Matematika pro fyziky II
21. Abstraktní Fourierovy řady.
Opakování: vektorový prostor, norma.
Konvergence posloupnosti a řady v normovaném prostoru.
Cauchyovská posloupnost. Úplný prostor. Banachův prostor.
Absolutní konvergence řady implikuje konvergenci.
Prostor se skalárním součinem. Norma definovaná pomocí
skalárního součinu. Cauchy-Schwarzova nerovnost.
Hilbertův prostor. Norma a skalární součin jsou spojité
operace.
Ortogonální a ortonormální systém.
(Abstraktní) Fourierova řada vzhledem k danému OG systému.
Besselova nerovnost. Fourierova řada je vždy
konvergentní -- vzhledem k normě daného prostoru.
Úplný ortogonální systém. Ekvivalentní vyjádření úplnosti
OG systému. Příklady úplných systémů. Tvrzení o nejlepší
aproximaci (bez důkazu.) Příklady úplných OG systémů:
trigonometrický systém, Legendreovy polynomy, Hermitovy
polynomy (viz cvičení.)
Algebraická báze. Schauderova báze.
22. Funkce komplexní proměnné.
Komplexní číslo.
Reálná a imaginární část, číslo komplexně sdružené, absolutní hodnota.
Ztotožnění Gaussovy roviny a R^2.
Komplexní nekonečno: početní vlastnosti. Příklady komplexních funkcí:
polynomy, racionální funkce, exponenciála, goniometrické funkce.
Komplexní logaritmus, argument. Hlavní hodnota logaritmu a argumentu.
Obecná mocnina.
Derivace komplexní funkce - definice a základní vlastnosti.
Holomorfní funkce.
Cauchy-Riemannovy podmínky. Jeden z důsledků: úrovňové množiny
reálné a imaginární části holomorfní funkce tvoří kolmé
křivky.
Opakování: mocninná řada, poloměr konvergence.
Součet mocninné řady lze v kruhu konvergence derivovat
člen po členu, spec. její součet je zde holomorfní.
Laurentova řada jako zobecnění mocninné řady.
Hlavní a regulární část Laurentovy řady.
Věta o konvergenci a holomorfnosti Laurentovy řady
v tzv. mezikruží konvergence.
Definice křivky v C. Křivka jednoduchá, uzavřená,
jednoduchá uzavřená (= Jordanova křivka.)
Vnitřek a vnějšek Jordanovy křivky.
Počáteční a koncový bod křivky.
Součet křivek a křivka opačná.
Souvislá a jednoduše souvislá množina v C.
Křivkový integrál v C. Délka křivky.
Poznámky o vlastnostech a výpočtu integrálu komplexní funkce.
Vlastnosti křivkového integrálu.
Cauchyho věta.
Izolovaná singularita holomorfní funkce.
Reziduum funkce v bodě.
Reziduová věta (zatím bez důkazu.)
Lemma o malé a velké kružnici. Aplikace
k výpočtu integrálů. Cauchyho vzorec.
Funkce s nulovou derivací v souvislé množině je konstantní.
Liouvilleova věta: funkce, která je holomorfní a omezená v celém C
je nutně konstantní.
Základní věta algebry.
Věta o existenci a jednoznačnosti Laurentova rozvoje. Taylorův rozvoj.
Reziduum funkce v bodě.
Reziduová věta. Pravidla pro výpočet rezidua.
Typy izolovaných singularit: odstranitelná singularita, pól, podstatná singularita.
Charakterizace odstranitelné singularity.
Charakterizace pólu. Hustá množina.
Charakterizace podstatné singularity.
Hromadný bod množiny. Věta o jednoznačnosti.
Laurentův rozvoj a reziduum v nekonečnu.
Reziduová věta v nekonečnu. Součet všech reziduí
včetně nekonečna je 0.
23. Fourierova transformace.
Definice. Inverzní Fourierova transformace.
Základní vlastnosti (škálování a posunutí argumentu.)
Zachování sudosti, lichosti, radiální symetrie při F.t.
Přehled prostorů funkcí: L^1, C, C_b, C_o, C_c.
Vztah F.t. a derivace.
Příklad: F.t. laplaciánu.
Hustota nekonečně hladkých funkcí v L^1 (bez důkazu.)
Limita F.t. v nekonečnu je 0.
Nosič funkce. Mají-li f i její F.t. omezený nosič, je nutně f=0.
Vyjádření derivací, polynomů pomocí multiindexu.
Zobecnění věty o vztahu derivace a F.t.
Schwartzův prostor rychle klesajících funkcí a jeho základní vlastnosti.
Lemma o integraci radiálních funkcí.
Gausián a jeho F.t.
F.t. zobrazuje Schwartzův prostor do sebe.
Konvoluce. Základní odhady konvoluce.
F.t. konvoluce.
Diracova funkce - důležitý, (zatím) neexistující objekt.
Chování Diracovy funkce při konvoluci a F.t.
Lemma o aproximaci Diraca.
Věta o inverzi Fourierovy transformace na Schwartzově prostoru.
Důsledky: F.t. zobrazuje S na sebe vzájemně jednoznačně.
Lemma o přehození F.t.
Placherelova rovnost neboli zachování normy a skalárního
součinu v L^2 při F.t.
Zavedení F.t. v L^2 a jeho vlastnosti.
Poznámky o výpočtu.
Princip neurčitosti -- některá jeho vyjáření.
Heisenbergova verze principu neurčitosti.
Aktualizováno: 24. 05.