Nechť A je komplexní čtvercová matice řádu 3, která má vlastní číslo 1+i a jeden z příslušných vlastních vektorů je (1,1+i,i)^T. Pak
1-i je vlastní číslo matice A*, ale (1,1-i,-i)^T nemusí být příslušným vlastním vektorem.

***

Je-li A reálná čtvercová normální matice řádu 4, pak
existuje ortogonální báze B prostoru C^4 taková, že matice operátoru f_A  vzhledem k B je diagonální.

Pozor, reálná báze existovat nemusí. Co když jsou ta vlastní čísla imaginární? Pak by to reálnými vektory transformovat nešlo. (Viz Př. 10.36).

***

Existuje komplexní čtvercová matice A s vlastním číslem 1+i, která navíc splňuje
A normální

Ostatní případy vylučují ty speciální spektrální věty, kde se chce, aby vlastní čísla byla reálná, resp. s absolutní hodnotou 1.

***

Buď f rotace v R3 kolem osy procházející počátkem o úhel 37 stupňů. Pak
Operátor f je unitárně diagonalizovatelný.

Pozor na stejnou věc jako u druhé otázky. Rotace má imaginární vlastní čísla, takže reálným způsobem to diagonalizovat nejde. Vlastní vektory jsou nutně imaginární.