Tyto průběžně upravované poznámky jsou verzí poznámek
a video nahrávek Tomáše Bárty na studentském úložišti, viz stránky Dalibora Pražáka.
Sbírka úloh z ODR Tomáše Bárty a Dalibora Pražáka je tady a tady.
Sylabus verze 21.5.2024
Stará verze Sylabus
Zkouška se skládá ze dvou částí: písemné (početní) a ústní (teoretické).
Písemní část obsahuje 3-4 příklady; budou vyskytovat následující témata:
- vyšetření chování řešení: nakreslete průběh, identifikujte stacionární body;
- aplikace Barrowova vzorce: existence blow-upu, limity v nekonečnu;
- vyšetření stability řešení: lineárizovaná stabilita, polární souřadnice, Ljapunovské funkce;
- derivování řešení podle počáteční podmínky a/nebo parametru;
- exponenciála matice; výpočet – aplikace na řešení rovnic;
- Šturmova srovnávací věta: odhadněte počet nulových bodů řešení v daném intervalu.
Otázky k ústní části a Sylabus
Při teoretické části se vylosuje pětice otázek:
- klíčový pojem (jeho znalost je nutnou podmínkou dalšího pokračování zkoušky)
- 2x znění věty (bez důkazu)
- 1x lehká a 1x těžká věta (znění a důkaz)
Týden 1 (20.02.2024)
Přednaška: Soubor Sylabus, do druhého kroku důkazu Peanové věty.
Cvičení:
Týden 2 (27.02.2024)
Přednaška: Soubor Sylabus, dokončení důkazu Peanové věty, jednoznačnost řešení, maximalita řešení (vyslovili jsme větu o existenci maximálního prodloužení, důkaz příště).
Cvičení:
Týden 3 (5.03.2024)
Přednaška: Soubor Sylabus, maximalita řešení, věta o opuštění kompaktu
Cvičení:
Týden 4 (12.03.2024)
Přednaška: Soubor Sylabus, závislost řešení na počáteční podmínce, diferencovatelnost podle počáteční podmínky
Cvičení:
Týden 5 (19.03.2024)
Přednaška: Soubor Sylabus, lineární ODR, fundamentální systém, Wronského determinant, variace konstant.
Cvičení:
Týden 6 (26.03.2024)
Přednaška: Soubor Sylabus, lineární ODR s konstantími koeficienty, exponenciální funkce matice, fundamentální systém, Wronského determinant, variace konstant.
Cvičení:
Týden 7 (2.04.2024)
Přednaška: Soubor Sylabus, asymptotické chování řešení lineární ODR s konstantími koeficienty, stabilní, nestabilní, centrální podprostory. Stabilita řešení, asymptotická stabilita, uniformní stabilita, lokální atraktor, uniformní lokální atraktor. Věta o stabilitě pro lineární homogenní neautonomní soustavu (částečně).
Cvičení:
Týden 8 (9.04.2024)
Přednaška: Soubor Sylabus, dokončení důkazu věty o stabilitě pro lineární homogenní neautonomní soustavu. Lemma o asymptotické stabilitě pro perturbovaná lineární systém. Věty o linearizováné stabilitě a nestabilitě (jen znění).
Cvičení:
Vinogradův systém, systém Marcus-Yamabi (viz Sbírka, kapitola 8).
Domací úkol: Úlohy k cvičení 8.
Týden 9 (16.04.2024)
Přednaška: Soubor Sylabus. Věty o linearizováné stabilitě a nestabilitě (důkazy).
Cvičení:
Hledaní 1. integrálů pro soustavy 3 rovnic. Hledaní Ljapunovské funkce.
Domací úkol: Úlohy k cvičení 9.
Týden 10 (23.04.2024)
Přednaška: Soubor Sylabus.
- integrály: snižení řádu, existence n-1 nezávislých integrálů. První ljapunovská věta.
Cvičení:
Krátké řešení úloh k cvičení 10 (ale: špatně vyřešená úloha 4).
Příště: zápoštová písemka.
Týden 11 (30.04.2024)
Přednaška: Soubor Sylabus. Důkaz druhé ljapunovské věty, důkaz věty pro lineární soustavu s konstantnimí koeficienty. Téma Srovnávací věty: 1. lemma.
Cvičení:
Týden 12 (7.05.2024)
Přednaška: Soubor Sylabus. Šturmové srovnávací věty: dokončení.
Tema periodické řešení: záčatek.
Tema asymptotické chování řešení diferenciální rovnice 2-ho řádu:
soubor Ince, ODE, kapitola 7.31: asymptotic development of solution , pages 168-171.