Neeuklidovská geometrie - přednáška a cvičení (nejen) pro 4.+5. ročník U

Literatura:

Zajímavé odkazy:

Podmínky zápočtu a požadavky ke zkoušce:

K zápočtu je třeba připravit si a přednést referát(y) v množství a rozsahu domluveném na místě.
Požadavky ke zkoušce (NEEG 1).

Referáty ZS:

Referáty LS:

Co jsme probrali:

(Můžete se podívat i na průběh minulého roku.)

Zimní semestr:

7.10. Úvod - motivace do studia neeukl. geom. Euklidovy axiomy, jiné možné typy geometrií, zejména sférická na sféře a na "ztotožněné sféře". Co lze vyrobit z papírové pásky. Ekvivalentní vyjádření 5. axiomu. Afinní geometrie. Afinní rovina, dělící poměr bodů na afinní přímce. Střed úsečky. Kterých hodnot nabývá dělící poměr při permutacích bodů a v jakých případech jsou některé tyto hodnoty totožné?

14.10. Projektivní geometrie.Projektivní prostor, projektivní rozšíření afinního prostoru, homogenní souřadnice, vlastní a nevlastní body, dvojí náhled na projektivní přímku, dualita v projektivní rovině, převod mezi kartézskými a homogenními souřadnicemi, objekty vyjádřené homogenními polynomy. Dvojpoměr čtyř vektorů, čtyř bodů, výpočetní lemma se čtyřmi determinanty, vztah dvojpoměru a dělícího poměru pro 4 vlastní body, pro 3 vlastní body a 1 nevlastní. Hodnoty dvojpoměru při permutacích bodů, Kleinova čtyřgrupa. Harmonická (a ekvianharmonická) čtveřice bodů.

21.10. Kvadriky. Bilineární a kvadratické formy, kvadriky v proj. prostoru, regulární a singulární kvadriky, polární sdruženost, singulární bod, vrchol kvadriky, signatura, maximální podprostory na kvadrice. Projektivní klasifikace kvadrik v dimenzi 1 a 2. Polární nadrovina (polára), pól, tečná nadrovina (tečna), bod dotyku. Algebraický výpočet poláry pro daný pól. Pohybové grupy. Popis euklidovské geometrie v rovině pomocí grupy eukl. transformací E_2 (rotace, translace, reflexe a jejich složení, čili shodnosti).

4.11. Referát 1: Ekvivalentní formulace 5. postulátu.

11.11. Referát 2 - 1. část: Předhistorie neeuklidovské geometrie až po Saccheriho.

18.11. Referát 2 - 2. část: Předhistorie neeuklidovské geometrie.

25.11. Referát 3: Objevitelé neeuklidovské geometrie. Grupy transformací euklidovské (E_2), afinní (Af_2) a projektivní (PGL_3) geometrie, jejich dimenze, číselné a množinové invarianty. Izotropické přímky, izotropické body.

2.12. Referát 4: Grupa Af_2 je podgrupou PGL_3; výpočet izotropických bodů jako vlastních vektorů rotačních matic. Kleinova základní idea: geometrie na prostoru P může být dána třemi způsoby: 1. měření délek a úhlů, 2. zadání grupy pohybových transformací, 3. zadání grupy tak, že zachovává danou kvadriku. Komplexní funkce exp a Log. Laguerrův vzorec pro výpočet úhlu přímek ve svazku pomocí dvojpoměru.

9.12. Zavedení neeukl. geometrie v dimenzi 1 - klasifikace pomocí zadané kvadriky, absolutní elementy. Požadavky kladené na míru dvou elementů: invaiance vůči pohybové grupě a početní vlastnosti. Výpočet dvojpoměru pomocí zadané formy. Zavedení míry pomocí logaritmu z dvojpoměru. Hyperbolická přímka. Volba konstanty c a z ní plynoucí vlastnosti hyperbolické přímky: rozdělení na dva díly.

16.12. Výpočtové vzorce pro hyperbolickou míru, nevl. body = abs. body. Geometrický význam konstanty k, analytický výpočet hyperbolické vzdálenosti. Perspektivita a projektivita bodových řad. Konstrukce na hyp. přímce: přenesení délky, rozpůlení úsečky.

6.1. Referát 5. Popis pohybových grup pro elipt. a hyperb. přímku. Eliptická přímka. Volba konstanty c=l (el, ne jedna) a z ní plynoucí vlastnosti: omezenost, celková míra l\pi, vzorce pro výpočet míry; lokální interpretace eliptické geometrie s konstantou l jako euklidovské geometrie na kružnici o poloměru l. Parabolická geometrie. Úprava základního vzorce, definice míry, volba jednotky délky.

13.1. Referát 6. Sférická trigonometrie. Úvod do hyperbolické geometrie v rovině (Beltramiho-Kleinův model): absolutní kružnice, hyperbolické měření délek, vzájemné polohy přímek: různoběžky, rovnoběžky, mimoběžky; existence dvou rovnoběžek daným bodem.

Letní semestr:

24.2. Neeuklid. geometrie v dimenzi 2. Přímkové souřadnice. Hyperbolická rovina -- Beltramiho-Kleinův model. Odvození měření vzdáleností a úhlů. Dvě přímky - klasifikace vzájemných poloh. Kolmost, vyjádření kolmosti v BK modelu, existence společných kolmic. Trojúhelníky - možné případy.

2.3. Referát 1. Úhel rovnoběžnosti, závislost velikosti úhlu na délce ramene. Kružnice v hyp. rovině - 1. definice, rovnice kružnice v BK modelu.

9.3. Referát 2. Obrazem kružnice je elipsa. Lemma: Společné dotykové body kružnic ve svazku jsou dotykovými body k absolutní kuželosečce a příslušná přímka je spojující je polárou středu. Věta o kolmosti tečen na poloměry.

16.3. Kružnice - obecná definice jako ortogonální trajektorie svazku přímek. Svazky kružnic, tři druhy kružnic: cykly, horocykly, hypercykly. Referát 3.

23.3. Referát 4. Věta: Délky poloměrů vyťaté kružnicemi svazku jsou konstantní (pro cykly, horocykly i hypercykly), zavedení pojmu ekvidistanty.

30.3., 6.4., 13.4., 20.4. Nekoná se -- výukové praxe.

27.4. Referát 5. Explicitní popis pohybové grupy Lobačevského roviny: tři druhy pohybů, podmínky na příslušné transformace.

4.5. Nekoná se -- rektorský den.

11.5. Výpočet tří druhů pohybu v Lob. rovině: cyklický pohyb (otáčení), po ekvidistantě (posunutí), horocyklický pohyb. Některé další vzorce v hyp. rovině, odovozené pomocí Weierstrassových souřadnic a úvah o pohybových invariantech: analogie Pyth. věty.

18.5. úhel různoběžek, vzdálenost bodu od přímky, vzdálenost mimoběžek. Přehled modelů hyperbolické roviny. Gaussova křivost, Beltramiho pseudosféra

25.5. Izometrická reprezentace hyperbolické roviny jako sféry o imaginárním poloměru. Trigonometrie, nový důkaz vzorce pro úhel rovnoběžnosti, Lobačevského základní rovnice, obsah trojúhelníka. Délka cyklu, obsah cyklu a možnost "kvadratury kruhu". Eliptická rovina. Parabolické geometrie, Minkowského rovina. Hyperbolický prostor a interpretace euklidovské roviny jako horosféry.

Zpět na hlavní stránku Lukáše Krumpa