[MAF033: MA pro F, 1. ročník, ZS 2004/2005, M.Rokyta]
Požadavky k teoretické části zkoušky
Okruhy, ze kterých se mohou vyskytnout otázky
Pokud není řečeno jinak, chci věty i s důkazy. Věty, které považuji za nejdůležitější, jsou pro Vaši lepší orientaci podtrženy.
- Reálná čísla, axiom o supremu: Co je grupa, co je těleso, axiomy reálných čísel. Co je omezená množina (shora, zdola); horní a dolní závora množiny; definice suprema a infima; axiom o supremu - 2 vlastnosti suprema; infimum; zavedení suprema a infima neomezených a prázdných množin.
- Zobrazení, spočetnost: Co je to zobrazení, definiční obor a obor hodnot zobrazení; prosté a inverzní zobrazení; spočetné a nespočetné množiny. Ukažte, že N, Z, Q jsou spočetné.
- Reálné funkce a jejich limity: Pojmy: monotónní funkce; sudost, lichost, periodicita; prostota, inverzní funkce. Okolí bodu; vlastní limita ve vlastním bodě; souvislost jednostranných limit s limitou; nevlastní limity a limity v nevlastních bodech; jednostranné limity; lokální omezenost funkce, která má vlastní limitu ve vlastním bodě. Limity součtu, součinu, podílu - případ vlastních limit s důkazem, případ nevlastních limit (aritmetika s nekonečnými body) bez důkazů. Co je to "neurčitý výraz". Limita součinu funkce omezené a funkce, mající nulovou limitu. Limita funkce a limita její absolutní hodnoty. Věta "o policajtech". Věta o limitě složené funkce. Nerovnosti v limitě. Souvislost limity v nule zprava pro f(x) a limity v nekonecnu pro f(1/x). Monotónní funkce má jednostrannou limitu.
- Spojitost reálné funkce: Definice spojitosti funkce v bodě; souvislost spojitosti v bodě s vlastní limitou ve vlastním bodě a funkční hodnotou; spojitost součtu, rozdílu, součinu, podílu funkcí, spojitost složené funkce; jednostranná spojitost.
- Derivace: Derivace funkce v bodě, jednostranná derivace; vyšší derivace; vlastní a nevlastní derivace. Souvislost derivace a spojitosti funkce v bodě; Derivace součtu, součinu, podílu. Derivace složené a inverzní funkce.
- Obyčejné diferenciální rovnice: Umět definice pojmů ODR, lineární ODR, n-tý řád, s konstantními koeficienty, homogenní a nehomogenní rovnice. Umět popsat postup při řešení lineární ODR 2. řádu s konstantními koeficienty, jak homogenní, tak pro speciální pravé strany.
- Primitivní funkce: Definice primitivní funkce; věty: rovnost všech primitivních funkcí k dané funkci až na konstanty (diskutujte); věta: primitivní funkce je vždy spojitá; spojitá funkce má primitivní funkci (bez důkazu); integrace per partes; dvě věty o substituci.
- Posloupnosti reálných čísel: Pojmy: limita posloupnosti, posloupnost (ryze) monotónní, omezená. Početní pravidla pro limity (součet, rozdíl, podíl, součin) - případ vlastních limit s důkazem, případ nevlastních limit (aritmetika s nekonečnými body) bez důkazů. Souvislost limity funkce f(x) v nekonečnu a limity posloupnosti an=f(n). Nerovnosti v limitách, věta o policajtech. Monotónní posloupnost má vždy limitu. Pojem podposloupnosti. Bolzano-Weierstrassova věta. Pojem hromadného bodu, definice a základní vlastnosti limes inferior a limes superior. Heineho věta pro limitu a pro spojitost.
- Hlubší vlastnosti spojitých a diferencovatelných funkcí: Lokální a globální extrém; monotonie funkce v bodě a souvislost s první derivací, souvislost první derivace a lokálního extrému. Globální vlastnosti: Funkce spojitá na uzavřeném intervalu nabývá na něm maxima a minima. Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je omezená. Věta o nabývání mezihodnot, Darbouxova vlastnost. Věta o spojitém obrazu intervalu.
- Věty o střední hodnotě a jejich důsledky: Rolleova, Lagrangeova, Cauchyho věta. Pokud existuje vlastní nenulová derivace funkce f na intervalu (a,b), je f prostá na (a,b). Souvislost monotonie funkce na intervalu se znaménkem derivace na tomto intervalu. L'Hospitalova pravidla (s důkazem jen pro typ "0/0"); Věta o jednostranné derivaci jako jednostranné limitě derivací.
- Taylorův polynom: Symbolika "malé o". Taylorův polynom pro některé elementární funkce (zpaměti pro exp, sin, cos, ln, arctg, zobecněná binomická věta). Věta o Lagrangeově tvaru zbytku, Peanův tvar zbytku a věta o něm.
- Konvexní a konkávní funkce: Definice funkce (ryze) konvexní, (ryze) konkávní na intervalu; věta: souvislost konvexity s druhou derivací, pokud tato existuje; inflexní body; věta: inflexní bod a druhá derivace v bodě. Věta o rozlišení mezi inflexním bodem a bodem lokálního extrému podle první nenulové derivace v něm.
- Určitý integrál: Newtonův určitý integrál - definice. Dělení, norma dělení, zjemnění dělení, dolní a horní součet a jeho chování, dolní a horní Riemannův integrál, Riemannův integrál. Ekvivalentní podmínka existence Riemannova integrálu (pro každé epsilon existuje ...). Omezená a monotónní funkce má R-integrál. Pojem stejnoměrné spojitosti. Spojitá funkce na uzavřeném intervalu má R-integrál. Věta o R-integrálu s proměnnou v horní mezí. Spojitá funkce má vždy primitivní. Newton-Leibnizova formule. Per partes a substituce pro určitý integrál (zformulovat a vysvětlit). Věty o střední hodnotě integrálního počtu (bez důkazu).
Co nebudu chtít v teoretické části zkoušky
Úvodní povídání o množinách, výrocích, zavádění různých číselných množin kromě R; zavádění a seznam elementárních funkcí, rozklad racionálních funkcí na parciální zlomky, integraci racionálních funkcí, speciální substituce. Budu však chtít, abyste všechny početní aspekty těchto věcí uměli spolehlivě používat v praxi.
Doporučená literatura
Zkušenost sice praví, že student se nejvíce učí z [9], ale občas je potřeba mít po ruce i nějaké to skriptum... Minimální výbavou by měla být Kopáčkova přednášková [1] a příkladová skripta [2]. Nejblíže tomu, jak je látka na přednášce podávána, je učební text V. Součka [7]. Klasické knihy [3] a [4] jsou spíše pro studenty matematiky, ale jejich prolistování neublíží ani fyzikovi, který je zvědavý na to, co vlastně praví matematikové v analýze dělají navíc. Rudinova kniha [5] je pro ty, kteří by se chtěli pocvičit v angličtině a zárověň se podívat, jak se analýza učí jinde. Kniha [8] je taky v angličtině, je naopak určena cizím studentům, kteří se chtějí podívat, jak se to učí tady. Demidovič [6] je nepřebernou zásobárnou příkladů. V roce 2003 vyšel konečně i česky. Na četné dotazy odpovídám: není nutno to všecko přečíst, ale měli byste mít znalosti, které odpovídají požadavkům ke zkoušce.
- Kopáček, J.: Matematika pro fyziky I. (skriptum MFF UK, nové vydání = formát A5).
- Kopáček, J. & kol.: Příklady z matematiky pro fyziky I., (skriptum MFF UK, nové vydání = formát A5).
- Jarník, V.: Diferenciální počet 1, Academia Praha.
- Jarník, V.: Integrální počet 1, Academia Praha.
- Rudin, W.: Principles of mathematical analysis (second edition) , McGraw-Hill, 1964.
- Děmidovič, B.P.: Sbírka úloh z matematické analýzy. Nakladatelství Fragment, 2003.
- Souček, V.: Matematická analýza pro fyziky 1, učební text na webu, viz http://www.karlin.mff.cuni.cz/~soucek
- Černý, I, Rokyta, M.: Differential and Integral Calculus of One Real Variable. Nakladatelství UK (Karolinum), 1998.
- ... vlastní (nebo kamarádovy/kamarádčiny) poznámky z přednášky.
