Matematika A

Všechny přednášky jsou ke stažení zde (nutný insis login).

Datum	Téma	DÚ
15.9.	Úvodní informace. Jazyk matematiky - číselné obory, intervaly.	DU1
17.9.	Logické a množinové operace. Lineární a kvadratické funkce	DU2
22.9.	Kubické a racionální lomené funkce	--
24.9.	Lineární lomené funkce, mocniny a odmocniny	DU3
29.9.	Exponenciála a logaritmus	DU4
1.10.	Posloupnost a její limita	DU5
6.10.	Výpočet limity posloupnosti	DU6
8.10.	Eulerovo číslo, nekonečné řady	--
13.10.	Spojitost funkce	--
15.10.	Limita funkce	DU7
20.10.	Derivace a tečny	DU8
22.10.	l'Hospitalovo pravidlo	DU9
27.10.	Přednáška odpadá	DU10
29.10.	Monotonie a extrémy	DU11
3.11.	Inovační týden	Bodovaný DÚ
5.11.	Inovační týden	--
10.11.	Výjimečné body, monotonie, konvexita, konkavita	DU12
12.11.	Asymptoty, průběh funkce	DU13
17.11.	Státní svátek	DU14
19.11.	Průběžný test - 1. termín	--
24.11.	Průběžný test - 2. termín	--
26.11.
1.12.
3.12.
8.12.
10.12.

 

Minitesty na cvičeních

Datum	Číslo týdne	Obsah minitestu
23.9.	2	Graf kvadratické funkce (průsečíky s osami, vrchol)
30.9.	3	Graf lineární lomené funkce (průsečíky s osami, střed, asymptoty)
7.10.	4	Rovnice s exponenciálou a logaritmem
14.10.	5	Limita posloupnosti
21.10.	6	Limity funkcí v krajních bodech D_f
28.10.	7	Státní svátek - minitest není
4.11.	8	Inovační týden - minitest není
11.11.	9	Derivace funkce
18.11.	10	Úlohy s tečnami
25.11.	11	Monotonie funkce

 

Obsah průběžného testu

Průběžný test bude obsahovat výběr z těchto témat:
a) graf kvadratické, lineární lomené funkce,
b) limita posloupnosti a funkce,
c) derivace (složitější) funkce,
d) úlohy s tečnami ke grafu (lehké) funkce,
e) průběh (lehké) funkce, tedy její definiční obor, sudost/lichost, průsečíky s osami, případně jiné význačné hodnoty, znaménko funkce, limity v krajních bodech D_f, intervaly monotonie, lokální a globální extrémy, obor hodnot, asymptoty, oblasti konvexity/konkavity včetně inflexních bodů, graf funkce.

Vzorové zadání a řešení průběžného testu varianta A, varianta B.

Další studijní materiály

Kompletní testy z předchozích semestrů (zadání, převážně bez řešení).

 

Obsah přednášky podrobněji

15.9. Organizační věci. Motivace ke studiu matematiky. I. První setkání s funkcemi. Reálná čísla a další číselné obory. Intervaly.

17.9. Množinové a logické operace, kvantifikátory. Rovnice, nerovnice a grafy jednochých funkcí v kartézských souřadnicích: (a) Lineární rovnice a nerovnice, lineární funkce. Význam koeficientů lineární funkce (průsečík s osou y, směrnice přímky, přímka rostoucí/klesající). (b) Kvadratické funkce a rovnice: diskriminant, výpočet kořenů.

22.9. Kvadratické funkce a rovnice: Vietovy vztahy, graf, význam koeficientů (konvexita, konkavita). Výpočet a znázornění vrcholu paraboly. Kvadratické nerovnice - řešení pomocí grafu a pomocí tabulky. (c) Kubické rovnice a nerovnice (odhadnutí celočíselných kořenů, dělení polynomů). Jak asi vypadá graf kubické funkce? (d) Rovnice s racionálními lomenými funkcemi (a řešení nerovnic pomocí tabulky).

24.9. (e) Lineární lomená funkce, asymptoty a střed hyperboly, posun grafu funkce 1/x. (f) Funkce absolutní hodnota. (g) Mocniny, odmocniny.

29.9. Mocniny s racionálním exponentem. Grafy mocnin a odmocnin. (h) Exponenciála - základní vlastnosti a vzorce. Logaritmus - základní vlastnosti a vzorce. Definiční obory funkcí.

1.10. II. Posloupnosti a limity. Posloupnosti konečné a nekonečné. Posloupnost aritmetická a geometrická. Konečná a nekonečná limita posloupnosti, pojem konvergence/divergence, základní příklady. Limita aritmetické a geometrické posl.

6.10. Aritmetika limit (= Limita součtu, rozdílu, součinu a podílu), rozšířené operace s limitami (tj. i s nekonečnými). Výpočet limit posloupností, početní finta č.1 (vytknutí členů s nejvyššími mocninami), totéž pro neceločíselné mocniny, vytýkání zpod odmocniny. Finta č.2 (vytknutí exponenciál s nejvyššími základy). Finta č.3 (odečtení odmocnin pomocí rozšíření výrazem s opačným znaménkem).

8.10.Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí limit jistých posloupností. Ekonomický význam Eulerova čísla a exponenciály. Řady konečné a nekonečné, příklady - zejména geometrická řada. Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí jistých nekonečných řad.

13.10. III. Funkce jedné proměnné. Pojem funkce = funkční předpis + definiční obor. Obor hodnot. Pojem prostá funkce, inverzní funkce a jak vznikne její graf z původní funkce. Pojem složená funkce, spojitost funkce. Limita funkce, jednostranné limity, základní příklady s limitami. Výpočet limity funkce: aritmetika limit, věta o limitě složené funkce.

15.10. Rozlišení podle polohy bodu x_0 vzhledem k D_f: (1) v bodě v D_f spojité funkce je limita rovna funkční hodnotě, (2) v krajním bodě D_f: (2a) je-li bodem x_0 (plus minus) nekonečno, používáme analogické postupy jako u limit posloupností s opatrností ohledně znamének. (2b) Je-li bod x_0 konečné číslo: výpočet limity typu a/0 pomocí tzv. "dělení kladnou a zápornou nulou". Limity exponenciály a logaritmu v krajních bodech.

20.10. Derivace funkce: motivace, zavedení a výpočet z definice. Derivace základních funkcí. Pravidla pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu, a pro derivaci složené funkce. Příklady.

22.10.Význam derivace funkce v bodě jako směrnice příslušné tečny, výpočet rovnice tečny v daném bodě. Nekonečná derivace. Jednostranné derivace, absolutní hodnota jako příklad funkce, která nemá v 0 derivaci. L'Hospitalovo pravidlo pro výpočet limity funkce typu 0/0, nekonečno/nekonečno a jeho užití v příkladech (zejména limity kombinací exp a log s mocninami).

29.10. L'Hospitalovo pravidlo - příklady. Monotonie funkce (funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající v intervalu). Lokální a globální extrémy. Stacionární body. Vztah mezi znaménkem derivace a monotonií funkce.

10.11. Výjimečné (podezřelé) body = kandidáti na extrém. Zjištění monotonie mezi dvěma výjimečnými body. Příklady na výpočet monotonie a extrémů. Funkce sudé a liché. Konvexita - konkavita, inflexní body, druhá derivace.

12.11. Asymptoty: svislé v bodě, obecné v plus minus nekonečnu, jak poznat vodorovnou asymptotu z limity funkce v nekonečnu, výpočet obecných (šikmých) asymptot v nekonečnu. Přehled dílčích kroků při vyšetření průběhu funkce (Desatero). Příklady vyšetření průběhu funkce.