Matematika pro fyziky II
15. Integrály závislé na parametru.
Opakování: měřitelnost, skoro všude, integrovatelnost.
Spojitá závislost integrálu na parametru.
Podmínku o existenci integrovatelné majoranty
nelze vynechat.
Derivace integrálu podle parametru.
Příklady. Gamma funkce.
16. Křivkový integrál.
Jednoduchá křivka, jednoduchá uzavřená křivka.
Parametrizace, krajní body.
Zobecněná křivka, přípustný rozklad.
Integrál 1. druhu.
Lemma o reparametrizaci. Nezávislost na parametrizaci.
Orientace jednoduché křivky, orientovaný rozklad zobecněné křivky.
Parametrizace ve shodě s orientací.
Dodatek k lemmatu o reparametrizaci.
Integrál 2. druhu. Nezávislost na parametrizaci.
Zobecněná křivka spojující body. Zobecněná uzavřená křivka.
Křivkově souvislá množina. Oblast.
Potenciál. Lemma o integrálu potenciálního pole.
Nezávislost integrálu na cestě.
Věta o potenciálu.
Tečný vektor křivky.
Věta o souvislost integrálu prvního a druhého druhu.
Názorný význam křivkových integrálů.
V rovině: normálový vektor. Divergence a rotace.
Gaussova a Greenova věta.
Jednoduše souvislá oblast.
Vztah nulovosti rotace a existence potenciálu v R^2.
17. Plošný integrál.
Jednoduchá plocha. Parametrizace. Okraj plochy.
Příklady: sféra, graf C^1 funkce.
Vnější součin vektorů v R^3, definice, základní vlastnosti,
geometrický význam.
Plošný integrál 1. druhu.
Tečný prostor, normála, orientace jednoduché plochy.
Plošný integrál 2. druhu.
Zobecněná plocha, přípustný rozklad, orientovaný rozklad.
Integrál přes zobecněnou plochu.
Gaussova věta v R^3.
Vztah plošného integrálu 1. a 2. druhu.
Grammův determinant a jeho použití při výpočtu integrálu 1. druhu.
Příklad: válcové souřadnice.
Opakování pojmů: difeomorfismus, věta o inverzi, věta o substituci v R^k.
Lemma o reparametrizaci a jeho důsledky: tečný prostor, normála nezávisí
na parametrizaci.
Plošný integrál nezávisí na parametrizaci.
Plocha s okrajem. Obíhání po okraji v kladném smyslu.
Rotace a Stokesova věta v R^3.
Jednoduše souvislá oblast. Existence potenciálu v R^3.
Poznámky k situaci v R^n.
18. Diferenciální formy.
Vnější součin vektorů a jeho vlastnosti,
k-vektory. Grassmanova algebra.
Diferenciální forma, řád formy. Vnější diferenciál formy
a jeho vlastnosti. Gradované Leibnizovo pravidlo.
Forma uzavřená a exaktní.
Přenášení ("pullback") forem pomocí hladkých zobrazení.
Obecná k-plocha v R^n.
Parametrizace. Integrál 1. druhu.
Orientace k-plochy.
Lemma o výpočtu objemu rovnoběžnostěnu.
Další vlastnosti přenášení, zejména: záměnnost operací
přenášení a diferenciál.
Integrál z k-formy na k-ploše.
Řetězec neboli zobecněná k-plocha.
Singulární k-dimenzionální krychle a její okraj.
Sladěnost orientace okraje a singulární krychle.
Obecná Stokesova věta. (bez důkazu.)
19. Variační počet.
Funkcionál. Prostory C^k([a,b]), C^1_0([a,b]).
Příklady: minimální rotační plocha,
maximální plocha pod křivkou dané délky.
Konstrukce shlazovací funkce.
Lemma o slabé formulaci.
Normovaný prostor: okolí bodu, limita, spojitost.
Gâteauxův a Fréchetův diferenciál funkcionálu.
Lokální a globální extrémy.
Lokální extrém implikuje nulovost Gâteauxova diferenciálu.
Základní úloha variačního počtu (U).
Gâteauxův diferenciál pro (U).
Euler-Lagrangeova rovnice. Extremála.
Legendreova nutná podmínka lokálního extrému.
Lemma o zjednodušení E.L. rovnice.
Jacobiho rovnice, konjugovaný bod.
Jacobiho nutná a postačující podmínka lokálního extrému.
(bez důkazu.)
Lagrangeův multiplikátor pro variační úlohu s vazbou.
(bez důkazu.)
20. Fourierovy řady.
Trigonometrická řada. Trigonometrický systém a jeho
ortogonalita. Fourierova řada, Fourierovy koeficienty
dané funkce. Stejnoměrně konvergující trigonometrická řada
je Fourierovou řadou svého součtu.
Komplexní Fourierovy koeficienty, komplexní tvar Fourierovy řady.
Integrální tvar Fourierovy řady. Dirichletovo jádro.
Funkce po částech spojité, po částech C^1.
Riemann-Lebesgueovo lemma (důkaz pro po částech spojité funkce.)
Riemannova věta o lokalizaci.
Věta o konvergenci Fourierovy řady pro po částech spojitou funkci.
Prostory L^p(a,b). Parsevalova rovnost.
Vztah mezi hladkostí funkce a rychlostí konvergence
Fourierových koeficientů. Věta o integrování Fourierovy
řady člen po členu. Důsledek: spojitá funkce, jejíž všechny Fourierovy
koeficienty jsou nulové, je nutně identicky nulová.
Aktualizováno: 10. 01.