Kvantový registr

Až do této chvíle jsme uvažovali pouze jediný osamocený kvantový systém, který představoval jeden qubit. Jak ale víme, klasické počítače jsou vybaveny registry skládajícími se z několika bitových registrů. Takový model, ve kterém je zapotřebí popsat více qubitů, se v kvantové mechanice zapisuje jako direktní tenzorový součin více stavů, který zapisujeme pomocí operace $\otimes$. Formálně tak vytváříme nový prostor generovaný tenzorovým součinem. Například pro dva qubity lze psát, že pokud $\vert\psi_a\rangle \in {\cal H}_1$ a $\vert\psi_b\rangle \in {\cal H}_2$, pak $\vert\psi_a\rangle \otimes \vert\psi_b\rangle \in {\cal H}_1 \otimes {\cal H}_2$. Dále platí, že

$$\vert\psi_a\rangle \otimes \vert\psi_b\rangle = \left(\begin... ... \omega_{11} \\ \end{array}\right) = \vert\psi_{ab}\rangle.$$

Odtud dostáváme sadu nových amplitud pravděpodobností, které odpovídají složeným stavům $\vert0\rangle, \vert1\rangle, \vert 10\rangle, \vert 11\rangle$. Z toho si lze odvodit novou bázi systému, která má nyní podobu:

$$\vert0\rangle = \left(\begin {array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ ... ...left(\begin {array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}\right).$$

Takový paměťový registr, který se skládá ze dvou qubitů, pak analogicky k zápisu jednoduchého qubitového systému obecně vyjádříme jako $\vert\psi_{ab}\rangle = \omega_{00}\vert0\rangle + \omega_{01}\vert1\rangle + \omega_{10}\vert 10\rangle + \omega_{11}\vert 11\rangle.$ Podobně můžeme pokračovat i s registry větší délky: jestliže jsou báze ${\cal B}_1, \ldots, {\cal B}_k$ ortonormálními bázemi prostorů ${\cal H}_1, \ldots, {\cal H}_k$, pak ${\cal B} = \bigotimes_{i=1}^{k} {\cal B}_i$ je ortonormální bází prostoru ${\cal H} = \bigotimes_{i=1}^{k} {\cal H}_i$. V souvislosti s kvantovými registry si někteří fyzici všimli, že složitost simulace kvantových systémů roste exponenciálně s počtem částic (qubitů registru). Napadlo je tedy, zda by zkonstruovaný kvantový počítač nemohl některé exponenciálně složité úlohy řešit efektivněji. Je totiž zřejmé, že kvantový registr v superpozici můžeme chápat jako exponenciálně paralelizovanou verzi paměťového registru, který je schopen pojmout $2^n$ hodnot současně, kde $n$ je počet qubitů registru. Kvantovou operací nad takovým registrem bychom tak manipulovali $2^n$ amplitudami zároveň. Tato vlastnost kvantových systémů se označuje jako kvantový paralelismus a má rozhodující vliv na efektivitu, s jakou kvantový počítač pracuje. Na závěr této části se zmiňme o jedné z nejpodivnějších vlastností kvantového světa. Víme, jak vyjádřit jeden nebo více qubitů. Vždy jsou však na sobě jednotlivé qubity zcela nezávislé (popsané oddělenými Hilbertovými prostory). Existují však fyzikální procesy, kterými můžeme připravit registr, jenž nelze vyjádřit jako tenzorový součin dílčích qubitů. V takovém případě říkáme, že jsou qubity propleteny (entangled). Propletení je stav, ve kterém jsou qubity na sobě v nějakém smyslu závislé (jejich stavy jsou přes určitý atribut korelovány). Konkrétně provedením měření na jednom qubitu víme (již bez měření), jaká je hodnota druhého qubitu. Možné případy můžeme pro propletené qubity $\vert\psi_a\rangle, \vert\psi_b\rangle$ vyjádřit pomocí pravděpodobností jako

$$\begin{array}{l} p( \vert\psi_b\rangle = 1\ \vert\ \vert\psi... ...angle = 0\ \vert\ \vert\psi_a\rangle = 0 ) = 1. \\ \end{array}$$

Tyto podmínky platí zároveň a odpovídají propletení $\vert\psi_{ab}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (\vert0\rangle + \vert 11\rangle)$. Propletení dvou qubitů lze také vyjádřit jako $\vert\psi_{ab}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (\vert1\rangle + \vert 10\rangle)$, přičemž platí podobné podmínky jako v předchozím případě. Měřením se propletení rozpadá a oba qubity nabývají klasických hodnot.

Příklad 6: Ukážeme si, že propletený stav nelze vyjádřit jako součin dílčích složek. Propletení lze zapsat například jako $\vert\psi_{ab}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (\vert0\rangle + \vert 11\rangle)$. Pokud předpokládáme, že tento stav vznikl tenzorovým součinem stavů $\vert\psi_a\rangle = \omega_{0_a} \vert\rangle + \omega_{1_a} \vert 1\rangle, \vert\psi_b\rangle = \omega_{0_b} \vert\rangle + \omega_{1_b} \vert 1\rangle$, pak pro amplitudy kombinací všech qubitů musí platit, že

$$\begin{array}{lllll} \vert0\rangle: & \omega_{0_a} \omega_{0... ...\omega_{1_a} \omega_{1_b} = \frac{1}{\sqrt{2}}. \\ \end{array}$$

Pro $\vert0\rangle$ a $\vert 11\rangle$ musí být koeficienty nenulové, což je v rozporu s dalšími dvěmi podmínkami. Vidíme tak, že propletený stav nelze tenzorovým součinem dílčích qubitů vyjádřit. O fenoménu kvantového propletení budeme podrobněji hovořit v kapitole o kvantové teleportaci, kde se tento jev uplatňuje.