny procenta pro obě banky?
Který termínovaný vklad je finančně výhodnější?
Uvažujme počáteční kapitál je \(K_0=1\,000\,000\,\text{Kč}\). Roční úroková sazba je \( i=0,1\) a úroková sazba pro \(p\)-tinu roku je \( \frac{i}{p}\). Vklad úročíme složeným úročením. Daň z úroku neuvažujeme.
V tabulce 2.3.5 ukazujeme, jak se mění hodnota kapitálu po jednom roce \(K_1\), pokud volíme různé úrokovací období.
| \(p\) | \(K_1=K_0\cdot\big(1+\frac{i}{p}\big)^p\) |
|---|---|
| 1 | \(1\,100\,000\,\text{Kč}\) |
| 2 | \(1\,102\,500\,\text{Kč}\) |
| 4 | \(1\,103\,813\,\text{Kč}\) |
| 12 | \(1\,104\,713\,\text{Kč}\) |
| 52 | \(1\,105\,065\,\text{Kč}\) |
| 365 | \(1\,105\,156\,\text{Kč}\) |
Pokud neuvažujeme daň z úroku, pak platí:
kapitál, který se úročí pomocí jednoduchého úročení, po \(n\) letech je
kapitál, který se úročí pomocí složeného úročení, po \(n\) letech je
kde \(K_0\) je počáteční kapitál, \(i\) je roční úroková sazba a \(p\) je počet úročení v jednom roce.
