Matematika A

Všechny přednášky jsou ke stažení zde (nutný insis login).

Datum	Téma	DÚ
17.2.	Úvodní informace. Jazyk matematiky - číselné obory, intervaly, logické a množinové operace. Lineární a kvadratické funkce	DU1 DU2
24.2.	Funkce kubické, lineární lomené, absolutní hodnota, mocniny a odmocniny	DU3
3.3.	Exponenciála a logaritmus. Posloupnost a její limita	DU4 DU5
10.3.	Výpočet limity posloupnosti	DU6
17.3.	Spojitost a limita funkce	DU7
24.3.	Derivace funkce, tečny, l'Hospitalovo pravidlo	DU8 DU9
31.3.	Přednáška zrušena pro nemoc, koná se pouze cvičení	DU10 DU11 DU12
7.4.	Inovační týden -- není výuka	Bodovaný DÚ
14.4.	Monotonie, extrémy, konvexita-konkavita	DU13
21.4.	Pondělí velikonoční -- není přednáška	--
28.4.	Průběžný test Asymptoty. Parciální derivace, stacionární body	DU14 DU15
5.5.
12.5.

 

Minitesty na cvičeních

Datum	Číslo týdne	Obsah minitestu
25.2.	2	Graf kvadratické funkce (průsečíky s osami, vrchol)
4.3.	3	Graf lineární lomené funkce (průsečíky s osami, střed, asymptoty)
11.3.	4	Rovnice s exponenciálou a logaritmem
18.3.	5	Limita posloupnosti
25.3.	6	Limity funkcí v krajních bodech D_f
1.4.	7	Derivace funkce
8.4.	8	Inovační týden - minitest není
15.4.	9	Úlohy s tečnami
22.4.	10	Monotonie funkce
29.4.	11	Konvexita, konkavita
6.5.	12	Stacionární body funkce dvou proměnných

 

Obsah průběžného testu

Průběžný test bude obsahovat výběr z těchto témat:
a) graf kvadratické, lineární lomené funkce,
b) limita posloupnosti a funkce,
c) derivace (složitější) funkce,
d) úlohy s tečnami ke grafu (lehké) funkce,
e) průběh (lehké) funkce, tedy její definiční obor, sudost/lichost, průsečíky s osami, případně jiné význačné hodnoty, znaménko funkce, limity v krajních bodech D_f, intervaly monotonie, lokální a globální extrémy, obor hodnot, asymptoty, oblasti konvexity/konkavity včetně inflexních bodů, graf funkce.

Vzorové zadání a řešení průběžného testu varianta A, varianta B.

 

Další studijní materiály

Kompletní testy z předchozích semestrů (zadání, převážně bez řešení).

 

Obsah přednášky podrobněji

17.2. Organizační věci. Motivace ke studiu matematiky. I. První setkání s funkcemi. Reálná čísla a další číselné obory. Intervaly. Množinové a logické operace, kvantifikátory. Rovnice, nerovnice a grafy jednoduchých funkcí v kartézských souřadnicích: (a) Lineární rovnice a nerovnice, lineární funkce. Význam koeficientů lineární funkce (průsečík s osou y, směrnice přímky, přímka rostoucí/klesající). (b) Kvadratické funkce a rovnice: diskriminant, výpočet kořenů.

24.2. Kvadratické funkce a rovnice: Vietovy vztahy, graf, význam koeficientů (konvexita, konkavita). Výpočet a znázornění vrcholu paraboly. Kvadratické nerovnice - řešení pomocí grafu a pomocí tabulky. (c) Kubické rovnice a nerovnice (odhadnutí celočíselných kořenů, dělení polynomů). Jak asi vypadá graf kubické funkce? (d) Rovnice s racionálními lomenými funkcemi (a řešení nerovnic pomocí tabulky). (e) Lineární lomená funkce, asymptoty a střed hyperboly, posun grafu funkce 1/x. (f) Funkce absolutní hodnota. (g) Mocniny, odmocniny. Mocniny s racionálním exponentem.

3.3. Grafy mocnin a odmocnin. (h) Exponenciála - základní vlastnosti a vzorce. Logaritmus - základní vlastnosti a vzorce. Definiční obory funkcí. II. Posloupnosti a limity. Posloupnosti konečné a nekonečné. Posloupnost aritmetická a geometrická. Konečná a nekonečná limita posloupnosti, pojem konvergence/divergence, základní příklady. Limita aritmetické a geometrické posl.

10.3. Aritmetika limit (= Limita součtu, rozdílu, součinu a podílu), rozšířené operace s limitami (tj. i s nekonečnými). Výpočet limit posloupností, početní finta č.1 (vytknutí členů s nejvyššími mocninami), totéž pro neceločíselné mocniny, vytýkání zpod odmocniny. Finta č.2 (vytknutí exponenciál s nejvyššími základy). Finta č.3 (odečtení odmocnin pomocí rozšíření výrazem s opačným znaménkem). Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí limit jistých posloupností. Ekonomický význam Eulerova čísla a exponenciály. Řady konečné a nekonečné, příklady - zejména geometrická řada. Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí jistých nekonečných řad.

17.3. III. Funkce jedné proměnné. Pojem funkce = funkční předpis + definiční obor. Obor hodnot. Pojem prostá funkce, inverzní funkce a jak vznikne její graf z původní funkce. Pojem složená funkce, spojitost funkce. Limita funkce, jednostranné limity, základní příklady s limitami. Výpočet limity funkce: aritmetika limit, věta o limitě složené funkce. Rozlišení podle polohy bodu x_0 vzhledem k D_f: (1) v bodě v D_f spojité funkce je limita rovna funkční hodnotě, (2) v krajním bodě D_f: (2a) je-li bodem x_0 (plus minus) nekonečno, používáme analogické postupy jako u limit posloupností s opatrností ohledně znamének. (2b) Je-li bod x_0 konečné číslo: výpočet limity typu a/0 pomocí tzv. "dělení kladnou a zápornou nulou". Limity exponenciály a logaritmu v krajních bodech. Derivace funkce: motivace a zavedení.

24.3. Derivace funkce: zavedení a výpočet z definice. Derivace základních funkcí. Pravidla pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu, a pro derivaci složené funkce. Příklady. Význam derivace funkce v bodě jako směrnice příslušné tečny, výpočet rovnice tečny v daném bodě. Nekonečná derivace. Jednostranné derivace, absolutní hodnota jako příklad funkce, která nemá v 0 derivaci. L'Hospitalovo pravidlo (=Finta č. 4) pro výpočet limity funkce typu 0/0, nekonečno/nekonečno a jeho užití v příkladech (zejména limity kombinací exp a log s mocninami).

14.4. Monotonie funkce (funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající v intervalu). Lokální a globální extrémy. Stacionární body. Vztah mezi znaménkem derivace a monotonií funkce. Výjimečné (podezřelé) body = kandidáti na extrém. Zjištění monotonie mezi dvěma výjimečnými body. Příklady na výpočet monotonie a extrémů. Funkce sudé a liché. Konvexita - konkavita, inflexní body, druhá derivace.

28.4. Asymptoty: svislé v bodě, obecné v plus minus nekonečnu, jak poznat vodorovnou asymptotu z limity funkce v nekonečnu, výpočet obecných (šikmých) asymptot v nekonečnu. Přehled dílčích kroků při vyšetření průběhu funkce (Desatero). IV. Funkce více proměnných. Parciální derivace, stacionární bod funkce.