Přednášky z MA 1b (březen 2008)

Přednáška 5 (středa 5.3.2008): Nutná a postačující podmínka pro existenci Riemannova integrálu (pomocí dělení D . . .). Existence Riemannova integrálu z funkce f vzhledem k [a, b] pro spojitou f na [a, b] a pro monotonní na [a, b]. Linearita R-integrálu na lineárním prostoru R([a, b]) všech R-integrovatelných funkcí  na [a, b].

Přednáška 6 (čtvrtek 6.3.2008): Některá pomocná tvrzení (bez důkazu): Aproximace (horního, dolního) R-integrálu pomocí horních a dolních součtů v závislosti na normě dělení. R-integrál jako "limita dle normy dělení" (vyložen přesný význam). Pro omezenou funkci f na [a,b] platí: Je-li f \in R([a,b]), pak také f^+, f^- a | f | leží v R([a,b]). R-integrál jako funkcionál na R([a,b]); je nezáporný a tudíž monotonní, integruje "dobře" konstantní funkce. Je aditivní vůči oboru? Věta o aditivitě vůči oboru. Některá zobecnění (úmluvy) pro meze. Obecnější chápání vzorce pro aditivitu.

Přednáška 7 (středa 12.3.2008): Newtonův integrál založený na zobecněné primitivní funkci F k f na intervalu I (konečná výjimečná podmnožina, na níž neplatí F'(x ) = f(x), avšak spojitost na I). Rozdíl každých dvou *zobecněných* primitivních  funkcí F,G k téže funkci f  na (a,b) je konstantní. Vlastnosti N-integrálu: nezápornost, linearita na N(a,b), což je prostor všech funkcí s (konečným) N-integrálem na (a,b). Doplňky (dříve bez důkazu): existuje primitivní funkce k f spojité na (a,b) přes derivování R-integrálu "podle horní a dolní meze".

Přednáška 8 (čtvrtek 13.3.2008): Zobecněná primitivní funkce k f nezáporné na (a,b) je neklesající. N-integrál na N(a,b) je nezáporný (lineární) funkcionál. Per partes a substituce pro N-integrál. Má-li f na (a,b) Riemannův i Newtonův integrál, mají stejnou hodnotu, speciálně pro spojitou na [a,b]. Základní odhad pro N-integrál. Délka grafu (speciální) spojité funkce (vzoreček s derivací f '). Wallisův vzorec (důkaz příště).

Přednáška 9 (středa 19.3.2008): Důkaz Wallisova vzorce. Základy teorie funkcí více proměnných - nezbytné minimum pro pochopení diferenciálních rovnic. Diferenciální rovnice a obvyklé konvence, diferenciální rovnice rozřešená vůči nejvyšší v rovnici vystupující derivaci. Řešení rovnice (vždy na otevřeném intervalu), maximální řešení rovnice. Řešit rovnici znamená nalézt systém všech maximálních řešení (každé řešení je pak restrikcí nějakého maximálního řešení). Řešit diferenciální rovnici znamená nalézt její obecné řešení, čímž rozumíme systém všech maximálních řešení. Zjednodušení. (vše spíše orientováno na pochopení základních pojmů a principů). 

Přednáška 10 (čtvrtek 20.3.2008): Nejjednodušší rovnice: lineární rovnice prvního řádu y ' + a(x) y = b(x) (vysvětlení zápisu), řešíme na (c,d), kde jsou funkce a,b spojité. Zkrácený zápis pomocí lineárního zobrazení L(y) = y ' + a(x) y. Věty o souvislosti řešení rovnic L(y) = b(x) a L(y) = 0. Obecné řešení rovnice L(y) = 0 (maximální řešení tvoří lineární podprostor prostoru C^{(1)}((a,b)) ). Řešení rovnice dvojím určováním primitivních funkcí ("kvadraturami").

Přednáška 11 (středa 26.3.2008): Výklad cesty k řešení lineárních diferenciálních rovnic řádu n, problémy. K čemu budeme potřebovat větu o existenci a jednoznačnosti. Stručný popis vlastností řešení rovnice y '  = f (x, y) a jejího zobecnění na rovnici řádu n, tj. y^{(n)}  = f (x, y, y ', . . . , y^{(n-1)}). Lineární diferenciální rovnice řádu n : y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+. . .+ a_n(x)y = b(x), a_1, a_2, . . ., a_n, b \in C((c, d)). Řešení stačí hledat v lineárním prostoru C^{(n)}((c, d)) všech funkcí se spojitými derivacemi na intervalu (c, d) až do řádu n. Tato (maximální) řešení pro případ rovnice L(y) : =  y^{(n)}+a_1(x) y^{(n-1)}+. . .+ a_n(x) y = 0 
(s nulovou pravou stranou) tvoří podprostor  prostoru C^{(n)}((c, d)). Ukážeme, že jeho dimenze je n.

Přednáška 12 (čtvrtek 27.3.2008): Lineární závislost funkcí v prostoru C^{(n-1)}((c, d)). Definice determinantu Wronského, jeho základní vlastnosti (využíváme znalostí z algebry). Nutná podmínka závislosti funkcí y_1, y_2, . . .,y_n. Wronkián pro řešení rovnice L(y) : =  y^{(n)}+a_1(x) y^{(n-1)}+. . .+ a_n(x) y = 0, zesílená disjunkce: W[y_1, y_2, . . .,y_n] je identicky roven nule, nebo je nenulový všude v intervalu  (c, d). Obecné řešení rovnice L(y) = 0.

Předcházející přednášky viz (říjen07, listopad07, prosinec07, únor08)
Následující přednášky viz (duben08, květen08)