Uvažujte rovinnou symetrii v R^3 kolem roviny dané souřadnicovými osami x,y. Které z následujících podprostorů R^3 jsou invariantní?
přímka daná osou z
přímka daná osou x
rovina daná osami z,x

***

Buď f rotace v R^3 o 90 stupňů podle jisté osy. Budeme sledovat důkaz existence Jordanova tvaru nad komplexními čísly (viz sekce 9.4.11). Za lambda zvolíme číslo 1. Pro jaký podprostor použijeme indukční předpoklad?
Pro rovinu kolmou na osu rotace.

***

Které z následujících výroků platí pro každou čtvercovou matici A a její charakteristický polynom p?
Pokud f=pg pro nějaký polynom g, pak f(A)=0.

Pozor, opačná implikace neplatí!

***

Které z následujících výroků platí pro každou reálnou regulární matici A řádu 5? Vše se rozumí ve vektorovém prostoru reálných matic 5x5.
Matice A^(-1) je lineární kombinací matic I_5,A,A^2,A^3,A^4.

Pozor, to neznamená, že třeba třetí mocnina je LK ostatních!
Matice I_5,A^(-1),...,A^(-5) jsou také lineárně závislé (přenásobte identitu A^(-5)), ale matice I_5,A^(-1),...,A^(-4) nikoliv, těch je málo.