Požadavky ke zkoušce z předmětu Matematika II, LS 2021/2022

Klíčové pojmy z Matematiky I

• supremum a infimum množiny reálných čísel
• limita posloupnosti
• limita funkce v bodě
• spojitost funkce v bodě
• derivace funkce v bodě

Klíčové pojmy

• otevřená koule
• otevřená množina
• uzavřená množina
• konvergence posloupnosti v Rⁿ
• funkce spojitá na množině
• kompaktní množina
• maximum/minimum funkce na množině
• lokální maximum/minimum funkce vzhledem k množině
• parciální derivace
• funkce třídy C¹
• konvexní množina
• konkávní funkce
• matice typu m×n
• sčítání matic, násobení matice reálným číslem
• součin matic
• regulární matice
• inverzní matice
• lineárně závislé a nezávislé vektory
• hodnost matice
• elementární řádkové úpravy
• determinant matice
• součet nekonečné řady
• konvergentní řada
• absolutně konvergentní řada
• Riemannův integrál

Definice

• euklidovská metrika
• vnitřní bod množiny
• vnitřek množiny
• hraniční bod množiny
• hranice množiny
• uzávěr množiny
• omezená množina
• funkce spojitá v bodě vzhledem k množině
• funkce spojitá v bodě
• ostré maximum/minimum funkce na množině
• ostré lokální maximum/minimum funkce vzhledem k množině
• lokální maximum/minimum
• ostré lokální maximum/minimum
• limita funkce v bodě
• tečná nadrovina
• gradient funkce
• stacionární bod funkce
• parciální derivace druhého řádu
• funkce třídy C^k a C^∞
• konvexní funkce
• ryze konkávní/konvexní funkce
• kvazikonkávní/kvazikonvexní funkce
• ryze kvazikonkávní/kvazikonvexní funkce
• jednotková matice
• transponovaná matice
• lineární kombinace vektorů
• schodovitá matice
• transformace matice
• horní/dolní trojúhelníková matice
• matice soustavy
• rozšířená matice soustavy
• lineární zobrazení
• kanonická báze prostoru Rⁿ
• částečný součet řady
• divergentní řada
• neabsolutně konvergentní řada
• přerovnání řady
• dělení intervalu
• zjemnění dělení
• stejnoměrně spojitá funkce

Věty s lehčím důkazem

• vlastnosti euklidovské metriky
• vlastnosti otevřených množin
• charakterizace konvergence posloupností v Rⁿ
• charakterizace uzavřených množin
• vlastnosti uzavřených množin
• omezenost uzávěru
• spojitost a úrovňové množiny
• omezenost spojité funkce
• nutná podmínka lokálního extrému
• funkce třídy C¹ a spojitost
• o úrovňových množinách konkávní funkce
• o extrému konkávní funkce třídy C¹
• o jednoznačnosti extrému
• o úrovňových množinách kvazikonkávní funkce
• vlastnosti transponovaných matic
• regularita a maticové operace
• součin a transformace
• determinant trojúhelníkové matice
• regularita a determinant
• o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic
• o soustavách s regulární maticí
• o lineárních bijekcích na Rⁿ
• o skládání lineárních zobrazení
• nutná podmínka konvergence řady
• srovnávací kritérium pro řady
• o vztahu konvergence a absolutní konvergence
• limitní srovnávací kritérium pro řady
• Cauchyovo odmocninové kritérium
• o spojitých funkcích a Riemannově integrálu

Věty s obtížnějším důkazem

• Heineova věta
• charakterizace kompaktních množin v Rⁿ
• o nabývání extrémů funkce
• slabá Lagrangeova věta
• o tečné nadrovině
• derivace složené funkce
• o implicitní funkci
• Lagrangeova věta o multiplikátoru v R²
• charakterizace konkávních funkcí třídy C¹
• vlastnosti maticového násobení
• vlastnosti transformace
• regularita a hodnost matice (včetně lemmatu o transformaci na jednotkovou matici)
• determinant a elementární transformace
• determinant součinu
• Cramerovo pravidlo
• reprezentace lineárních zobrazení
• konvergence řady ∑1/n^α
• Leibnizovo kritérium
• kritérium existence Riemannova integrálu
• o Riemannově integrálu přes podintervaly
• linearita Riemannova integrálu
• Riemannův integrál a nerovnosti
• o spojitosti a stejnoměrné spojitosti
• o integrálu s proměnnou horní mezí

Věty bez důkazu

• vlastnosti vnitřku a uzávěru
• spojitost a aritmetické operace
• spojitost a skládání funkcí
• o limitě složené funkce více proměnných
• o záměnnosti parciálních derivací
• o implicitních funkcích
• Lagrangeova věta o multiplikátorech s více vazbami
• o vztahu konkávnosti a spojitosti
• charakterizace ryze konkávních funkcí třídy C¹
• determinant a transpozice
• o rozvoji determinantu
• d'Alembertovo podílové kritérium
• o přerovnání absolutně konvergentních řad