• View
• Edit
• History
• Print

VarInvZS1112

Variace na invarianci, ZS 11/12

Pojem invariance, tedy hledání vlastností, které se zachovávají při určitých transformacích daného matematického objektu, je v matematice všudypřítomný. Rádi bychom na tomto semináři, určeném především studentům druhého ročníku, nabídli pohled na matematiku právě z tohoto úhlu. Seminář bude sestávat z několika minisérií, jejichž témata doplňují a rozšiřují látku základních přednášek. Vítáni jsou všichni zájemci o moderní geometrii a algebru.

Vladimír Souček, Dalibor Šmíd a Lukáš Krump, garanti semináře

Program v ZS 2011/12

4., 11.10. 2011. Lukáš Krump: Neeuklidovská geometrie

Spolu s Felixem Kleinem zobecníme pohybovou grupu pro euklidovskou geometrii a její invarianty. Z tohoto zobecnění nás bude zejména zajímat speciální případ hyperbolické (Lobačevského) geometrie. Dokonce odvodíme základní vztahy v hyperbolické geometrii z podmínek invariance vůči příslušné pohybové grupě. Potřebujete k tomu jen trochu vědět o kuželosečkách a o projektivním prostoru.

Attach:variace_krump_du1+2.pdf

Attach:variace_krump_du3+4.pdf s vysvětlením k Domácímu úkolu 4.

18., 25.10., a 1.11. Vladimír Souček: Harmonická analýza na konečných grupách

Harmonická analýza na komutativních grupách je typickým příkladem klíčové role, kterou hrají symetrie a jejich aplikace v klasické analýze. Všechny základní vlastnosti jsou dobře vidět už na konečných komutativních grupách. Během seminářů se seznámíme s vlastnostmi diskrétní Fourierovy transformace a jejími aplikacemi.

8.,15. a 22.11. Dalibor Šmíd: Limitní množiny Kleinovských grup

Kleinovské grupy jsou konečně generované podgrupy v grupě všech lineárně lomených zobrazení rozšířené komplexní roviny. Jejich limitní množiny tvoří pestré ZOO, mezi jehož obyvateli najdeme některé z nejpodivuhodnějších fraktálních křivek v rovině. Zmíníme se i o souvislostech s topologií a teorií čísel.Vladimír Souček: Harmonická analýza na konečných grupách

Interaktivní obrázky Moebiovských transformací, limitních množin atd.: http://www-m10.ma.tum.de/bin/view/MatheVital/IndrasPearls/WebHome

Úkol 1 (2b): Nechť ⚠ {$T$} je Moebiovská transformace.

• dokažte, že ⚠ {$T$} zachovává množinu všech kružnic a přímek v ⚠ {$C$}
• dokažte, že pro libovolné dva body ⚠ {$z,w \in C$} platí

⚠ {$$ | T(z) - T(w) | = \frac{ |z - w| }{ |cz +d| |cw + d|} $$}

• dokažte, že pro libovolné dvě trojice vzájemně různých bodů ⚠ {$(z_1,z_2,z_3)$} a ⚠ {$(w_1,w_2,w_3)$} rozšířené komplexní roviny existuje právě jedna Moebiovská transformace ⚠ {$S$} taková, že ⚠ {$S(z_i) = w_i$} pro ⚠ {$1,2,3$}.

Úkol 2 (2b):

• ukažte, že grupa ⚠ {$SL(2,R)$} 2x2 reálných matic zachovává horní polorovinu komplexní roviny
• najděte předpis pro tzv. Cayleyho zobrazení ⚠ {$K$}, které cyklicky permutuje body ⚠ {$ \infty $}, ⚠ {$1$} a ⚠ {$-i$} (rotace podle osy sférického trojúhelníka na Riemannově sféře o třetinu plného úhlu).
• ukažte, že ⚠ {$K. SL(2,R). K^{-1}$} je grupou ⚠ {$SU(1,1)$} všech ⚠ {$2x2$} komplexních matic, které zachovávají hermitovský skalární součin na ⚠ {$C^2$} se signaturou ⚠ {$(1,1)$} a mají determinant ⚠ {$1$}.

Úkol 3 (2b):

• nechť ⚠ {$T$} je Moebiovská transformace a ⚠ {$D \subset E$} jsou soustředné kruhy v ⚠ {$C$} takové, že ⚠ {$T(D) \subset T(E)$}, bod v nekonečnu je mimo ⚠ {$T(E)$}. Označme ⚠ {$r(X)$} poloměr kruhu ⚠ {$X$}. Dokažte, že

⚠ {$$\frac{r(T(E))}{r(T(D))} \geq \frac{r(E)}{r(D)}$$}

• pomocí předchozího tvrzení ukažte, že pro Schottkyho grupu definovanou čtyřmi disjunktními kruhy platí, že existují konstanty ⚠ {$C > 0$} a ⚠ {$k > 1$}, že každý kruh ⚠ {$D_w$}, kde slovo ⚠ {$w$} má délku ⚠ {$l$}, má poloměr menší než ⚠ {$C k^{-l}$}.

29.11, 6. a 13.12. Svatopluk Krýsl: Riemann-Hurwitzova věta pro Riemannovy křivky

Riemannovy křivky jsou vlastně dvoudimenzionální plochy, na nichž je možné definovat násobení komplexní jednotkou, jejich komplexní dimenze je tedy 1. Invariantem, který je od sebe odlišuje, je genus, nebo ekvivalentně též Eulerova charakteristika, která se mlčky využívá například v důkazu, že platónských těles je právě pět. Dokážeme Riemann-Hurwitzovu formuli pro výpočet genu a aplikujeme ji na případ Fermatovy křivky.

20.12., 3. a 10.1.2012. Roman Lávička: Roztočme to s kvaterniony

Budeme se zabývat otázkou, zda se dají násobit vektory v Eukleidovském prostoru libovolné dimenze. Jak jistě dobře víte, v rovině násobení vektorů vede ke komplexním číslům. Ukážeme si, že v prostoru se žádné rozumné násobení zavést nedá. V dimenzi 4 lze naproti tomu zavést aspoň nekomutativní násobení, které vede ke kvaternionům. Vysvětlíme si, jak hluboký vztah mají kvaterniony ke geometrii 3-rozměrného a 4-rozměrného prostoru - v těchto dimenzích mj. popíšeme rotace s pomocí kvaternionů.

Podmínky zápočtu

Během přednášek budeme vyhlašovat domácí úkoly různé obtížnosti, za 1, 2 a 3 body. K zápočtu je třeba odevzdat vypracované domácí úkoly alespoň za 5 bodů od alespoň dvou různých přednášejících. Domácí úkoly odevzdávejte kterémukoli z přednášejících a do jejich záhlaví uveďte (kromě svého jména), kterému přednášejícímu resp. ke kterému tématu patří.

Udělené body