Podrobny sylabus F165: Matematicka analyza pro fyziky, 1. rocnik, jak byla prednasena ve sk. r. 1994/95

---

Zimni semestr 1994/95

[ Zacatek sylabu ] [ Zimni semestr ] [ Letni semestr ] [ Studijni literatura ]

---

0. Uvod a opakovani

• Mnoziny a operace s nimi; vyroky a logika; kvantifikatory.

1. Realna cisla a posloupnosti

• 1.1. Cisla a ciselne mnoziny
  • Ciselne mnoziny (N, Q, R, C) - zavedeny intuitivne, ne axiomaticky; naznaceno, jak by slo rigorozne zavest realna cisla; nektere vlastnosti racionalnich cisel; technika dukazu sporem (odmocnina ze 2 neni racionalni).
• 1.2. Axiom o supremu
  • Mnozina cisel omezena shora, zdola; horni a dolni zavora; supremum (= nejmensi horni zavora); axiom o supremu: neprazdna shora omezena mnozina realnych cisel ma vzdy supremum.
  • Infimum, jeho existence pro neprazdnou, zdola omezenou mnozinu; definice infima a suprema pro neomezene a prazdne mnoziny, diskuse; jednoznacnost suprema a infima.
• 1.3. Zobrazeni
  • Definice zobrazeni, definicni obor, obor hodnot; obraz a vzor mnoziny; proste a inverzni zobrazeni; slozene zobrazeni.
• 1.4. Posloupnosti realnych cisel
  • Posloupnost rostouci, klesajici, nerostouci, neklesajici, monotonni a ryze monotonni, omezena; limita posloupnosti: vlastni a nevlastni; konvergentni a divergentni poslupnost.
  • Zakladni vlastnosti: konvergentni posloupnost je omezena; vety o souctu, soucinu, podilu limit; diskuse i pro nevlastni limity, definice usporadani, souctu, soucinu, podilu v R^* (s bodem "nekonecno"); dalsi vety: omezena krat jdouci k nule jde k nule; lemma o policajtech.
  • Priklady nekterych posloupnosti, chovani nerovnosti pri limitnim prechodu; monotonni posloupnost ma vzdy limitu (omezena vlastni, neomezena nevlastni); priklad: posloupnosti majici za limitu cislo, jez nazvu e. Cislo e, jeho vlastnosti: je iracionalni (s dukazem) a transcendentni (bez dukazu).
  • Vybrana posloupnost (podposloupnost); ma-li posloupnost limitu, ma i kazda vybrana stejnou limitu; hromadne body posloupnosti; veta Bolzano-Weierstrassova: z kazde omezene posloupnosti lze vybrat konvergentni podposloupnost. B-W pro pripad neomezene posloupnosti.
  • Limes superior a limes inferior a jejich vztah k limite a mnozine hromadnych bodu; racionalni cisla lze srovnat do posloupnosti; spocetne a nespocetne mnoziny (R -- bez dukazu); cauchyovska posloupnost; veta Bolzano-Cauchyova.

2. Realne funkce realne promenne

• 2.1. Zakladni vlastnosti funkci
  • Monotonie a ryzi monotonie, omezenost funkci; srovnavani funkci, rozdily mezi nerovnosti pro realna cisla a realne funkce (existuji nesrovnatelne funkce); licha, suda, periodicka funkce; ryze monotonni funkce je prosta.
• 2.2. Vlastni limita ve vlastnim bode, spojitost funkce v bode
  • Intervaly na realne ose; okoli bodu; vlastni limita ve vlastnim bode, limita zprava, zleva; zakladni vlastnosti: vlastni limita ve vlastnim bode implikuje lokalni omezenost; dalsi lokalni vlastnosti.
  • Veta o souctu, rozdilu, nasobku, podilu pro vlastni limity; vety: nerovnosti mezi limitami, omezena krat jdouci k nule, o policajtech, o absolutni hodnote.
  • Spojitost funkce v bode; souvislost s limitou v bode; dusledek: spojitost souctu, rozdilu, nasobku, podilu (v bodech nenulovosti jmenovatele), tedy: polynomy jsou spojite, jejich podily jsou spojite tam, kde je jmenovatel nenulovy; klasifikace bodu nespojitosti; veta o limite slozene funkce, o spojitosti slozene funkce.
• 2.3. Nevlastni limity a limity v nevlastnich bodech
  • Limita = nekonecno, limita v nekonecnu; ruzne verze definice, jednotny zapis pomoci okoli.
  • Prevedeni limit v nekonecnu do nuly; limity typu ``cislo delene nulou''; shrnujici veta o alg. operacich s limitami (i s nekonecny); pocitani zakladnich prikladu; veta: funkce monotonni na (jednostrannem) okoli bodu ma (jednostrannou) limitu.
• 2.4. Povidani o elementarnich funkcich
  • Co to jsou elementarni funkce; pro pocitani: zakladni limity s nimi. Elementarni funkce; polynomy a racionalni funkce; jak vzdy nalezt racionalni koreny polynomu s celociselnymi koeficienty; spojitost na intervalu; spojity obraz intervalu; spojitost inverzni funkce (vse zatim bez dukazu).
  • Zavedeni odmocnin; zavedeni funkce sin a cisla Pi , vlastnosti sin (spojitost a zakladni vztahy); zavedeni funkce cos (pomoci sin), dukaz zakladni limity pro cos; zavedeni funkci arcsin a arccos, jejich vlastnosti; slozene funkce typu sin(arcsin) apod; zavedeni funkci tg, cotg, jejich zakladni vlastnosti a prubeh; zavedeni jejich inverznich funkci arctg a arccotg. ln a exp, obecna mocnina, neurcite vyrazy v obecne mocnine.

3. Derivace

• 3.1. Derivace funkce v bode, derivace jako funkce
  • Derivace v bode, vlastni, nevlastni, jednostranna; geometricka a fyzikalni interpretace; vlastni derivace implikuje spojitost v bode; derivace jako funkce; derivovani nekterych funkci (|x|, signum atd.)
• 3.2. Zakladni vlastnosti derivace
  • Derivace souctu, rozdilu, soucinu, podilu; tabulka derivaci elementarnich funkci.
  • Derivace inverzni funkce; derivace slozene funkce, dva dukazy: spatny a korektni; uvahy o aproximaci funkce jeji tecnou na malem okoli bodu a velikost chyby, ktere se takto dopustim.
  • Symbol o (male o); pojem diferencialu jakozto linearniho zobrazeni; L'Hospitalova pravidla zatim bez dukazu; vyssi derivace; Leibnitzuv vzorec.

4. Zakladni vlastnosti spojitych a diferencovatelnych funkci

• 4.1. Vlastnosti spojitych funkci
  • Funkce spojita na intervalu (definice); veta: spojita funkce na uzavrenem intervalu je omezena.
  • Spojita na uzavrenem intervalu nabyva maxima a minima; veta o nabyvani mezihodnot (veta o reseni rovnic); spojity obraz intervalu; inverzni k spojite je spojita.
• 4.2. Vety o stredni hodnote a jejich dusledky
  • Rolleova, Lagrangeova a Cauchyho veta o stredni hodnote; duskedky pro pocitani prirustku funkce; dusledky pro monotonii funkce: f spojita, f'>0 na (a,b), potom f rostouci na (a,b) atd.
  • Dukaz L'Hospitalova pravidla, veta o limite derivace.
• 4.3. Konvexni a konkavni funkce
  • Konvexita, jeji ruzne definice. Souvislost prvni a druhe derivace s konvexitou.
  • Inflexni bod, souvislost s nulovosti druhe derivace v bode.
• 4.4. Tayloruv polynom
  • Tayloruv polynom; jeho existence a jednoznacnost: n-ty Tayloruv polynom v okoli bodu x₀ vzdy existuje, pokud existuje vlastni n-ta derivace f v x₀.
  • Presnejsi, tzv. Lagrangeuv tvar zbytku pri Taylorove polynomu; pocitani s Taylorem.

5. Primitivni funkce

• 5.1. Definice a zakladni vlastnosti
  • Primitivni funkce; neurcity integral na otevrenem intervalu a konecnem sjednoceni takovych; zakladni integraly.
  • Rovnost az na konstanty; spojita funkce ma vzdy primitivni; i nektere nespojite ji mohou mit; nektere funkce maji primitivni, ale nelze ji vyjadrit pomoci elementarnich funkci; integral souctu a nasobku konstantou; per partes; zakladni triky s nim; dve vety o substituci. Primitivni funkce je vzdy spojita.
• 5.2. Integrace racionalnich funkci
  • Rozklad na parcialni zlomky; integrace jednotlivych parcialnich kusu.

---

Letni semestr 1994/95

[ Zacatek sylabu ] [ Zimni semestr ] [ Letni semestr ] [ Studijni literatura ]

---

6. Urcity integral

• 6.1. Definice a zakladni vlastnosti Riemannova integralu
  • Deleni uzavreneho intervalu; zjemneni deleni; horni S(f,D) a dolni s(f,D) soucet pro omezene funkce; jak se chovaji horni a dolni soucty pri zjemnovani deleni; horni a dolni Riemannuv integral; Riemannuv (R-)integral; pojem riemannovsky integrovatelne funkce.
  • Nerovnosti mezi hornim a dolnim souctem a integralem; explicitne spocteny priklad (z definice); B-C podminka existence R-integralu; Veta: monotonni a omezena funkce na omezenem intervalu ma R-integral; spojitost a stejnomerna spojitost; spojita funkce na uzavrenem intervalu je stejnomerne spojita (zatim bez dukazu).
  • Spojita funkce na uzavrenem intervalu ma R-integral; linearita a monotonie R-integralu; aditivita R-integralu vzhledem k intervalu.
• 6.2. Integral s promennou mezi, Newton-Leibnitzova formule
  • Integral s promennou horni mezi; spojitost neurciteho integralu = F; derivace F v bodech spojitosti f. Dusledky: spojita funkce na otevrenem intervalu ma primitivni funkci; Newton-Leibnitzova formule: pro uzavreny kazdy podinterval otevreneho intervalu, pro f spojitou v uzavrenem intervalu az do kraju.
• 6.3. Zobecneny Riemannuv integral
  • Zobecneny Riemannuv integral, Newton-Leibnitzova formule pro nej. Dulezity priklad: chovani integralu typu 1/x^a v okoli 0 a nekonecna.
• 6.4. Per partes a substituce pro urcity integral
  • Per partes pro funkce f, g (spojite v uz. int.); dve vety o substituci. Priklad na spatne a dobre pouziti substituce.
• 6.5. Aplikace urciteho integralu
  • Krivka jako graf funkce; krivka nekonecne delky, rektifikovatelna krivka; delka krivky jako integral; veta o Riemannovskych souctech (bez dukazu); objem rotacniho telesa; krivka zadana v parametrickem tvaru; v polarnich souradnicich; obsah plochy zadane v polarnich souradnicich.

Male intermezzo o komplexnich cislech

• Konvergence posloupnosti v C je konvergence po slozkach; dusledky: limita, derivovani i integrace komplexni funkce se daji provadet po slozkach, je-li promenna dane funkce realna.

7. Ciselne rady

• 7.1. Konvergence a divergence
  • Rada a soucet rady; posloupnost castecnych souctu rady; konvergence, divergence, oscilace rady; rada geometricka; harmonicka rada diverguje.
  • Nutna podminka konvergence; asociativni zakon pro rady (uzavorkovani rad); pocetni pravidla pro konvergentni rady (soucet, rozdil, nasobek konstantou).
• 7.2. Rady s nezapornymi cleny
  • Konvergence je totez co omezenost castecnych souctu, jinak divergence k nekonecnu; srovnavaci kriterium I; Cauchyovo (odmocninove) a D`Alambertovo (podilove) kriterium.
  • Integralni kriterium a odhad velikosti castecnych souctu pomoci nej; castecne soucty harmonicke rady; rady s cleny 1/n^a, 1/(n (ln n)^b); srovnavaci kriterium II.
• 7.3. Absolutni a neabsolutni konvergence
  • Podminka B-C (Bolzano-Cauchy) pro komplexni posloupnosti; podminka B-C pro komplexni rady; veta o absolutni konvergenci; absolutne a neabsolutne konvergentni rady; Abelovo a Dirichletovo kriterium; Abelova parcialni sumace; Lebnitzovo kriterium; poznamka o prerovnavani (ne)absolutne konvergentnich rad.
  • Prerovnavani absolutne konvergentnich rad; nasobeni (AK) rad; shrnuti operaci, ktere lze provadet s radami; zaverecne poznamky: rady s promennou studujme zatim jako rady s parametrem; veta o Taylorove rade. Aplikace: definice exponencialy radou pro vsechna komplexni cisla a dukaz vztahu e^ix =cos x + i sin x pro x realna.

8. Metricke prostory, prostory Rⁿ

• 8.1. Zakladni priklady a pojmy
  • Metrika, jeji axiomy; tri metriky v Rⁿ; metricky prostor spojitych funkci na uzavrenem intervalu; epsilon-okoli; mnozina otevrena; okoli je otevrena mnozina.
  • Vlastnosti systemu otevrenych mnozin; mnozina uzavrena, vlastnosti systemu uzavrenych mnozin; hranice, vnitrek, uzaver; podprostor metrickeho prostoru.
• 8.2. Konvergence, uplnost, kompaktnost
  • Konvergence v metrice, konvergence v Rⁿ je konvergence po slozkach; cauchyovskost; uplnost; prostory Rⁿ jsou uplne; kompaktnost; ekvivalentni charakterizace uzavrene mnoziny; kompakt je uzavreny.
  • Omezenost; kompakt je omezeny; uzavrena podmnozina kompaktu; charakteristika kompaktu v Rⁿ; vztah uplnosti a kompaktnosti; uzavrena podmnozina uplneho prostoru.
• 8.3. Spojitost a stejnomerna spojitost
  • Spojita a stejnomerne spojita zobrazeni v metrickych prostorech; 4 ekvivalentni charakterizace spojitosti; Heineho veta; limita a spojitost, charakterizace techto pomoci posloupnosti (Heineho vety); spojity obraz kompaktu; vlastnosti spojite funkce na kompaktu: omezenost, nabyvani max a min (maji-li tyto smysl v prostoru, kam zobrazuju); spojita funkce na kompaktu je stejnomerne spojita.

9. Funkce vice promennych

• 9.1. Limita a spojitost
  • Spojitost a limita pro fce vice promennych - na zaklade metrickych prostoru; spojitost a limita globalne a pres podmnozinu (treba po primkach y=kx); norma v Rⁿ; zjistovani existence limity; Youngova nerovnost.
• 9.2. Parcialni derivace a totalni diferencial
  • Definice parcialni derivace a derivace ve smeru; gradient; totalni diferencial (jako linearni zobrazeni) Df(x) a jeho graficka interpretace (tecna nadrovina); ekvivalentni podminka existence tot. dif.; tvar totalniho diferencialu, pokud existuje; veta: existence totalniho diferencialu implikuje spojitost fce v bode a existence derivaci ve vsech smerech.
  • Dalsi vlastnost gradientu (smer nejvetsiho rustu); veta: parcialni derivace spojite v bode implikuji existenci totalniho diferencialu v bode; existence totalniho diferencialu pro soucet, rozdil, soucin a podil funkci.
• 9.3. Slozene derivovani, zamena promennych
  • Totalni diferencial slozeneho zobrazeni; Laplaceuv operator v R² v polarnich souradnicich; veta o stredni hodnote.
• 9.4. Tayloruv vzorec, vyssi diferencialy
  • Vyssi parcialni derivace, jejich zamennost (bez dukazu); funkce tridy C^k(G), Tayloruv vzorec; druhy a vyssi diferencial(y).
• 9.5. Extremy funkci vice promennych
  • Extremy funkce (lokalni a globalni); stacionarni body (nutna podminka existence extremu); Vety o extremech a 2. diferencialu (postacujici podminka existence extremu); pojmy: pozitivne (negativne) [semi]definitni (zobrazeni).
• 9.6. Implicitni funkce a vazane extremy
  • Veta o implicitnich funkcich -- bez dukazu; vazany extrem, veta o Lagrangeovych multiplikatorech; priklady.
  • Jeste metoda Lagrangeovych multiplikatoru - dukaz ve zjednodusene forme; priklady: extremy kvadraticke formy na jednotkove sfere, vzdalenosti objektu; Lagrangeovy multiplikatory pro vic dimenzi a vazeb.

10. Obycejne diferencialni rovnice

• 10.1. Zakladni definice a vety
  • Obycejne dif. rovnice, rad rovnice, rovnice rozresena a nerozresena vzhledem k nejvyssi derivaci; reseni, rozsireni reseni, maximalni reseni; veta o existenci reseni; Lipschitzova podminka; veta o jednoznacnosti reseni; (obe bez dukazu.)
• 10.2. Rovnice 1. radu
  • y'=f(x), y'=g(y), integrace a diskuse prikladu. Lemma o napojovani reseni; y'=f(x)g(y): metoda separace promennych; linearni rovnice prvniho radu: y'=a(x)y+b(x).
• 10.3. Linearni rovnice n-teho radu s konstantnimi koeficienty
  • Homogenni a nehomogenni rovnice; fundamentalni system; charakteristicky polynom; variace konstant.

---

Doporucena literatura pro 1.rocnik

[ Zacatek sylabu ] [ Zimni semestr ] [ Letni semestr ] [ Studijni literatura ]

---

1. Kopacek, J.: Matematika pro fyziky I., II., III. (skripta MFF UK).
2. Kopacek, J. & kol.: Priklady z matematiky pro fyziky I.-III. SPN (skripta MFF UK).
3. Jarnik, V.: Diferencialni pocet 1, 2 Academia Praha.
4. Jarnik, V.: Integralni pocet 1, 2 Academia Praha.
5. Rudin, W.: Principles of mathematical analysis (second edition) , McGraw-Hill, 1964.
6. Novak, B.: Vybrane partie z teorie cisel skriptum MFF UK, 1972.
7. Netuka, I., Vesely, J.: Priklady z matematicke analyzy III - priklady pro 1. rocnik, skriptum MFF UK.
8. Demidovic, B.P.: Sbornik zadac i upraznenij po matematiceskomu analizu (rusky) Nauka, Moskva, 1977.
9. Berman, G.N.: Sbornik zadac po kursu matematiceskovo analiza (rusky), Nauka, Moskva, 1977.
10. Lukes, J. a kolektiv: Problemy z MA, skriptum MFF UK.
11. Jarnik, V.: Matematicka analyza pro 3. semestr, skriptum MFF UK, 1978.
12. Salat, T.: Metricke prostory, Alfa, Bratislava, 1981.
13. Kurzweil, J.: Obycejne diferencialni rovnice, SNTL, 1978.

---