\documentclass[11pt,notitlepage]{report}

\frenchspacing % aktivuje použití některých českých typografických pravidel

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} % nastavuje použité kódování, uživatelé Windows zamění utf8 za cp1250
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,amscd,mathrsfs,enumerate,multicol,color,url}%,showkeys,layout}
\usepackage{verbatim} %pro vynechavani comment
\usepackage[top=1cm, left=1cm, right=1cm]{geometry} % nastavení dané velikosti okrajů
\pagestyle{empty}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defin}{Definice}

\newcommand\lne[1]{\mathcal L(#1)}
\newcommand\sg{\sigma}
\newcommand\spp[1]{\sigma_{\mathrm p}(#1)}
\def\ce{\mathbb C} 
\def\en{\mathbb N}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\qe{\mathbb Q} 
\def\Rea{\mathbb R}
\def\teleso{\mathbb K}
\def\Re{\operatorname{Re}}
\def\Im{\operatorname{Im}}
\def\R{\er}
\def\N{\en}
\newcommand\Z{{\mathbb Z}}
\newcommand\Q{{\mathbb Q}}
%\newcommand\C{{\mathbb C}}
\newcommand\K{{\mathbb K}}
\newcommand\M{{\mathcal M}}
\def\setsep{:\;}
\def\CC{\mathcal C}
\newcommand\C{{\mathbb C}}
\def\nec{Nech\v t\ }
\def\eqdef{\stackrel{\text{\tiny def}}{=}}
\def\Mod{\operatorname{mod}}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\newcommand\lx[1][0]{\displaystyle\lim_{x\to #1}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \cotgh {\operatorname{cotgh}}
\def \tg {\operatorname{tg}}
\def \tgh {\operatorname{tgh}}
\def \sgn {\operatorname{sgn}}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def \arccotg {\operatorname{arccotg}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\def \sumad {\sum_{n=2}^\infty}
\def \d {\, \mathrm{d}}
\def \P {\mathcal{P}}
\newcommand\pdx[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial x}}
\newcommand\pdy[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial y}}
\newcommand\pdz[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial z}}
\def\x{\mathbf{x}}
\def\m{\mathbf{m}}
\newcommand\dgx[1]{\, \mathrm{d} #1}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\Int}{Int}
\DeclareMathOperator{\ess}{ess}
\def\vysledky{\begin{center}----------V\'YSLEDKY----------\end{center}}

%%%%%%%%%ze sbirky%%%%%%%%%
\newcommand\abs[1]{\mathopen|#1\mathclose|}
\newcommand\absa[1]{\left|#1\right|}
\newcommand\absb[2]{\csname#1l\endcsname|#2\csname#1r\endcsname|}
\newcommand\norm[1]{\mathopen\|#1\mathclose\|}
\newcommand\ov[1]{\overline{#1}}
\newcommand\norma[1]{\left\|#1\right\|}
\newcommand\normb[2]{\csname#1l\endcsname\|#2\csname#1r\endcsname\|}
\newcommand\tnorm[1]{\mathopen{|\mkern-1.5mu|\mkern-1.5mu|}#1\mathclose{|\mkern-1.5mu|\mkern-1.5mu|}}


\newtheorem{theorem*}{Věta}

\newcounter{Priklad}
\addtocounter{Priklad}{1}
\newcommand{\pr}{\quad\alph{Priklad})\;\addtocounter{Priklad}{1}}
\newcommand{\resetpr}{\setcounter{Priklad}{1}}

\title{Cvi\v{c}en\'i - Vybrané partie z funkcionální analýzy, MFF}  % tyto dvě položky jsou zde v podstatě formálně, ve skutečnosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}	
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 2}}\ \\
\textbf{1. Ve kterých bodech mají následující funkce derivaci podle komplexní proměnné?}\\ \resetpr
\pr $\overline{z}$ \pr $|z|$ \pr $|z|^2$ \pr $|(\Re z)^2+(\Im z)^2| + 2i|\Re z\cdot \Im z|$ \pr $|z|^2 + i\Re(z^2)$\\ \pr $|z|^2 + i\Im(z^2)$ \pr $(\Re z)^2+i(\Im z)^2$ \pr $\Re(z^2) - i\Im(z^2)$\\[5pt]
\textbf{2. Nalezněte hodnoty parametrů $\alpha,\beta\in\Rea$ tak, aby $f(x+iy):=\frac{3}{2}x^2 - i\alpha xy +\beta y^2$ ($x,y\in\Rea$) byla diferencovatelná ve všech bodech $\C$.}\\[5pt]
\textbf{3. Pro jaké hodnoty $\alpha,\beta\in\Rea$ je funkce $f(x+iy):=x^2 + \alpha x + \alpha y + i(y^2-5\beta y + \beta x)$ ($x,y\in\Rea$) diferencovatelná v bodě $1+3i$?}\\[5pt]
\textbf{4. Je dána funkce $f(x+iy):=x(x^2-\alpha y^2) + iy(\beta x^2- y^2)$ ($x,y\in\Rea$), kde $\alpha,\beta\in\Rea$ jsou parametry. Nalezněte všechny hodnoty parametrů $\alpha,\beta\in\Rea$ tak, aby $f$ byla diferencovatelná }\\ \resetpr \pr na přímce o rovnici $\Im z = 0$ \pr ve všech bodech $\C$.\\[5pt]
\textbf{5. Nalezněte všechny funkce diferencovatelné ve všech bodech $\C$, jejichž reálná část je rovna }\\ \resetpr \pr $u(x+iy) = 2x-x^3+3xy^2$ \pr $v(x+iy) = x^4-6x^2y^2+y^4+2xy$ a $f(0)=2i$.\\[30pt]
\centerline{\MakeUppercase{v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr v žádném bodě \pr v žádném bodě \pr v bodě $0$ \pr v bodě $0$ a v bodech $z$, pro které platí $0<\Im z<\Re z$, $\Re z < \Im z < 0$, $0 < -\Re z < \Im z$ nebo $\Im z<-\Re z < 0$ \pr v bodech přímky $\Re z = -\Im z$ \pr v bodech reálné osy \pr v bodech přímky $\Re z = \Im z$ \pr v bodě $0$\\[5pt]
\textbf{2.} $\alpha = -3$, $\beta = -\frac{3}{2}$\\[5pt]
\textbf{3.} $\alpha = -1$, $\beta = 1$\\[5pt]
\textbf{4.}\resetpr \pr $\beta = 3$, $\alpha \in\Rea$ \pr $\beta = 3 = \alpha$\\[5pt]
\textbf{5.}\resetpr \pr $f(z)=f(x+iy)=2x-x^3+3xy^2 + i(2y-3xy^2+y^3+C) = 2z-z^3+iC$, kde $C\in\Rea$\\ \pr $f(z)=f(x+iy)=x^4-6x^2y^2+y^4+2xy + i(4x^3y-4xy^3+y^2-x^2+2) = z^4 - iz^2 + 2i$
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 3}}\ \\
\textbf{1. Najděte reálnou a imaginární část následujících hodnot funkcí.}\\ \resetpr
\pr $\sin(2+i)$ \pr $\cos(2i)$ \pr $\tg(2-i)$ \pr $\cotg(\tfrac{\pi}{4}-i\log 3)$ \pr $\tgh(2+i)$ \pr $\cotgh(\log 3 + i\tfrac{\pi}{4})$\\[5pt]
\textbf{2. Najděte všechna řešení následujících rovnic v $\C$.}\\ \resetpr
\pr $\sin z + \cos z = 10$ \pr $\sin z - \cos z = i$ \pr $\cosh z - \sinh z = 1$ \pr $\cosh z - \sinh z = 2i$\\[30pt]
\centerline{\MakeUppercase{v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.}Výsledky ve tvaru $\Re z$; $\Im z$: \resetpr \pr $\sin 2\cdot \cosh 1$; $\cos 2\cdot \sinh 1$ \pr $\cosh 2$; $0$ \pr $\frac{\sin 2\cdot \cos 2}{\cos^2 2+\sinh^2 1}$; $\frac{-\sinh 1\cdot \cosh 1}{\cos^2 2+\sinh^2 1}$ \pr $\frac{9}{41}$; $\frac{40}{41}$ \pr $\frac{\sinh 2\cdot \cosh 2}{\cos^2 1+\sinh^2 2}$; $\frac{\sin 1\cdot \cos 1}{\cos^2 1+\sinh^2 2}$ \pr $\frac{40}{41}$; $-\frac{9}{41}$\\
\textbf{2.}\resetpr \pr $\frac{\pi}{4} + 2k\pi - i\log(5\sqrt{2}\pm 7)$, $k\in\Z$ \pr $\frac{\pi}{4} + 2k\pi - i\log \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$, $-\frac{3\pi}{4} + 2k\pi - i\log \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$, $k\in\Z$ \pr $2k\pi i$, $k\in\Z$ \pr $-\log 2 + i(-\frac{\pi}{2}+2k\pi)$ , $k\in\Z$
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 4}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr Spočtěte pro $z\in\{-1,1+i,-i\}$ hodnoty $\log(z^2)$ a $2\log(z)$.\\
\pr Ukažte, že pro $z=-1$, $b=2$ a $a=1/2$ dostaneme $m_a(m_b(z)) \neq m_{ab}(z)$.\\
\pr Nalezněte číslo $z\in \C$ takové, že $\log(m_2(z))\neq 2\log(z)$.\\
\pr Nalezněte čísla $z,w,a\in \C$ taková, že $m_a(zw)\neq m_a(z)\cdot m_a(w)$.\\[5pt]
\textbf{2. Spočtěte křivkový integrál $\int_\varphi f$, kde:}\\ \resetpr
\pr $f(z)=\Re z$, $\varphi$ je orientovaná úsečka $[0,1+i]$\\
\pr $f(z)=\Im z$, $\varphi$ je kladně orientovaná půlkružnice daná podmínkami $|z|=1$, $0\leq \arg z\leq \pi$\\
\pr $f(z)=|z|$, $\varphi$ je orientovaná úsečka $[0,2-i]$\\
\pr $f(z)=|z|$, $\varphi$ je kladně orientovaná půlkružnice daná podmínkami $|z|=1$, $-\frac{\pi}{2}\leq \arg z\leq \frac{\pi}{2}$\\
\pr $f(z)=ze^z$, $\varphi$ je  kladně orientovaný čtverec s vrcholy $0$, $1$, $1 + i$, $i$\\
\pr $f(z)=\frac{z}{\overline{z}}$, $\varphi$ je  kladně orientovaná hranice horního polomezikruží se středem v $0$ a poloměry $1$ a $2$\\
\pr $f(z) = (z-a)^n$ (kde $a\in \C$ a $n\in\zet$), $\varphi$ je kladně orientovaná kružnice $|z-a|=R$, $R > 0$.
\\[30pt]
\centerline{\MakeUppercase{v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr $\log((-1)^2)=0\neq 2\pi i = 2\log(-1)$, $\log((1+i)^2) = \log(2) + i\frac{\pi}{2} = 2\log(1+i)$, $\log((-i)^2) = \pi i \neq -\pi i = 2\log(-i)$ \pr $m_{ab}(z)=i\neq \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) = m_a(m_b(z))$\\
\textbf{2.}\resetpr \pr $\frac{1+i}{2}$ \pr $-\frac{\pi}{2}$ \pr $\frac{1}{2}\sqrt{5}(2-i)$ \pr $2i$ \pr $0$ \pr $\frac{4}{3}$ \pr $2\pi i$ pokud je $n = -1$, jinak $0$
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 5}}\ \\
\textbf{1. Spočtěte $\int_\varphi f$, pro funkce $f$ zadané níže, kde $\varphi$ je půlelipsa, která vede od  $\frac{\pi}{2}$ přes $2 \pi i$ do $-\frac{\pi}{2}$ a jejíž hlavní osy leží na souřadních osách.}\\ \resetpr \pr $f(z)=(z+i)^2$ \pr $f(z)=z e^{iz^2}$ \pr $f(z)=z \cos z$ \pr $f(z) = z e^z$\\
(\emph{Hint: elipsa má tvar $\varphi(t)=a\cos t + i b\sin t$})\\[5pt]
\textbf{2.}\resetpr \pr Nalezněte primitivní funkci k $\frac{1}{z}$ na $\C\setminus (-\infty,0]$ a s pomocí primitivní funkce spočtěte $\int_{\varphi_\varepsilon} \tfrac{1}{z}$ pro $\varepsilon\in (0,1)$ a $\varphi_\varepsilon(t):=e^{it}$, $t\in [-\pi + \varepsilon,\pi-\varepsilon]$.\\
\pr Spočtěte $\int_{\varphi_0} \tfrac{1}{z}$ a dokažte, že $\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\varphi_\varepsilon} \tfrac{1}{z} = \int_{\varphi_0} \tfrac{1}{z}$.\\
\pr  Dokažte, že $\tfrac{1}{z}$ nemá primitivní funkci na $\C\setminus\{0\}$.\\[5pt]
\textbf{3.}\resetpr \pr Nalezněte primitivní funkci k $\log z$ na $\C\setminus (-\infty,0]$ a s pomocí primitivní funkce spočtěte $\int_{\varphi_\varepsilon} \log z$ pro $\varepsilon\in (0,1)$ a $\varphi_\varepsilon(t):=e^{it}$, $t\in [-\pi + \varepsilon,\pi-\varepsilon]$.\\
\pr Spočtěte $\int_{\varphi_0} \log z$ a dokažte, že $\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\varphi_\varepsilon} \log z = \int_{\varphi_0} \log z$.\\
\pr Dokažte, že $\log z$ nemá primitivní funkci na $\C\setminus\{0\}$.\\[5pt]
\textbf{4.}\resetpr \pr Spočtěte $\int_\varphi \frac{1}{m_{1/2}(z)}$, kde $\varphi$ je polokružnice $|z|=1$ z bodu $1$ do $-1$ přes horní polorovinu.\\
\pr Spočtěte $\int_\varphi \frac{1}{m_{1/2}(z)}$, kde kladně orientovaná kružnice $|z|=1$ z bodu $-1$.\\
\pr Dokažte, že $\frac{1}{m_{1/2}(z)}$ nemá primitivní funkci na $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ a že má primitivní funkci na $\C\setminus (-\infty,0]$.\\[5pt]
\textbf{5. Dokažte, že neexistuje holomorfní funkce $L$ na $\C\setminus\{0\}$ splňující $e^{L(z)}=z$ pro $z\in \C\setminus\{0\}$.}\\
(\emph{Hint: Ukažte, že by muselo platit $L'(z) = \tfrac{1}{z}$ a použijte Příklad 2.})\\[30pt]
\centerline{\MakeUppercase{v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr $\pi-\frac{\pi^3}{12}$ \pr $0$ \pr $0$ \pr $2\sinh\frac{\pi}{2}-\pi\cosh(\frac{\pi}{2})$\\
\textbf{2.}\resetpr \pr $2i(\pi - \varepsilon)$ \pr $2\pi i$\\
\textbf{3.}\resetpr \pr $-2i(\pi-\varepsilon)\cos \varepsilon + 2i\sin\varepsilon$ \pr $-2\pi$\\
\textbf{4.}\resetpr \pr $2(i-1)$ \pr $4i$
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 6}}\ \\
\textbf{1. Spočtěte přírůstek logaritmu funkce $(z-1)(z + 2)$ podél kladně
orientovaného obvodu čtverce s vrcholy $r(1+i)$, $r(-1+i)$, $r(-1-i)$ a $r(1-i)$ v závislosti na $r > 0$.}\\[5pt]
\textbf{2. Načrtněte $\langle \varphi \rangle$ a určete hodnotu indexu vzhledem k $\varphi$ v jednotlivých komponentách $\C\setminus \langle \varphi \rangle$ pro následující křivky.}\\ \resetpr
\pr \[\varphi = \psi \dotplus \Big[\tfrac{10}{3}\pi - \tfrac{i}{2},- \tfrac{i}{2}\Big] \dotplus \theta \dotplus \Big[4\pi - \tfrac{i}{2},4\pi + \tfrac{i}{2}\Big]\dotplus \Big[4\pi + \tfrac{i}{2},\tfrac{i}{2}\Big]\dotplus \Big[\tfrac{i}{2},i\Big],\]
kde $\psi(t)=t + i\cos t$ pro $t\in [0,\tfrac{10}{3}\pi]\quad $ a $\quad \theta(t)=t-\tfrac{3}{2}i+i\cos t$ pro $t\in [0,4\pi]$\\[3pt]
\pr \[\varphi = \psi \dotplus [1,-3i]\dotplus [-3i,2i] \dotplus \theta \dotplus [\tfrac{8}{3}\pi + \tfrac{i}{2},-1+\tfrac{i}{2}]\dotplus [-1+\tfrac{i}{2},-1+i]\dotplus [-1+i,2\pi + i]\dotplus [2\pi + i,2\pi - 3i]\dotplus [2\pi - 3i,-1]\text{,}\]
kde $\psi(t)=t + i(t^2-1)$ pro $t\in [-1,1]\quad $ a $\quad \theta(t)=t+i(1+\cos t)$ pro $t\in [0,\tfrac{8}{3}\pi]$\\[3pt]
\pr
\[
\varphi = \psi \dotplus \Big[\tfrac{25}{6}\pi + \tfrac{i}{2},-1+ \tfrac{i}{2}\Big] \dotplus \Big[-1+ \tfrac{i}{2},-1\Big]\dotplus [-1,6\pi]\dotplus \theta,
\]
kde $\psi(t)=t + i\sin t$ pro $t\in [0,\tfrac{25}{6}\pi]\quad $ a $\quad \theta(t)=3\pi + 3\pi e^{-it}$ pro $t\in [0,\pi]$\\[30pt]
\centerline{\MakeUppercase{v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.} $0$ pro $r < 1$, $2\pi i$ pro $r\in (1,2)$, $4\pi i$ pro $r > 2$. Pro $r\in \{1,2\}$ není definováno.\\
\textbf{2.} Viz. výsledky zkou\v{s}kových písemek z webu prof. Kalendy dostupné na odkazu

\url{https://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/edu.php?edutype=archpis}
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 7}}\ \\
\textbf{1. Spo\v{c}t\v{e}te $\int_\varphi f$, kde}\resetpr\\
\pr $f(z)=\tfrac{\sin(z+i)}{z^2+1}$ a $\varphi$ je kladně orientovaná kružnice o středu $0$ a poloměru $2$\\
\pr $f(z)=\tfrac{e^z}{z^2-1}$ a $\varphi$ je kladně orientovaná kružnice $|z|=2$\\
\pr $f(z)=\tfrac{e^z-e}{z^2-1}$ a $\varphi$ je kladně orientovaná kružnice $|z|=2$\\
\pr $f(z)=\tfrac{e^z}{2\pi i(z^2+ a^2)}$ a $\varphi$ je kladně orientovaná kružnice o středu $0$ a poloměru $2a$, $a>0$ \\
\pr $f(z)=\tfrac{e^z}{z^{12}+2} - 2\overline{z}$ a $\varphi$ je kladně orientovaná kružnice $|z|=1$ \\
\pr $f(z)=\tfrac{z\sin z + z^2}{z+\pi}$ a $\varphi$ je kladně orientovaná kružnice $|z|=10$ \\[30pt]
\centerline{\MakeUppercase{v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.} \resetpr \pr $\pi\sin(2i)=-i\pi\sinh(2)$ \pr $\pi i(e-\tfrac{1}{e})$ \pr $\pi i(e-\tfrac{1}{e})$ \pr $\tfrac{\sin a}{a}$ \pr $-4\pi i$ \pr $2\pi^3 i$\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 9}}\ \\
\textbf{1. Určete násobnost kořenů funkcí:}\resetpr \pr $z^2-z^5$, všechny kořeny \pr $(1-m_{1/2}(z))^3$, kořen $1$ \pr $e^{z^2}-1$, všechny kořeny \pr $1-\cos z$, všechny kořeny \pr $e^{\sin z}-e^{\tg z}$, kořen $0$\\[5pt]
\textbf{2. U následujících funkcí nalezněte definiční obor, kořeny a jejich násobnost:}\resetpr\\ \[\text{\pr} \frac{\sin(e^z)}{\cos(e^z)-1},\quad \text{\pr} \tg(z^2)\cdot \sin^2(2z),\quad \text{\pr} \frac{\exp(\frac{\pi i}{z})-1}{\cos(\pi z)},\quad \text{\pr} \frac{\exp(z^2)-1}{(\exp(z)-1)^2}\]
\textbf{3. Spočtěte hodnotu integrálu}
\[\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{x^2+1} \d x\]
(NÁVOD: Integrujte funkci $\frac{e^{iz}}{z^2+1}$ přes křivku $[-R,R]\dotplus \psi_R$, kde $\psi_R$ je kladně orientovaná horní polokružnice o středu $0$ a poloměru $R$. Integrujte dvěma způsoby: dokažte, že limita integrálu přes $\psi_R$ pro $R\to \infty$ je nula a spočtěte limita integrálu přes $[-R,R]$; pro druhý způsob výpočtu použijte rozklad na parciální zlomky a Cauchyovu větu (můžete bez důkazu použít, že Cauchyova věta pro kružnici platí i pro horní půlkružnici). )



\centerline{\MakeUppercase{v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr $0$ násobnosti $2$, $-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$ násobnosti $1$ \pr $3$ \pr $0$ násobnosti $2$, $\sqrt{k\pi}(\pm 1\pm i)$ (všechny čtyři kombinace znamének), $k\in\en$, násobnosti $1$ \pr $2k\pi$, $k\in\zet$, všechny násobnosti $2$ \pr $3$\\[5pt]
\textbf{2.} \resetpr \pr definiční obor $\ce\setminus \{\ln(2k\pi) + i\pi l\colon k\in\en,\;l\in\zet\}$, kořeny $\ln((2k-1)\pi) + i\pi l$ pro $k\in\en$ a $l\in\zet$, všechny jsou násobnosti $1$ \pr definiční obor $\ce\setminus \{\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}+k\pi}, \pm i\sqrt{\frac{\pi}{2}+k\pi}\colon k\in\en\cup \{0\}\}$, kořen $0$ násobnosti $4$, kořeny $k\frac{\pi}{2}$ pro $k\in \zet\setminus\{0\}$ násobnosti $2$, kořeny $\pm\sqrt{k\pi}$ a $\pm i \sqrt{k\pi}$ pro $k\in\en$ násobnosti $1$ \pr definiční obor $\ce\setminus (\{\frac{1}{2} + k\colon k\in\zet\}\cup \{0\})$, kořeny $\frac{1}{2k}$ pro $k\in\zet\setminus\{0,\pm1\}$, všechny jsou násobnosti $1$ \pr definiční obor $\ce\setminus\{2k\pi i\colon k\in \zet\}$, kořeny $\{\pm\sqrt{k\pi}(1+i), \pm\sqrt{k\pi}(1-i)\colon k\in\en\}$, všechny jsou násobnosti $1$\\[5pt]
\textbf{3.} $\frac{\pi}{e}$
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 11}}\ \\
\textbf{1. Spočtěte následující Newtonovy integrály:}\resetpr \\
\pr $\int_0^{2\pi} \frac{dx}{a + \cos x}, \quad (a \in \mathbb{R},\ |a| > 1)$
\pr $ \int_0^{2\pi} \frac{dx}{(a + b \cos x)^2}, \quad (a > b > 0)$\\[3pt]
(HINT: integrály tipu $\int_0^{2\pi} R(\cos x,\sin x) dx$ kde $R$ je racionální funkce dvou proměnných, která nemá nulu ve jmenovateli je možné počítat následující metodou. Vyjádřete $\sin x$ a $\cos x$ pomocí exponenicály a podle definice křivkového integrálu převeďte na integrál přes kladně orientovanou jednotkovou kružnici. Ten spočtěte dle reziduové věty. Je-li integrační interval kratší, použijte vhodné symetrie integrované funkce.)\\[5pt]
\textbf{2. Spočtěte následující Newtonovy integrály:}\resetpr 
\pr $\int_0^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)^n}, \quad (n \in \mathbb{N})$
\pr $\int_0^{\infty} \frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} \, dx$\\
\pr $\int_0^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)}, \quad (a, b > 0)$\\[3pt]
(HINT: integrály tipu $\int_{-\infty}^\infty \frac{P(x)}{Q(x)} dx$ kde $P,Q$ jsou polynomy, $Q$ nemá kořen v $\mathbb{R}$ a $\operatorname{deg}Q\geq \operatorname{deg}P + 2$ je možné počítat následující metodou. Nejprve převeďte na integrál od $-\infty$ do $\infty$ pomocí symetrie. Pak integrujte přes $[-R, R] \cup \varphi_R$, kde $\varphi_R(t) = Re^{it}$, $t \in [0, \pi]$, použijte reziduovou větu a to, že integrál přes $\varphi_R$ má limitu $0$ pro $R \to \infty$.)\\[5pt]
\textbf{3. Spočtěte následující Newtonovy integrály:}\\ \resetpr
\pr $\int_0^{2\pi} \frac{dx}{a + b \sin^2 x}, \quad (a, b > 0)$
%\pr $\int_0^{\pi} \frac{\cos(nx)}{1 - 2a \cos x + a^2} \, dx, \quad (a \in \mathbb{R},\ a \ne \pm 1,\ n \in \mathbb{N})$\\
\pr $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{(x^2 + 4x + 13)^2} \, dx$
\pr $ \int_0^{\infty} \frac{x^2}{(x^2 + a^2)^3} \, dx, \quad (a > 0)$\\
\pr $\int_0^{\pi} \tan(x + ia) \, dx, \quad (a \in \mathbb{R},\ a \ne 0)$
%\pr $\int_0^{2\pi} \cot(x + a) \, dx, \quad (a \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R})$
%\pr $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^n}{1 + x^{2n}} \, dx, \quad (n \in \mathbb{N},\ n > 1)$
%\pr $ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2 - x + 2}{x^4 + 10x^2 + 9} \, dx$
%\pr $\int_0^{\pi} \frac{\cos^4 x}{1 + \sin^2 x} \, dx$
\\[10pt]

\centerline{\MakeUppercase{v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr $\frac{2\pi \, \mathrm{sgn}(a)}{\sqrt{a^2 - 1}}$ \pr $\frac{2\pi a}{\left( \sqrt{a^2 - b^2} \right)^3}$ \\[3pt]
\textbf{2.}\resetpr \pr $\frac{\pi}{2^{2n-1}} {2n-1\choose n-1}$ \pr $\frac{\pi}{\sqrt{2}}$ \pr $\frac{\pi}{2ab(a + b)}$\\
\textbf{3.}\resetpr \pr $\frac{\pi}{\sqrt{a(a + b)}}$ 
%\pr $\frac{\pi}{|a^2 - 1|} \cdot \left( \min\left\{ |a|, \frac{1}{|a|} \right\} \right)^n$
\pr $-\frac{\pi}{27}$
\pr $\frac{\pi}{16a^3}$
\pr $\pi i \, \mathrm{sgn}(a)$ 
%\pr $-2\pi i \, \mathrm{sgn}(\operatorname{Im} a)$ 
%\pr \pr \pr $2\pi \left( \sqrt{2} - \frac{5}{4} \right)$




\end{document}