[MAF034: MA pro F, 1. ročník, LS 2004/2005, M.Rokyta]
Požadavky k teoretické části zkoušky
Není-li řečeno jinak, chci i důkazy.
Číselné řady
- Pojem konvergence a divergence, harmonická řada. Nutná podmínka konvergence, uzávorkování řad, aritmetické operace s řadami.
- Srovnávací kritérium I, srovnávání podílu po sobě jdoucích členů.
- Cauchyovo a d'Alembertovo kritérium, Raabeho kritérium, limitní i nelimitní verze.
- Integrální kritérium, srovnávací kritérium II (limita podílu členů dvou posloupností).
- Absolutní a neabsolutní konvergence a jejich vztah, konvergence a cauchyovskost, Abel-Dirichletovo a Leibnizovo kritérium.
- Přerovnávání a násobení řad, Cauchyův součin řad.
- Mocninné řady, existence a jednoznačnost kruhu konvergence, vlastnosti mocninné řady uvnitř a vně kruhu. Vzorce pro poloměr kruhu. Věta o derivování mocninné řady člen po členu. Pojem analytické funkce.
ODR
- Definice řešení, převedení systému rovnic na jednu rovnici vyššího řádu a naopak.
- Pojem lokálně Lipschitzovského zobrazení, Věty Peanova a Picard/Lindelof/Lipschitzova (bez důkazu).
- Lemma o napojení řešení rovnice 1. stupně.
- Lineární rovnice n-tého řádu, věta o dimenzi prostoru řešení homogenní rovnice, věta o řešeních nehomogenní rovnice (o partikulárním řešení), věta o tvaru fundamentálního systému v závislosti na kořenech char. polynomu pro rovnici s konstantními koeficienty. Obecná variace konstant. Metoda speciální pravé strany
- Pojem Wronskiánu. Vztah mezi lineární závislostí funkcí a nulovostí Wronskiánu.
- Wronskián řešení lineární rovnice splňuje ODR 1.řádu, důsledek pro snížení stupně ODR.
Posloupnosti a řady funkcí
- Pojem bodové a stejnoměrné konverence. Bolzano-Cauchyova podmínka stejnoměrné konvergence. Ekvivalentní podmínka stejnoměrné konvergence (věta o sigma_n). Nutná podmínka stejnoměrné konvergence řady. Weierstrassovo kritérium.
- Leibnitzovo, Abel-Dirichletovo kriterium pro stejnoměrnou konvergenci (bez důkazů, s vysvětlením).
- Věta o limitě a spojitosti pro posloupnosti i pro řady. Věta o derivování a primitivní funkci pro posloupnosti a řady funkcí. Věta o Reimannově integrálu posloupnosti a řady spojitých funkcí.
- Z teorie mocninných řad: věta o stejnoměrné konvergenci řady, Abelova věta o konvergenční kružnici (důkaz pro reálný bod kružnice).
Lebesgueova míra a integrál
- Interval v Rn a jeho objem, konstrukce vnější Lebesgueovy míry (bez důkazu).
- Definice lebesgueovské měřitelnosti.
- Pojem sigma algebry množin, Lebesgueovsky měřitelné množiny jsou "největší možná sigma algebra".
- Nulové množiny, co je to "skoro všude", míra bodu, míra spočetné množiny. Otevřená množina je měřitelná.
- Lemmata o míře sjednocení a průniku systému do sebe vložených množin (bez důkazu).
- Pojem měřitelné funkce.
- Věta o vlastnostech systému měřitelných funkcí (bez důkazu).
- Spojitá funkce je měřitelná.
- Jednoduchá funkce a její integrál. Lebesgueův integrál a jeho postupné definování i v zobecněném smyslu a ve smyslu hlavní hodnoty, pojem existence a konvergence integrálu.
- Základní vlastnosti Lebesgueova integrálu (pasivní znalost bez důkazů, pasivní znamená, že já budu formulovat a budu se konkrétně ptát např.: platí tato vlastnost pro Lebesgueův integrál...?)
- Průměty množiny, řezy množinou. Regulární zobrazení. Fubiniho věta, věta o substituci (bez důkazů, avšak bezpečně používat).
- Věty Leviho, Lebesgueova. Fatouovo lemma. Vše s důkazy, ve verzích pro posloupnosti i řady.
- Integrály s parametrem: věty o limitě, spojitosti a derivaci.
- Gamma funkce a její základní vlastnosti (bez důkazů).
Co nebudu chtít v teoretické části zkoušky
Gaussovo kritérium. Teoretické výklady těchto jevů: řešení ODR řadami, separované proměnné, lineární rovnice 1. řádu s nekonstantními koeficienty, Bernoulliho rovnice, Eulerova rovnice, speciální typy rovnice druhého řádu. Budu však chtít, abyste všechny početní aspekty těchto věcí uměli spolehlivě používat v praxi, protože se mohou vyskytnout v písemce. Povídání o polynomech a výklad o "hádání kořenů". Axiom výběru a jeho důsledky. Cantorovo diskontinuum. Různé typy sférických a jiných souřadnic (ale opět: umět s nimi bezpečně počítat!)
Doporučená literatura
Nejbližší přednášce jsou poznámky z přednášky :-), viz [5]. Z učebních textů blízkých matfyzákovi jsou to Kopáčkova přednášková [1] a příkladová [2] skripta. Konzultujte rovněž učební text V. Součka [3], který je k mání na webu. Následující tabulka ukazuje pro vaši lepší orientaci co kde hledat.
| Téma | Teorie: ve skriptech [1] (Kop.) | Teorie: ve skriptech [3] (Souček) | Příklady: ve skriptech [2] (Kop.) |
|---|---|---|---|
| Číselné řady | díl II, kap. 10 | 2. díl, str. 1-10, 24-29 | díl II, kap. 5 |
| Mocninné řady | díl III, kap. 12, odst. 12.4-12.6 |
2. díl, str. 17-24 | díl II, kap. 6 |
| ODR | díl II, kap. 7 | 2. díl, str. 30-55 | díl II, kap. 1 |
| Posloupnosti a řady funkcí | díl III, kap. 12, odst. 12.1-12.3 |
2. díl, str. 10-17 | díl II, kap. 6 |
| Lebesgueův integrál | díl III, kap. 13 | 3. díl, str. 13-34 | díl III, kap. 1-3 |
- [1] Kopáček, J.: Matematika pro fyziky II. a III. (skriptum MFF UK, nové vydání = formát A5).
- [2] Kopáček, J. & kol.: Příklady z matematiky pro fyziky II. a III., (skriptum MFF UK, nové vydání = formát A5).
- [3] Souček, V.: Matematická analýza pro fyziky 2, 3, učební text na webu, který najdete tady:
2. díl: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~soucek/semestr2/s2.ps
3. díl: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~soucek/semestr3/s3.ps - [4] Děmidovič, B.P.: Sbírka úloh z matematické analýzy. Nakladatelství Fragment, 2003.
- [5] ... vlastní (nebo kamarádovy/kamarádčiny) poznámky z přednášky.
