Sumy koneèné i nekoneèné

Nejdøívì nìco jednoduchého, spoèteme tøeba nìjaký zajímavý výsledek ;-) :

> Sum(1/n,n=1..100)=sum(1/n,n=1..100);

Sèítat koneèné sumy ale není moc zajímavé, jejich seètením se toho moc nedovíme, jak budeme demostrovat na následujícím pøíkladu. Naštìstí umí Maple sèítat i sumy nekoneèné.

> Sum(1/n,n=1..1000000)=evalf(sum(1/n,n=1..1000000));

> Sum(1/n,n=1..infinity)=sum(1/n,n=1..infinity);

Bohužel rozsah sum, které dokáže Maple s úspìchem spoèítat není moc velký. Jsou to zejména sumy upoèitatelné z teorie mocninných øad a Taylorových polynomù.

> Sum((2*n+1)/n!*x^(2*n),n=0..infinity)=sum((2*n+1)/n!*x^(2*n),n=0..infinity);

Ale už na o málo tìžším pøíkladì si Maple vyláme zuby a vypíše takovýto výsledek :

> Sum((n^2+1)/(2^n*n!)*x^n,n=0..infinity)=sum((n^2+1)/(2^n*n!)*x^n,n=0..infinity);

Trigonometrické øady jsou pro Maple též moc velký výkon. :(

> Sum(cos(n*x)/n!, n=0..infinity)=sum(cos(n*x)/n!, n=0..infinity);

Natož aby si chudák poradil s Parsevalovou rovností.

> Sum(sin(n*alpha)/n^2,n=1..infinity)=sum(sin(n*alpha)/n^2,n=1..infinity);

Takže v oblasti sèítání nekoneèných øad neprojeví Maple žádnou zvláštní sílu. Neumí ani poøádnì zjistit jejich konvergenci, vše musíme dìlat ruènì. Na druhou stranu zná pár "profláknutých" výsledkù. A ty pak umí vìtšinou použít.

> Sum(1/n^2,n=1..infinity)=sum(1/n^2,n=1..infinity);