Požadavky ke zkoušce z předmětu Matematika IV, LS 2022/2023

Klíčové pojmy z Matematiky I

• supremum a infimum množiny reálných čísel
• limita posloupnosti
• limita funkce v bodě
• spojitost funkce v bodě
• derivace funkce v bodě

Klíčové pojmy z Matematiky II

• otevřená množina
• kompaktní množina
• maximum/minimum funkce na množině
• parciální derivace
• funkce třídy C¹
• konvexní množina
• konkávní funkce
• matice typu m×n
• součin matic
• determinant matice
• konvergentní řada
• Riemannův integrál

Klíčové pojmy z Matematiky III

• primitivní funkce
• vektorový prostor
• lineární kombinace vektorů
• báze vektorového prostoru
• lineární zobrazení

Klíčové pojmy

• diferenciální rovnice
• řešení diferenciální rovnice
• maximální řešení diferenciální rovnice
• diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
• autonomní diferenciální rovnice
• lineární diferenciální rovnice prvního řádu
• homogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu
• lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
• homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
• fundamentální systém lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
• soustava diferenciálních rovnic
• soustava lineárních diferenciálních rovnic

Definice

• lineární diferenční rovnice k-tého řádu s konstantními koeficienty
• řešení diferenční rovnice
• počáteční úloha pro diferenční rovnici
• diferenciální rovnice
• řešení diferenciální rovnice
• maximální řešení diferenciální rovnice
• diferenciální rovnice vyřešená vzhledem k nejvyšší derivaci; řád diferenciální rovnice
• rovnice se separovanými proměnnými
• singulární řešení rovnice se separovanými proměnnými
• autonomní diferenciální rovnice
• lineární diferenciální rovnice prvního řádu
• homogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu
• lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
• homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého
• fundamentální systém pro homogenní lineární diferenciální rovnici n-tého řádu
• fundamentální matice homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
• lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty
• homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty
• charakteristický polynom pro homogenní lineární diferenciální rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty
• vektorová funkce, vektorové zobrazení
• soustava diferenciálních rovnic
• (maximální) řešení soustavy diferenciálních rovnic
• počáteční úloha pro soustavu diferenciálních rovnic
• soustava lineárních diferenciálních rovnic
• fundamentální matice soustavy lineárních diferenciálních rovnic
• soustava lineárních diferenciálních rovnic s konstatními koeficienty
• homogenní soustava lineárních diferenciálních rovnic s konstatními koeficienty
• lambda-matice
• řádkové úpravy lambda-matice

Věty a metody řešení

• existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy pro lineární diferenční rovnici k-tého řádu s konstantními koeficienty
• struktura množiny řešení homogenní lineární diferenční rovnice k-tého řádu s konstantními koeficienty
• tvar fundamentálního systému řešení homogenní lineární diferenční rovnice k-tého řádu s konstantními koeficienty (bd)
• tvar řešení lineární diferenční rovnice k-tého řádu s konstantními koeficienty
• řešení diferenční rovnice k-tého řádu s konstantními koeficienty se speciální pravou stranou (bd)
• metoda řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
• monotonie řešení autonomní diferenciální rovnice 1. řádu (T)
• divergence ∫_a^b1/g
• kvalitativní analýza řešení autonomních diferenciálních rovnic
• metoda řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu
• existence a jednoznačnost maximálního řešení pro lineární diferenciální rovnici n-tého řádu (bd)
• vlastnosti množiny řešení lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
• metoda variace konstant pro lineární diferenciální rovnice n-tého řádu (včetně regularity fundamentální matice) (T)
• tvar fundamentálního systému řešení homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty (bd)
• metoda speciální pravé strany pro lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty (bd)
• Peanova věta o existenci řešení soustavy diferenciálních rovnic (bd)
• existence a jednoznačnost řešení soustavy diferenciálních rovnic (bd)
• opouštění kompaktu (T)
• ekvivalence integrální a diferenciální rovnice
• Gronwallovo lemma (T)
• spojitá závislost na počátečních podmínkách (T)
• existence a jednoznačnost řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic (T)
• vlastnosti množiny řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic
• regularita fundamentální matice pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic (bd)
• variace konstant pro soustavu lineárních diferenciálních rovnic (T)
• úprava lambda-matice (bd)
• metoda řešení homogenní soustavy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty (včetně hladkosti řešení)