Podmínky zápočtu: Zápočet je za průběžnou aktivitu na cvičeních, s tím že nejsou striktně časově rozlišována cvičení a přednášky - máme je podle potřeby. Aktivita na cvičeních může být jak "z voleje", tak s domácí přípravou. Při nedostatečné aktivitě nebo větším počtu absencí budou zadány domácí úkoly jako kompenzace.
Literatura:
V. Hlavatý, Projektivní geometrie I.
M. Lávička, Geometrie II, ZČU PLzeň, 2006
Archiv: PG 1, ZS 2020/21
Přehled výuky:
| Datum | Téma |
|---|---|
| 4.3. | Sdružené póly na průměru kčky. Nalezení sdruženého pólu 1) jako 4. harmonický bod k S,T,P; 2) pomocí pojmu afinní vzdálenost a konstrukce geometrického průměru. Sdružené průměry kčky. Pozn.: tečny v koncových bodech průměru A,B jsou rovnoběžné s průměrem sdruženým k AB. Pozn.: pól průměru je nevlastní bod, který je tudíž směrem sdruženého průměru. Pozn.: dva páry sdruž. průměrů tvoří involuci, její samodr. přímky jsou asymptoty kčky, u elipsy je eliptická, u hyperboly hyperbolická, asymptoty hyperboly oddělují sdružené průměry harmonicky. Pozn.: u elipsy je každý průměr sečna, u hyperboly je vždy jeden sdružený průměr sečna a druhý vnější přímka (pomyslný průměr). Pozn.: Spojnice libovolného bodu A' s koncovými body A,B průměru jsou rovnoběžné s nějakou dvojicí sdružených průměrů. Speciálně pro kružnici: Thaletova věta. Pozn.: úhlopříčky rovnoběžníka kčce opsaného jsou sdružené průměry. Pozn.: střední příčky rovnoběžníka kčce vepsaného jsou sdružené průměry. Věta: kčka je jednoznačně určena párem sdružených omezených průměrů. Konstrukce: sestrojit kčku z páru sdružených omezených průměrů. Konstrukce: sestrojit kčku z omezeného průměru AB, ze sdruženého průměru a bodu A'. Konstrukce: Elipsa (hyperbola) je dána omezenými sdruženými průměry. Sestrojit k dané poláře pól a naopak. Pozn.: p,q sdružené průměry, X leží na q, pak polára x bodu X je rovnoběžná s p. Slajdy 1 Video 1 |
| 11.3. |
Pozn.: Doplníme-li u hyperboly sdružené průměry na čtyřúhelník, pak jeho úhlopříčky jsou asymptoty hyperboly. Záměnou rolí reálného a pomyslného průměru dostaneme tzv. sdruženou hyperbolu. Věta + Definice (pro středové kčky): existuje pár kolmých sdružených průměrů - osy kčky; vrcholy; vrcholové tečny. Dva (nekonečno) kolmé páry - kružnice. Konstrukce: sestrojit osy kčky, jsou-li dány dva páry neomezených sdružených průměrů. Konstrukce: sestrojit kčku včetně os, jsou-li dány tři body a střed. Konstrukce*: sestrojit kčku včetně os, jsou-li dány tři tečny a střed. Rytzova konstrukce. Def (pro parabolu): sdružený průměr s tečnou v koncovém bodě, resp. s jejím směrem. Pozn.: každá tětiva je půlena průměrem sdruženým k jejímu směru. Tvrzení: U,V = body dotyku tečen k parabole z bodu P, N = střed UV, M = koncový bod průměru PN, pak M je střed PN. Konstrukce: sestrojit směr průměrů paraboly dané čtyřmi tečnami (2 způsoby - dle PG1 a dle předchozí věty). Konstrukce: sestrojit parabolu ze dvou tečen, pólu a poláry. Věta + Definice (pro parabolu): existuje jediná tečna, jejíž směr je kolmý k průměrům paraboly - vrcholová tečna; vrchol; osa paraboly. Konstrukce: určit osu paraboly dané čtyřmi tečnami. Slajdy 2 Video 2 |
| 18.3. |
Pozn.: Projektivita soumístných soustav zadává jednoznačně samodružné body, zpětně však nikoli. Naproti tomu involuce je jednoznačně určena svými samodružnými body. Konstrukce involuce se stejnými samodružnými elementy, jako má daná projektivita. Věta + Definice: existují právě dva body, z nichž se eliptická involuce na přímce promítá absolutní involucí přímek ve svazku - tzv. pomocné body eliptické involuce. Definice: ohnisko středové kčky je reálný průsečík jejích izotropických tečen, řídící přímka = jeho polára. Věta: bod je ohniskem právě když involuce sdružených polár, indukovaná v tomto bodě kčkou, je involuce absolutní. Pozn.: Ohniska splývají právě když jde o kružnici. Pozn.: Tečna a normála v bodě dotyku jsou speciálním případem sdružených kolmých polár. Věta: 1. Kčka má dvě ohniska (evtl. splývající - pro kružnici), jsou umístěna symtericky podle středu na jedné z os, tzv. hlavní ose. Ohniska jsou sam. body involuce na hlavní ose, jejímž úběžníkem je střed kčky a páry jsou vyťaty sdruženými kolmými polárami. 2. Každé z ohnisek je pomocným bodem eliptické involuce na vedlejší ose, jejíž páry jsou vyťaty sdruženými kolmými polárami. 3. Každá kružnice, opsaná trojúhelníku danému vedlejší osou a dvěma libovolnými sdruženými kolmými polárami, protíná hlavní osu v ohniscích. Konstrukce: Dány osy elipsy s vrcholy, určit ohniska. Konstrukce: Dány osy hyperboly s vrcholy (a pomyslnými vrcholy), určit ohniska. Průvodiče bodu, délky poloos, excentricita e, číselná excentricita e/a (<1 pro elipsu, >1 pro hyperbolu). Tečna a normála půlí úhly průvodičů. Úhly mezi tečnami z vnějšího bodu a jeho spojnicemi s ohnisky jsou stejné. Pro elipsu/hyperbolu je součet/rozdíl délek průvodičů konstatní a roven 2a. Věta+Definice: Paty kolmic z ohniska spuštěných na tečny tvoří vrcholovou kružnici. Věta: ohnisko tvoří dvě podmínky pro kčku. Věta+Konstrukce: jsou-li dána dvě ohniska a jeden s nimi nekolineární bod, pak tímto bodem prochází jediná elipsa a jediná hyperbola s těmito ohnisky; tyto dvě kčky se v daném bodě protínají kolmo. Slajdy 3 Video 3 |
| 25.3. |
Definice+Věta: ohnisko paraboly vlastní a nevlastní, řídící přímka.
1) Bod je ohniskem právě když involuce sdružených polár, indukovaná v tomto bodě kčkou, je involuce absolutní. 2) Spojnice ohnisek je osa paraboly. Vlastní ohnisko půlí každou úsečku vyťatou na ose sdruženými kolmými polárami (a tedy i každou tečnu a normálu). Konstrukce: ohnisko paraboly zadané čtyřmi tečnami. 3) Vrchol P půlí vzdálenost ohniska od řídící přímky. Def: průvodiče bodu = spojnice bodu s (vlastním i nevlastním) ohniskem. 4) Tečna a normála půlí úhly průvodičů. 5) Úhly mezi tečnami z vnějšího bodu a jeho spojnicemi s ohnisky jsou stejné. 6) e/a=1 Konstrukce: parabola z ohniska a řídící přímky. 7) Paty kolmic, spuštěných z ohniska na tečny P, jsou na vrcholové tečně. 8) Množina bodů, symetrických k ohnisku podle tečen, je řídící prímka. 9) Středy kružnic, procházejících ohniskem a dotýkajícíh se řídící přímky, leží na parabole. 10) Tečny z bodu X jsou kolmé právě když X leží na řídící přímce. 11) Délka subnormály bodu je konstatní a rovna parametru paraboly (=vzdálenosti ohniska od ŘP). 12) Ohnisko půlí subnormálu+subtangentu, vrchol půlí subtangentu. Konstrukce: P z ohnisek a bodu. Existují dvě řešení - paraboly na sebe kolmé v daném bodě. Konstrukce: P z ohniska a dvou tečen. Intermezzo:Desarguesova věta, axiomy PG v rovině, modely PG, nedesarguesovské roviny, Fanova rovina, konečné proj. roviny, hra Dobble. IV. Analytická projektivní geometrie. Def.: projektivní prostor RP^n, projektivní rozšíření afinní roviny, homogenní souřadnice, vyjádření vlastních a nevlastních bodů. Převod mezi homogenními a kartézskými souřadnicemi. Homogenní souřadnice přímek v RP^2. Slajdy 4 Video 4 |
| 1.4. |
Def: projektivita na RP^n je projektivizace vektorového izomorfismu na R^(n+1), její matice je rozměru (n+1)x(n+1) a je určena až na násobek. Příklady. Věta: projektivita zachovává dvojpoměr. Samodružné body projektivity odpovídají vlastním vektorům matice projektivity. Vlastní čísla, vlastní vektory matice. Příklady. Slajdy 5 Video 5 |
| 8.4. | Jordanův kanonický tvar matice. Slajdy 6 Video 6 |
| 15.4. | Jordanův kanonický tvar - dokončení. Samodružné body projektivit, klasifikace projektivit na RP^1. Charakterisitika projektivity na RP^1, její vyjádření z matice projektivity a důkaz věty o samodružných bodech projektivity na přímce. Slajdy 7 Video 7 |
| 22.4. | Definice involuce v analytické PG. Ekvivalentní podmínky pro involuci: A^2~~E, TrA=0, w=-1. Klasifikace involucí v RP^1. Projektivity v RP^2. Působení matice projektivity na přímkách. Silně a slabě samodružné body a přímky. Rozbor jednotlivých případů. Slajdy 8 Video 8 |
| 29.4. | Lineární, bilineární a kvadratické formy, jejich matice a transformační formule. Polární báze, Sylvesterův zákon setrvačnosti, signatura. Vrchol formy. Kvadriky v RP^n - definice a několik příkladů. Slajdy 9 Video 9 |
| 6.5. | Kvadriky regulární a singulární, polárně sdružené body, singulární a regulární body, vrchol kvadriky, výpočet vrcholu, doplněk podprostoru v RP^n, podstava kvadriky, strukturální věta pro kvadriky. Polární nadrovina (polára), její výpočet. Slajdy 10 Video 10 |
| 13.5. | Tečna a tečná nadrovina, výpočet tečen z bodu ke kčce. Maximální prostory na kvadrice, projektivní a afinní klasifikace kvadrik. Slajdy 11 Video 11 |
| 20.5. | Příklady na klasifikaci kuželoseček. Metrické vlastnosti: směry os, délky poloos, ohnisková vzdálenost. Klasifikace kvadrik v RP^3. Slajdy 12 Video 12 |
| 27.5. | Příklady na klasifikaci kvadrik v RP^3. Slajdy 13 Video 13 |