Matematiky pro Fyziky I - cvičení

  • Kdy a kde: Út, 9:50 - 11:20, M2, Pá, 10:40 - 12:10, M3
  • Během cvičení budeme psát dvě písemky, za které je nutné získat alespoň polovinu bodů z maximálního součtu.
  • Podmínky zápočtu jsou zde.
  • Doporučuji zúčastnit se všech cvičení, ale docházka není nutná. Doporučuji také propočítat si cvičebnici Kopáček a kol. pro 3. semestr.
  • Po osobní domluvě jsou možné individuální konzultace

Příklady na cvičení

  1. Ut 29.9., Pa 2.10.: Variační počet
  2. Ut 6.10., Pa 9.10.: Variační počet
  3. Ut 13.10., Pa 16.10.: Posloupnosti funkcí
  4. Ut 20.10., Pa 23.10.: Řady funkcí
  5. Ut 27.10., Pa 30.10.: Lebesgueův integrál
  6. Ut 3.11., Pa 13.11.: Lebesgueova věta, Leviho věta
  7. Ut 10.11., Pa 20.11.: Integrály s parametrem, 1. písemka (posloupnosti a řady funkcí)
  8. Ut 24.11.:, Pa 27.11.: Fubiniho věta a věta o substituci
  9. Ut 1.12., Pa 4.12.: Fubiniho věta a věta o substituci
  10. Ut 8.12., Pa 11.12.: Křivkový integrál a obsahy ploch
  11. Ut 15.12., Pa 18.12.: Plošný integrál 1. druhu
  12. Ut 5.1., Pa 8.1.: Plošný integrál 2. druhu, Gaussova a Stokesova věta

Dobrovolné domácí úkoly

  1. Fata morgana (jako 4 příklady): Uvažujme, že index lomu vzduchu klesá s výškou \(n(y) = n_0 e^{-y/h}\). Podle Fermatova principu se paprsky světla šíří po dráze, která jim zabere nejmenší čas, a jejich rychlost je \(v = c/n\), kde \(c\) je rychlost světla. Napište funkcionál měřící celkový čas dráhy paprsku mezi body \((x_1, y_1) = (0,0)\) a \((x_2,y_2) = (L,0)\) a jeho minimializací najděte danou dráhu (klidně přibližně).
  2. MacGyver (5 příkladů): Pro sestrojení výbušniny použije MacGyver žvýkačku připevněnou na okraje čtvercového rámečku o hranách délky 1, jehož rohy jsou v bodech (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). V termodynamické rovnováze žvýkačka zaujme minimální povrch. Nicméně z povětrnostních důvodů má omezení
    \(\int_0^1 \int_0^1 u(x,y) \sin(\pi x) \sin(\pi y) dx dy = 0.01\),
    kde \(u(x, y)\) označuje výšku povrchu žvýkačky nad rovinou rámečku. Jaký přibližně tvar žvýkačka zaujme?