\documentclass[11pt,notitlepage]{report}

\frenchspacing % aktivuje použití některých českých typografických pravidel

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} % nastavuje použité kódování, uživatelé Windows zamění utf8 za cp1250
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,amscd,mathrsfs,enumerate,multicol,color,url}%,showkeys,layout}
\usepackage{verbatim} %pro vynechavani comment
\usepackage[top=1cm, left=1cm, right=1cm]{geometry} % nastavení dané velikosti okrajů
\pagestyle{empty}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defin}{Definice}

\def\ce{\mathbb C} 
\def\en{\mathbb N}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\qe{\mathbb Q} 
\def\er{\mathbb R}
\def\HH{\mathbb H}
\def\A{\mathcal A}
\def\U{\mathcal U}
\def\B{\mathcal B}
\def\C{\mathcal C}
\def\R{\er}
\def\N{\en}
\def\setsep{:\;}
\def\nec{Nech\v t\ }
\def\eqdef{\stackrel{\text{\tiny def}}{=}}
\def\Mod{\operatorname{mod}}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\newcommand\lx[1][0]{\displaystyle\lim_{x\to #1}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \tg {\operatorname{tg}}
\def \sgn {\operatorname{sgn}}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def \arccotg {\operatorname{arccotg}}
\newcommand{\cl}{\overline }
\def\Int{\operatorname{Int}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\def \sumad {\sum_{n=2}^\infty}
\def \dx {\, \mathrm{d} x}
\def \P {\mathcal{P}}
\def\x{\mathbf{x}}
\def\m{\mathbf{m}}
\newcommand\dgx[1]{\, \mathrm{d} #1}
\def\vysledky{\begin{center}----------V\'YSLEDKY----------\end{center}}

\newtheorem*{thm}{V\v{e}ta}

\newcounter{Priklad}
\addtocounter{Priklad}{1}
\newcommand{\pr}{\quad\alph{Priklad})\;\addtocounter{Priklad}{1}}
\newcommand{\resetpr}{\setcounter{Priklad}{1}}

\title{Cvi\v{c}en\'i - Obecná topologie}  % tyto dvě položky jsou zde v podstatě formálně, ve skutečnosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}
\centerline{\MakeUppercase{cvičení 1}}\ \\
\textbf{1. Double arrow space: }Ukažte, že otevřené intervaly na lineárně uspořádaném prostoru tvoří bázi topologie (tj. splňují podmínky (B1) a (B2)). Uvažujte pak 
\[
[0,1]\times \{0,1\}:=\{(x,i)\colon x\in [0,1],\, i\in\{0,1\}\}
\]
s lexikografickým uspořádáním, tj. $(x,i)<(y,j)$ právě když $x<y$ nebo $(x=y\;\&\;i<j)$. Příslušnému uspořádanému topologickému prostoru říkáme \emph{double arrow space} (někdy také \emph{split interval}). Dokažte, že následující systém tvoří bázi topologie generované uspořádáním na tomto prostoru
\[
\mathcal{B}:=\Big\{\{(0,0)\},\{(1,1)\}\Big\}\cup \{(a,b]\times\{0\}\cup [a,b)\times \{1\}\colon 0\leq a<b\leq 1\}.
\]

\smallskip

\noindent\textbf{2. Nechť $X$ je Sorgenfreyova přímka, nebo double arrow space. Dokažte, že $w(X)=2^\omega$ a $\chi(X)=\omega$.}\\
Dobrovolně navíc: dokažte, že $X$ je separabilní (tj. existuje spočetná $D\subset X$ která má neprázdný průnik s každou otevřenou množinou) a odvoďte, že $X$ není metrizovatelný.

\smallskip

\noindent\textbf{3. Mrówka-Isbell space: }Soustava $\A$ nekonečných podmnožin $\en$ se nazývá \emph{skoro disjunktní}, jestliže průnik
každých dvou různých množin z $\A$ je konečný. Pro skoro disjunktní $\A\subset \P(X)$ definujeme \emph{Mrówka-Isbell space} $\psi(\A)$ jako množinu $\en\cup \A$ s topologií zadanou pomocí otevřené báze okolí bodů následujícím způsobem:
\begin{itemize}
    \item pro $n\in\en$ systém $\B(n)$ sestává z jednobodové množiny $\{n\}$,
    \item pro $A \in \A$ je báze okolí $\B(A)$ tvořena množinami typu $U(A;F):=\{A\} \cup (A \setminus F)$, kde $F \subset \en$ je konečná.
\end{itemize}
Dokažte, že pak vskutku $\{\B(x)\}_{x\in \psi(\A)}$ splňuje podmínky (O1)-(O3) a tedy definice topologie výše je korektní. Dále ukažte, že pokud je $\A$ nekonečný, pak $\chi\big(\psi(\A)\big)=\omega$, $w\big(\psi(\A)\big)=|\A|$ a $\psi(\A)$ je separabilní (tj. existuje spočetná $D\subset \psi(\A)$ která má neprázdný průnik s každou otevřenou množinou). Odvoďte, že pokud je $\A$ je nespočetný pak $\psi(\A)$ není metrizovatelný.\\
Dobrovolně navíc: dokažte, že existuje skoro disjunktní $\A\subset \P(\en)$ mohutnosti kontinuum.

\smallskip

\noindent\textbf{4. Křížková topologie: } Ukažte, že předpisem: $A\subseteq\mathbb R^2$ je otevřená, právě když
$$\forall(x, y)\in A\quad\exists \varepsilon>0:\bigl(\{x\}\times(y-\varepsilon, y+\varepsilon)\bigr)\cup\bigl((x-\varepsilon, x+\varepsilon)\times\{y\}\bigr)\subseteq A,$$
je korektně zadaná topologie na množině $\mathbb R^2$. Najděte otevřenou množinu v této topologii, která není otevřená v Euklidovské topologii.

\smallskip

\noindent\textbf{5. Dokažte, že každá báze $\mathcal B$ prostoru $X$ obsahuje bázi $\mathcal C$, že $|\mathcal C|=w(X)$.}

\bigskip

\textbf{Vhodné na referát: }1.-3.
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{cvičení 2}}\ \\
\noindent\textbf{1. Topologie generovaná operací uzávěru} Dokažte následující větu: Je-li $X$ topologický prostor, pak pro zobrazení $\varphi\colon\P(X)\to \P(X)$ definované předpisem $\varphi(A):=\cl{A}$ platí
\begin{itemize}
\item[(C1)] $\varphi(\emptyset)=\emptyset$,
\item[(C2)] pro $A\in\P(X)$ je $A\subseteq \varphi(A)$,
\item[(C3)] pro $A, B\in\P(X)$ je $\varphi(A\cup B)=\varphi(A)\cup\varphi(B)$,
\item[(C4)] pro $A\in\P(X)$ je $\varphi(\varphi(A))=\varphi(A)$.
\end{itemize}
Navíc, kdykoliv $X$ je množina a $\varphi\colon\P(X)\to \P(X)$ je zobrazení splňující podmínky (C1)-(C4) výše, pak na $X$ existuje právě jedna topologie, pro kterou platí $\varphi(A)=\overline A$ pro každé $A\in\P(X)$.

\smallskip

\noindent\textbf{2. Topologie generovaná operací vnitřku} Zformulujte a dokažte větu analogickou jako ve cvičení II.1 výše, kde topologie bude dána vlastnostmi vnitřku množiny.

\smallskip

\noindent\textbf{3. Vlastnosti uzávěru} Dokažte, že pro množinu $A$ v topologickém prostoru $X$ platí:\\
\resetpr \pr $\partial A = \partial (X\setminus A)$ 
\pr $\partial A=\cl A\setminus \Int A$
\pr $\cl A=A\cup \partial A$ 
\pr $\Int A=A\setminus\partial A$
\pr $\partial(A\cup B)\subseteq \partial A\cup\partial B$\\
\pr $\partial(A\cap B)\subseteq \partial A\cup\partial B$
\pr $X=\Int A \cup\partial A\cup \Int(X\setminus A)$
\pr $\partial (\cl A)\subseteq \partial A$
\pr $\partial (\Int A)\subseteq \partial A$\\
\pr $A$ je otevřená $\Leftrightarrow$ $\partial A=\cl A\setminus A$
\pr $A$ je uzavřená $\Leftrightarrow$ $\partial A=A\setminus \Int A$
\pr $A$ je obojetná $\Leftrightarrow$ $\partial A=\emptyset$

\smallskip

\noindent\textbf{4. Ať $X$ je Sorgenfreyova přímka nebo double arrow space. Dokažte: } \\ \resetpr 
\pr Na $X$ je báze topologie tvořena obojetnými množinami a $X$ je $T_1$, tj. $\{x\}$ je uzavřená pro každé $x\in X$.\\
\pr V double arrow space jsou oba proprostory $(0,1]\times \{0\}$ a $[0,1)\times \{1\}$ homeomorfní podprostoru Sorgenfreyovy přímky.\\
\pr \textcolor{blue}{Každý podprostor $X$ je separabilní.}

\smallskip

\noindent\textbf{5. Ať $\A\subset \P(\en)$ je nespočetný systém nekonečných množin, který je skoro disjunktní. Ať $X:=\psi(\A)$ je příslušný Mrówka-Isbell space. Dokažte následující tvrzení:}\\ \resetpr 
\pr Pokud $A\in \A$ a $F\subset \en$ je konečná, pak $U(A;F)'=\{A\}$ (tj. jediným hromadným bodem bázové otevřené množiny $U(A;F)$ je bod $A$). \pr Báze topologie na $X$ sestává z obojetných množin.
\pr $A\in\A$ je hromadným bodem $S\subset \en$, právě když $A\cap S$ je nekonečná.
\pr \textcolor{blue}{$X$ je separabilní, ale $\A\subset X$ je nespočetný uzavřený podprostor, který je diskrétní a tedy není separabilní.}
\pr $X$ je $T_1$, tj. pro každý bod $x\in X$ je $\{x\}$ uzavřená množina.
\pr $X$ je \emph{Hausdorfův}, tj. pro každé dva různé body $x,y\in X$ existují disjunktní otevřené $U\in \mathcal{U}(x)$ a $V\in \mathcal{U}(y)$. \pr \textcolor{blue}{Pokud $\A\subset \P(\en)$ je maximální skoro disjunktní, pak každá spojitá funkce $f:\psi(\A)\to \er$ je omezená.}

\bigskip

\textbf{Vhodné na referát: }1. nebo 2., 4., 5.\\ (modře označená tvrzení jsou nejzajímavější)

\smallskip

\textbf{Další poznámky k úlohám: }3. budeme občas používat, jedná se o snadné cvičení, které doporučuji všem studentům si vyzkoušet (v případě nesnází lze důkazy najít ve skriptech)

\newpage

\centerline{\MakeUppercase{cvičení 3}}\ \\
\noindent\textbf{1. Prostor $[0,\omega_1]$: }Ať $[0,\omega_1] = \{\alpha\colon \alpha\leq \omega_1 \text{ je ordinál}\}$ je uspořádaný topologický prostor. Dokažte:
\begin{itemize}
    \item $[0,\omega_1]$ má bázi sestávající z obojetných množin a je $T_{3\frac{1}{2}}$.
    \item Platí, že $\omega_1\in \cl{[0,\omega_1)}$, ale neexistuje spočetná množina (a tedy ani posloupnost) $A\subset [0,\omega_1)$ splňující $\omega_1\in \cl{A}$.
    \item Ukažte, že kdykoliv je dána spojitá funkce $f : [0,\omega_1] \to \R$, pak existuje $\alpha\in\omega_1$ takové, že $f$ je konstantní na $[\alpha,\omega_1]$.
    \item Nalezněte příklad funkce $f : [0,\omega_1] \to \R$, která není spojitá a přesto kdykoliv $(x_n)$ je konvergentní posloupnost v $[0,\omega_1]$ a $x_n\to x$, pak $f(x_n) \to f(x)$.
\end{itemize}

\smallskip

\noindent\textbf{2. Niemytzkého rovina: }Nechť $X=\{(x,y)\in\b.R^2\setsep y\ge 0\}$ s následující topologií. Body $z=(x,y)$ s kladnou druhou souřadnicí mají za bázi euklidovská okolí $U(z,r)=\{t\in X\setsep \|t-z\|_2<r\}$, $r>0$, zatímco body $z=(x,0)$ mají za bázi okolí množiny $\{z\}\cup D_r$, $r>0$, kde $D_r:=U((x,r),r)$ pro $r>0$.\\
\resetpr\noindent\pr Ukažte, že $X$ je topologický prostor (tj. ověřte že systém okolí splňuje (O1)-(O3)). Topologii na $X$ označme $\tau^*$.\\
\pr Ať $\tau$ je Euklidovská topologie na $X$. Ukažte, že $\tau\subset \tau^*$. Speciálně, $X$ je $T_2$.\\
\pr Ukažte, že $X$ je $T_{3 \frac{1}{2}}$. Hint: zvolte $A\subset X$ uzavřenou a $b\notin A$. Pokud je $b\in \R\times (0,\infty)$, najděte $U\in\mathcal{U}_{\tau}(b)$ že $U\subset X\setminus A$ a s pomocí úplné regularity $(X,\tau)$ najděte spojitou funkci $f:(X,\tau)\to [0,1]$, která oddělí $b$ a $X\setminus U$, tato funkce pak bude spojitá i vůči $\tau^*$. Pokud je $b = (c,0)$ pro nějaké $c\in\R$, pak zvolme $\delta>0$ že $\{b\}\cup D_\delta\subset X\setminus A$ a ukažte, že funkce $f:X\to [0,1]$ definovaná jako $f(b)=0$, $f(y)=0$ pro $y\notin \{b\}\cup D_\delta$ a $f((x,y)) = \|(x,y)-b\|^2/2\delta y $ pro $(x,y)\in D_\delta$ odděluje $b$ a $A$ a že tato funkce je spojitá neboť $f^{-1}([0,\alpha)) = D_\alpha$ a $f^{-1}((\alpha,1]) = X\setminus \cl{D_\alpha}$.\\
\pr Ukažte, že $X$ není $T_4$. Hint: Uvažme $A:=\qe\times \{0\}$ a $B=(\R\setminus\qe)\times \{0\}$, dokažte že se jedná o uzavřené množiny. Pro spor předpokládejme, že $U$ a $V$ jsou disjunktní otevřené, $U\supset A$ a $V\supset B$. Pro $x\in \R\setminus\qe$ najděme $r_x>0$ že $\{(x,0)\}\cup D_{r_x}\subset V$ a uvažujme $S_n:=\{x\in \R\setminus\qe\colon r_x>1/n\}$. Pak $\qe$ a $S_n$, $n\in\N$ pokrývají $(\R,\tau)$ a z Bairovy věty nalezneme $n_0$ a otevřený neprázdný interval $(a,b)$, který je obsažen v $S_{n_0}$. Zvolte $q\in \qe\cap (a,b)$ a ukažte, že každé $\tau^*$-okolí $(q,0)$ protne $V$, což je spor s tím, že $U\cap V = \emptyset$.

\smallskip

\noindent\textbf{3. Dokažte, že průnik $T_1$ topologií na dané pevné množině je opět $T_1$ topologie. Platí obdobné tvrzení pro $T_0$ a $T_2$ topologie?}

\smallskip

\noindent\textbf{4. Další vlastnosti křížkové topologie: }Dokažte, že $\R^2$ s křížkovou topologií nemá spočetný charakter v žádném bodě. Přesto však ke každému bodu $x\in\R^2$ existuje spočetně mnoho okolí $U_n$, že $\{x\}=\bigcap U_n$.

\bigskip

\textbf{Vhodné na referát: }1. - 4. (2. je trochu delší .. na referát je bod 2d) volitelně navíc)
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{cvičení 4}}\ \\
\noindent\textbf{1. Součiny metrizovatelných prostorů: }Nechť $I$ je nespočetná množina a nachť $X_i$, $i\in I$ jsou metrizovatelné prostory které mají alespoň dva body. Dokažte, $\prod_I X_i$ nemá spočetný charakter (a tedy nespočetný součin netriviálních metrických prostorů není metrizovatelný).

\smallskip

\noindent\textbf{2. Prostor $2^I$: }Uvažujme $2 = \{0,1\}$ s diskrétní topologií a nechť $I$ je nespočetná množina. Dokažte: \resetpr \\
\pr Pokud $I$ je nespočetná množina, uvažujme nulovou posloupnost $\boldsymbol{o}$ (tj. $\boldsymbol{o}(i)=0$, $i\in I$) a množinu $D$ sestávající s posloupností, které mají hodnotu nula nejvýše na spočetně mnoha souřadnicích (tj. $d\in D$ iff $|\{i\colon d(i)=0\}|\leq \omega$). Ukažte, že pak $\boldsymbol{o}\in \overline{D}$ ale neexistuje žádná spočetná podmnožina (a tedy ani posloupnost) $A\subset D$ splňující $\boldsymbol{o}\in\overline{A}$.\\
\pr Dokažte, že pokud $|I|>2^\omega$, pak $2^I$ není separabilní. (\emph{Hint: }Pokud je dána hustá podmnožina $D\subset 2^I$, dokažte že zobrazení $I\ni i\mapsto D_i:=D\cap \{x\colon x(i)=0\}\in \P(D)$ je prosté a tedy bude $|I|\leq 2^{|D|}$.)\\
Můžete se pokusit postup důkazu dále zobecnit a dokázat, že pokud $|I|>2^\omega$ a $X_i$, $i\in I$ jsou alespoň dvoubodové $T_2$ prostory, pak $\prod_I X_i$ není separabilní.
\smallskip

\noindent\textbf{3. Separabilita prostoru $2^I$: }Dokažte, že $2^\R$ je separabilní prostor.\\
\emph{Hint: }Označme jako $J$ množinu všech zobrazení $\varphi: S\to \{0,1\}$, kde $S=\{I_1,\ldots,I_n\}$ je konečná množina po dvou disjunktních racionálních intervalů. Pro každé $\varphi\in J$ zvolme $f_\varphi\in 2^\R$ tak, že $f_\varphi(x)=\varphi(I)$ kdykoliv $x\in I$ a $I\in\operatorname{dom}(\varphi)$. Dokažte, že $\{f_\varphi\colon \varphi\in J\}$ je spočetná hustá podmnožina $2^\R$.\\
\emph{Poznámka: }Platí dokonce obecnější věta (Hewitt-Marczewski-Pondiczery): součin nejvýše $|\R|$ (tj. kontinuum mnoha) separabilních prostorů je separabilní.

\smallskip

\noindent\textbf{4. Součiny konvergentních posloupností: }Ať $X=\{0\}\cup\{\tfrac{1}{n}\colon n\in\mathbb N\}$.
Proč nejsou žádné dva z prostorů $X$, $X^2$, $X^3$ homeomorfní?\smallskip

\smallskip

\noindent\textbf{5. Prostor reálných funkcí s topologií bodové konvergence: }\resetpr \\
\pr Nechť $H(\R)\subset \C_p(\R)$ značí množinu všech homeomorfismů z $\R$ na $\R$. Je $H(\R)$ hustá v $\C_p(\R)$?\\
\pr Nechť $U\subset \C_p(\R)$ je množina všech stejnoměrně spojitých funkcí z $\R$ do $\R$. Je $U$ hustá v $\C_p(\R)$?\\
\pr Je spojité zobrazení $I:\C_p(\R)\to\R$ dané předpisem $I(f):= \int_0^1 f(x) \dx$?\\
\pr Je spojité zobrazení $P:\C_p([0,1])\to \C_p([0,1])$ dané předpisem $P(f)(t):= \int_0^t f(x) \dx$?\\

\smallskip

\noindent\textbf{6. Dokažte, že $\C_p(\R)$ nemá spočetný charakter, ale pro každé $f\in \C_p(\R)$ existuje posloupnost $(V_n)_{n=1}^\infty$ otevřených okolí $f$ splňující $\{f\}=\bigcap_{n=1}^\infty V_n$.}

\bigskip

\textbf{Vhodné na referát: }1. - 6.
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{cvičení 5}}\ \\
\noindent\textbf{1. Kvocient nezachová spočetný charakter: }\resetpr\\
\pr Uvažujme kvocient prostoru $\R^2$ podle nejměnší ekvivalence $\sim$, pro kterou $(y,0)\sim (y',0)$ pro $y, y'\in\R$. Dokažte, že pak bod $q(0,0)$ nemá spočetný charakter v prostoru $\R^2/\sim$.\\
\pr Uvažujme kvocient prostoru $\mathbb N\times [0,1]$ podle nejmenší ekvivalence $\sim$, pro kterou $(n, 0)\sim(m,0)$ pro $n, m\in\mathbb N$. Rozhodněte, zda je tento prostor homeomorfní podprostoru roviny,
který je tvořen všemi uzavřenými úsečkami spojujícími počátek s body $(1,2^{-n})$, kde $n\in\mathbb N$.

\smallskip

\noindent\textbf{2. Příklady prostorů, které nejsou normální: }\resetpr \\
\pr S pomocí Tietzeho věty dokažte, že pokud separabilní Hausdorfův topologický prostor má uzavřený diskrétní podprostor mohutnosti kontinua, pak není normální. (Speciálně, uvědomte si že tedy Mrówka-Isbell space $\psi(\A)$ není normální pokud $\A$ má mohutnost kontinua a také že tento argument lze použít k důkazu, že Niemytzkého rovina není normální.)\\
\pr Nechť $\A\subset \P(\en)$ je maximální skoro disjukntní a $X:=\psi(\A)$ je Mrówka-Isbell space. Nalezněte pak explicitně zadanou reálnou funkci definovanou na uzavřené podmnožině $X$, kterou není možné rozšířit na celý prostor $X$. (Použijte k tomu znalosti o Mrówka-Isbell space, které známe z předchozích cvičení.)

\smallskip

%\noindent\textbf{3. Funkcionálně otevřené a uzavřené množiny: }Buď $X$ topologický prostor. Množina $Z \subseteq X$ se nazývá \emph{zero množina}, pokud existuje spojitá funkce $f \colon X \to \R$ taková, že $Z=f^{-1}(\{0\})$. Množina $C \subseteq X$ se nazývá \emph{cozero množina}, pokud existuje spojitá funkce $f \colon X \to \R$ taková, že $C=f^{-1}(\R\setminus 0)$. Dokažte následující tvrzení:\resetpr \\
%\pr Doplněk cozero množiny je zero množina a v metrizovatelných prostorech jsou cozero množiny právě všechny otevřené.\\
%\pr Ukažte, že $C \subseteq X$ je cozero množina, právě když existuje spojitá funkce $f \colon X \to \R$  a otevřená množina $G \subseteq \R$ tak, že $C=f^{-1}(G)$.\\
%\pr Spočetné sjednocení a konečný průnik cozero množin je cozero množina. Dejte příklad, že nekonečné sjednocení a nekonečný průnik cozero množin nemusí být cozero množina.\\
%\pr Dokažte, že každá zero množina je $G_\delta$ a pokud je $X$ normální prostor, pak každá cozero množiny splývají s uzavřenými množinami, které jsou $G_\delta$.

\bigskip

\textbf{Vhodné na referát: }1. - 2.
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{cvičení 6}}\ \\
\noindent\textbf{1. Mezi spočetnou kompaktností a Lindel\"ovovskostí není žádný vztah: }\resetpr \pr Dokažte, že $[0,\omega_1)$ je spočetně kompaktní prostor, který není Lindelöfův (a tedy ani kompaktní). \pr Dokažte, že Sorgenfreyova přímka je Lindelöfův prostor, který není spočetně kompaktní (a tedy ani kompaktní).

\smallskip

\noindent\textbf{2. Lindelöfovskost v metrizovatelných prostorech: }Nechť $X$ je metrizovatelný prostor. Dokažte, že $X$ je separabilní, právě když je Lindelöfův. Platí tato ekvivalence i pro nemetrizovatelné prostory?

\smallskip

\noindent\textbf{3. Kompaktnost neimplikuje sekvenciální kompaktnost: }Nechť $|I|=2^\omega$. Nalezněte v $2^I$ posloupnost, která nemá konvergentní podposloupnost. (Stále je ale $2^I$ kompaktní prostor dle Tichonovovy věty.)

\smallskip

\noindent\textbf{4. Limita podle ultrafiltru v kompaktních prostorech: }\emph{Filtr} na množině $X$ je soubor $\mathcal F \subseteq \mathcal P(X)$ splňující
\begin{itemize}
\item $\mathcal F\neq \emptyset$, $\emptyset \notin\mathcal F$,
\item jsou-li $F_0, F_1\in\mathcal F$, pak $F_0\cap F_1\in\mathcal F$,
\item je-li $F\in\mathcal F$ a $F\subseteq G\subseteq X$, pak $G\in\mathcal F$.
\end{itemize}
Filtr $\mathcal F$ se nazývá \emph{ultrafiltr}, pokud pro $A\cup B\in \mathcal F$ je $A\in\mathcal F$ nebo $B\in \mathcal F$.\resetpr \\
\pr Dokažte, že filtr je ultrafiltrem právě když se jedná o maximální filtr vzhledem k inkluzi a že pro každý filtr $\mathcal F$ existuje ultrafiltr $\mathcal U\supset \mathcal F$.\\
\pr Je--li $(x_i)_{i\in I}$ net v topologickém prostoru $X$ a $\mathcal F$ je filtr na množině $I$, pak řekneme že $x\in X$ je limitou $(x_i)$ podle filtru pokud pro každé $U\in \mathcal{U}(x)$ platí $\{i\in I\colon x_i\in U\}\in\mathcal{F}$. Značíme $x = \lim_{\mathcal{F}} x_i$. Dokažte, že kdykoliv $x$ je limitou $(x_i)_{i\in I}$ podle filtru $\mathcal{F}$ na množině $I$ splňujícího $\{[i_0,\to)\colon i_0\in I\}\subset \mathcal{F}$, pak $x$ je hromadným bodem netu $(x_i)_{i\in I}$.\\
\pr Dokažte, že $X$ je kompakt právě když pro každý net $(x_i)_{i\in I}$ a každý ultrafiltr $\mathcal{F}$ na množině $I$ existuje $\lim_{\mathcal{F}} x_i$.

\bigskip

\textbf{Vhodné na referát: }1. - 3., neco z 4.

\newpage
\centerline{\MakeUppercase{cvičení 7}}\ \\
%\noindent\textbf{1. Hellyho prostor: } Označme $I=[0,1]$ a nechť $H$ je podprostor topologického součinu $I^I$, $\HH=\{f\in I^I\colon f \text{ je neklesající}\}$. Dokažte:\resetpr 
%\pr $\HH$ je kompaktní
%\pr Každá $f\in \HH$ má spočetný charakter
%\pr $\HH$ je separabilní\\
%\pr $\HH$ obsahuje nespočetný diskrétní podprostor (a tedy nemá spočetnou váhu a není metrizovatelný)

%\smallskip
\noindent\textbf{1. $\C_p([0,1])$ je normální prostor: }Dokažte postupně následující tvrzení.\\ \resetpr 
\pr Kdykoliv $X$ je topologický prostor, pak $\C_p(X)$ je $T_{3\frac{1}{2}}$. \\
\pr Dokažte, že pokud má topologický prostor $X$ spočetný network, pak je Lindelöfův.\\
($\mathcal{N}\subset \P(X)$ je \emph{network}, pokud pro každé $x\in X$ a $U\in\mathcal{U}(x)$ existuje $N\in\mathcal{N}$ splňující $x\in N\subset U$).\\
\pr Dokažte, že pokud $(B_n)$ je spočetná báze $[0,1]$ a $(C_m)$ spočetná báze $\R$, pak konečné průniky množin
\[
F(n,m):=\{f\in\C_p([0,1])\colon f(B_n)\subset C_m\}
\]
tvoří spočetný network prostoru $\C_p([0,1])$.\\
\pr Z informací výše a věty z přednášky odvoďte, že $\C_p([0,1])$ je normální prostor.\\
(Příklad výše se můžete pokusit zobecnit a dokázat, že kdykoliv $K$ je metrizovatelný kompakt, pak $\C_p(K)$ je normální.)

\smallskip

\noindent\textbf{2. Kompaktnost double arrow space: }Řekněme, že lineárně uspořádaný prostor $(X,\leq)$ je \emph{úplný svaz}, pokud každá (i prázdná) podmnožina $A\subset X$ má supremum a infimum. Dokažte:\resetpr \\
\pr $(X,\leq)$ je \emph{úplný svaz} právě když každá (i prázdná) podmnožina $A\subset X$ má supremum.\\
(\emph{Hint: }Dokažte, že $\inf A = \sup\{x\in X\colon x\leq a \text{ pro každé }a\in A\}$.)\\
\pr Pokud $(X,\leq)$ není úplný svaz, pak uspořádaný topologický prostor $X$ není kompakt.\\
\pr Pokud $(X,\leq)$, $(Y,\leq)$ jsou úplné svazy, pak $(X\times Y,\leq_{lex})$ je také úplný svaz (kde $\leq_{lex}$ je lexikografické uspořádání, tj. $(x,y)<_{lex}(x',y')$ právě když $x< x'$ nebo $x=x'$ a $y< y'$).\\
\pr Odvoďte, že double arrow space je kompaktní prostor.

\smallskip

\noindent\textbf{3. Spojité funkce na double arrow space: }Nechť $X$ je double arrow space (víme o něm již, že je kompaktní). Pro každé $t\in (0,1)$ uvažujme funkci $f_t:X\to \R$ definovanou předpisem $f_t((s,i))=0$ pokud $s<t$ nebo $(s,i)=(t,0)$ a $f_t((s,i))=1$ pokud $s<t$ nebo $(s,i)=(t,1)$. Položme $F:=\{f_t\colon t\in (0,1)\}$. Dokažte, že pak \\ \resetpr \pr $F\subset \C_p(X)$ \pr $F\subset \C_p(X)$ je diskrétní podprostor \pr $F\subset \C_p(X)$ je uzavřený \\ \pr Odvoďte (s použitím výsledků z minulých cvičení), že $\C_p(X)$ není normální.\\
(Z předchozího cvičení pak vyplývá, že $\C_p(X)$ není Lindelöfův a nemá spočetný network.)

\bigskip

\textbf{Vhodné na referát: }1., 2. (u úlohy 2. si můžete vybrat zda chcete řešit a) a b), nebo a) a c); d) je volitelně navíc), 3.

\newpage

\centerline{\MakeUppercase{cvičení 8}}\ \\
\noindent\textbf{1. Analogie Stone-Weierstrassovy věty pro topologii bodové konvergence: }\resetpr \pr Je pravda, že pro každou funkci $f\in \C_p(\R)$ existuje posloupnost polynomů $p_n\in \C_p(\R)$ že $p_n\to f$ v topologii bodové konvergence?\\
\pr Je pravda, že pro každou funkci $f\in \C_p(\R)$ existuje posloupnost polynomů $p_n\in \C_p(\R)$ že $p_n\rightrightarrows f$?\\
\pr Dokažte, že pokud $X$ je Hausdorffův topologický prostor a $A\subset C_p(X)$ je okruh obsahující konstanty a oddělující body, pak $A$ je husté v $C_p(X)$.\\(\emph{Hint: }Pro bázové okolí dané konečnou množinou $F\subset X$ použijte Stone-Weierstrassovu větu v prostoru $\C(F)$.)

\smallskip

\noindent\textbf{2. Jednobodová kompaktifikace Mrówka-Isbell space: }Nechť $\A\subset \P(\en)$ je soustava nekonečných podmnožin, která je maximální skoro disjunktní a nechť $X=\psi(\A)$ je příslušný Mrówka-Isbell space. Dokažte:\\ \resetpr 
\pr $X$ je lokálně kompaktní (toto platí pro jakoukoliv $\A$ skoro disjunktní, ne nutně maximíální). Označme pak $X_0 = X\cup \{\infty\}$ jeho jednobodovou kompaktifikaci.\\
\pr Podmnožina $A\subset X_0$ je uzavřená, právě když je \emph{sekvenciálně uzavřená} (tj. limita každé konvergentní posloupnost sestávající z prvků množiny $A$ je prvkem množiny $A$).\\
\pr Prostor $X_0$ není Fréchet-Urysohnův, tj. existuje bod $x$ a množina $A\subset X_0$ splňující $x\in\overline{A}$ ale neexistuje posloupnost $(x_n)$ prvků z $A$ že $x_n\to x$ (v našem případě zvolte $x=\infty$ a $A=\en$). 

\smallskip

\noindent(\emph{Hint: }můžete se pokusit použít návod řešení dostupný zde:\\
\url{https://dantopology.wordpress.com/2024/08/01/a-compact-non-frechet-space-defined-using-almost-disjoint-families/})

\smallskip

\noindent\emph{Poznámka: }V roce 1980 prof. Petr Simon (dlouholetý přednášející kurzu Obecná topologie na MFF) publikoval článek, kde sestrojil první známý příklad Fréchet-Urysohnových prostorů $X$ a $Y$, jejichž součin $X\times Y$ néní Fréchet-Urysohnův. Tyto prostory byly sestrojeny jako dva různé Mrówka-Isbell space pro dvě vhodné maximální skoro disjunktní famílie $\A_1$ a $\A_2$.

\smallskip

\noindent\textbf{3. Kompaktifikace Sorgenfreyovy přímky: }\\ \resetpr \pr Dokažte, že double arrow space, ze kterého odebereme body $(0,0)$ a $(1,1)$, je kompaktifikací Sorgenfreyovy přímky. \\
\pr Je Sorgenfreyova přímka lokálně kompaktní prostor?

\smallskip

\noindent\textbf{4. Prostor $X:=[0,\omega_1]\times [0,\omega]$ je normální, ale jeho podprostor $X\setminus \{(\omega_1,\omega)\}$ není normální.}

\smallskip

\noindent\textbf{5. Nechť $S$ je Sorgenfreyova přímka. Pak $S$ je normální, ale $S\times S$ není normální.}

\bigskip

\textbf{Vhodné na referát: }aspoň dvě cvičení z 1., 2a + aspoň jeden z bodů 2b nebo 2c, 3.
\newpage

\centerline{\MakeUppercase{cvičení 9}}\ \\
\noindent\textbf{1. Čechova-Stoneova kompaktifikace diskrétního prostoru: }Nechť $I$ je množina a nechť $K_I$ označuje množinu všech ultrafiltrů na $I$. Pro $A\subset I$ definujme $U_A:=\{\mathcal{U}\in K_I\colon A\in \mathcal{U}\}$. Dokažte následující tvrzení.\\ \resetpr
\pr Existuje jednoznačne určená topologie $\tau$ na $K_I$, jejíž báze topologie je $\{U_A\colon A\subset I\}$.\\
\pr Topologický prostor $(K_I,\tau)$ je $T_2$ a je také nuldimenzionální.\\
\pr $(K_I,\tau)$ je kompaktní.\\
\pr Množina všech obojetných množin v $K_I$ je rovna $\{U_A\colon A\subset I\}$.\\
\pr Uvažujme na $I$ diskrétní topologii a definujme zobrazení $e:I\to K_I$ předpisem $e(i):=\{A\subset I\colon i\in A\}$. Pak $e$ je dobře definované a $(e,K_I)$ je kompaktifikace diskrétního prostoru $I$.\\
\pr $(e, K_I)$ je Čechova-Stoneova kompaktifikace diskrétního prostoru $I$.\\
(\emph{Hint: }Dokažte že každou $f:I\to [0,1]$ je možné spojitě rozšířit. Postupovat můžete například následujícím způsobem. Pro $\mathcal{U}\in K_I$ položte $\A_\U:=\{\overline{f(A)}\colon A\in\U\}$. Ověřte že $\A_\U$ má konečnou průnikovou vlastnost a z kompaktnosti $[0,1]$ pak zvolte $g(\U)\in \bigcap \A_\U$, tímto způsobem budete mít definováno $g:K_I\to [0,1]$. Ukažte, že pak $g\circ e = f$. Bude zbývat dokázat spojitost $g$. To můžete provést například tak, že pro $W'$ okolí bodu $g(\U)$ zvolíte otevřené okolí $W$ splňující $g(\U)\in W\subset \overline{W}\subset W'$, položíte $A:=f^{-1}(W)$ a ukážete, že pak $U_A$ je okolí bodu $\U$ splňující $g(U_A)\subset W'$.)

\smallskip

\noindent\textbf{2. Prostor $\beta\N$: }Můžete používat bez důkazu výsledek předchozího cvičení, který dává popis prostoru $\beta\N$ jako prostoru ultrafiltrů na $\N$. Dokažte následující.\\ \resetpr
\pr V prostoru $\beta\N$ neexistuje netriviální konvergentní posloupnost.\\
\pr Kdykoliv $W\subset \beta\N$ je otevřená množina, pak $\overline{W}$ je také otevřená. (\emph{Hint: }položte $A:=e^{-1}(W)$ a zkuste dokázat, že $\overline{W} = \overline{A}^{\beta\N} = U_A$.)\\
\pr Dokažte, že mohutnost $\beta\N$ je $2^{2^\omega}$. (\emph{Hint: }uvažujte spojité zobrazení spočetného diskrétního prostoru $\omega$ na spočetnou hustou množinu v kompaktu $2^{2^\omega}$. Toto zobrazení rozšiřte na $\beta\N\to 2^{2^\omega}$ a ukažte, že jde o zobrazení na.)
\smallskip

\noindent\emph{Poznámka navíc: }Můžete si zkusit rozmyslet, že obecně pro Hausdorffův prostor $X$ platí $|X|\leq 2^{2^{d(X)}}$, příklad výše ukazuje že v této nerovnosti může nastat rovnost.

\bigskip

\textbf{Vhodné na referát: }aspoň tři cvičení z 1., 2a, 2b, 2c.

\newpage

\centerline{\MakeUppercase{cvičení 10}}\ \\
\noindent\textbf{1. Normované lineární prostory, které ne/jsou úplně metrizovatelné/Bairovy.}\\ \resetpr
\pr Nechť je dán normovaný lineární prostor $X$ se spočetnou algebraickou dimenzí (tj. existují vektory $(e_n)$ splňující $X = \operatorname{span}\{e_n\colon n\in\en\}$). Dokažte, že pak $X$ není Bairův a tedy není úplně metrizovatelný.\\
(\emph{Hint: Použijte známý fakt, že podprostory konečné dimenze jsou uzavřené.})\\
Jako důsledek odvoďte, že $P([0,1]):=\{f\in C([0,1])\colon f\text{ je polynom}\}\subset C([0,1])$ je normovaný lineární prostor, který není Bairův.\\
\pr Je $C_p([0,1])$ Bairův prostor?\\
\pr Ukažte, že každý úplně metrizovatelný normovaný lineární prostor je Banachův.\\
(\emph{Hint: Zvolte zúplnění $\widetilde{X}$ prostoru $X$ a ukažte, že kdykoliv $x_0\in\widetilde{X}$ pak $(x_0+X)\cap X\neq \emptyset$.})\\
\pr Dokažte, že existuje normovaný lineární prostor, který není úplně metrizovatelný ale je Bairův.\\
(\emph{Hint: V nekonečně-dimenzionálním Banachově prostoru $X$ nalezněte algebraickou bázi $B$ a z ní vyberte prostou posloupnost $(e_n)$. Pak ukažte, že existuje $k\in\en$ splňující že $Y:=\operatorname{span}(B\setminus \{e_n\colon n\geq k\})$ není první kategorie v $X$. Rozmyslete si, že $Y\subset X$ je hustý podprostor a proto není ani první kategorie v sobě. Uvědomte si, že $Y=\bigcup_n U_Y(0,n)$ a tedy ani žádná otevřená koule v $Y$ není první kategorie v sobě, z čehož plyne že $Y$ je Bairův.})

%\noindent\textbf{2. Konstrukce isometricky universálního separabilního metrického prostoru.}\resetpr \\
%\pr Nechť $(X,\rho)$ je libovolný neprázdný metrický prostor. Pak řekneme, že $f:X\to [0,\infty)$ je \emph{Katětova funkce} pokud $|f(x)-f(y)|\leq \rho(x,y)\leq f(x)+f(y)$ pro každé $x,y\in X$. Ukažte, že $f$ je Katětova funkce právě když existuje metrika $\rho'$ na množině $X'=X\cup \{*\}$ rošiřující metriku $\rho$ a splňující $\rho'(*,x)=f(x)$ pro každé $x\in X$. Na množině $K(X):=\{f:X\to [0,\infty)\colon f\text{ je Katětova funkce}\}$ definujme dále metriku $d$ předpisem $d(f,g):=\sup_{x\in X}|f(x)-g(x)|$. Dokažte, že $d$ je opravdu metrika na $K(X)$ a že $(K(X),d)$ je úplný metrický prostor.\\
%\pr Pro $Y\subset X$ definujme $\kappa_Y:K(Y)\to K(X)$ předpisem $\kappa_Y(f)(x):=\inf_{y\in Y}(f(y)+d(x,y))$ pro $f\in K(Y)$ a $x\in X$. Ukažte, že $\kappa_Y$ je isometrické vnoření a že $(\kappa_Yf)|_Y = f$ pro $f\in K(Y)$.\\
%\pr Definujme $K_0(X)\subset K(X)$ předpisem
%\[K_0(X):=\overline{\bigcup_{\emptyset\neq Y\subset X\text{ konečná}} K(Y)}  \quad \Big(\text{more precisely: }K_0(X)=\overline{\bigcup_{\emptyset\neq Y\subset X\text{ konečná}} \{\kappa_Y(f)\colon f\in K(Y)\}}\Big).
%\]
%Dokažte, že $h:X\to K_0(X)$ definované předpisem $h(x)(y):=\rho(x,y)$ pro $x,y\in X$ je dobře definované isometrické vnoření. Dále ukažte, že pokud je $X$ separabilní, pak je také $K_0(X)$ separabilní.\\
%\pr Ukažte, že pokud $\emptyset\neq Y\subset X$ je konečný a na množině $Z=Y\cup \{*\}$ je dána metrika $d_Z$ rozšřijící $\rho|_{Y\times Y}$, pak kdykoliv $j:Y\to X$ je isometrické vnoření, existuje isometrie $\widetilde{j}:Z\to K_0(X)$ splňující $\widetilde{j}|_Y = h\circ j$.\\
%\pr Položme $X_1:=X$ a $X_{n+1}:=K_0(X_n)$ pro $n\in\en$. Pokud ztotožníme $X_n$ s podmnožinou $X_{n+1}$, můžeme uvažovat metrický prostor $\bigcup_{n\in\en} X_n$ (rozmyslete si formální provedení) a jeho zúplnění $\mathbb{U}$. Ukažte, že pak $\mathbb{U}$ je separabilní a obsahuje isometrickou kopii každého separabilního metrického prostoru (nezávisle na tom, s jakým neprázdným metrickým prostorem $X$ jsme konstrukci započali).

\bigskip

\textbf{Vhodné na referát: }1a+1c, 1d

\newpage

\centerline{\MakeUppercase{cvičení 11}}\ \\
\noindent\textbf{1. Dokažte, že $[0,1]^{\omega_1}$ není $G_\delta$ podmnožina $[0,2]^{\omega_1}$.}

\smallskip

\noindent\textbf{2. Sorgenfreyova přímka - čechovská úplnost a Bairův prostor.}\\ \resetpr
\pr Dokažte, že Sorgenfreyova přímka $S$ není $G_\delta$ ve své kompaktifikaci $D$ dané jako double arrow space bez bodů $(0,0)$ a $(1,1)$ (viz. cvičení 8.3).\\
(\emph{Hint: Máme $S=(0,1)\times \{1\}\subset D = (0,1]\times \{0\}\cup [0,1)\times \{1\}$. Pro $V\subset D$ otevřenou splňující $S\subset D$ dokažte, že $S(V)=\{x\in [0,1]\colon (x,0)\in V\}$ je otevřená hustá množina v úplném prostoru $[0,1]$. Kdyby byla $S = \bigcap V_n$, pak s pomocí Bairovy věty dostaneme $x\in \bigcap_nS(V_n)$, pak ale $(x,0)\in \bigcap_nV_n\setminus S$ což je spor.})\\
\pr Dokažte, že Sorgenfreyova přímka je Bairův prostor.

\smallskip

\noindent\textbf{3. Dokažte, že $\en^{\omega_1}$ není čechovsky úplný prostor.}

\bigskip

\textbf{Vhodné na referát: }1, 2a, 2b, 3

\newpage

\centerline{\MakeUppercase{další vhodná cvičení}}\ \\

\noindent\textbf{1. Funkcionálně otevřené a uzavřené množiny: }Buď $X$ topologický prostor. Množina $Z \subseteq X$ se nazývá \emph{zero množina}, pokud existuje spojitá funkce $f \colon X \to \R$ taková, že $Z=f^{-1}(\{0\})$. Množina $C \subseteq X$ se nazývá \emph{cozero množina}, pokud existuje spojitá funkce $f \colon X \to \R$ taková, že $C=f^{-1}(\R\setminus 0)$. Dokažte následující tvrzení:\resetpr \\
\pr Doplněk cozero množiny je zero množina a v metrizovatelných prostorech jsou cozero množiny právě všechny otevřené.\\
\pr Ukažte, že $C \subseteq X$ je cozero množina, právě když existuje spojitá funkce $f \colon X \to \R$  a otevřená množina $G \subseteq \R$ tak, že $C=f^{-1}(G)$.\\
\pr Spočetné sjednocení a konečný průnik cozero množin je cozero množina. Dejte příklad, že nekonečné sjednocení a nekonečný průnik cozero množin nemusí být cozero množina.\\
\pr Dokažte, že každá zero množina je $G_\delta$ a pokud je $X$ normální prostor, pak zero množiny splývají s uzavřenými množinami, které jsou $G_\delta$.

\smallskip

\noindent\textbf{2. Hellyho prostor: } Označme $I=[0,1]$ a nechť $H$ je podprostor topologického součinu $I^I$, $\HH=\{f\in I^I\colon f \text{ je neklesající}\}$. Dokažte:\resetpr 
\pr $\HH$ je kompaktní
\pr Každá $f\in \HH$ má spočetný charakter
\pr $\HH$ je separabilní\\
\pr $\HH$ obsahuje nespočetný diskrétní podprostor (a tedy nemá spočetnou váhu a není metrizovatelný)\\


\end{document}

\bigskip

\centerline{\MakeUppercase{cvičení, která jsou stále ještě volná}}\ \\

\begin{itemize}
    \item Cviceni 5, priklad 2 ...... REZERVOV\'ANO
    \item Cviceni 8, priklad 1 (pro uspesny referat staci vypracovat libovolne dve ulohy z a)-c))
    \item Cviceni 9, priklad 1 .. odreferovat vse a dokazat staci libovolne 3 body z a)-f) (pri dukazu nejakeho bodu muzete nez dukazu pouzivat body predchozi) .. REZERVOV\'ANO
    \item Cviceni 9, priklad 2b
    \item Cviceni 9, priklad 2c
    \item Cviceni 11, priklad 1
    \item Cviceni 11, priklad 2a
    \item Cviceni 11, priklad 2b
    \item Cviceni 11, priklad 3
    \item Dalsi vhodna cviceni, priklad 1 .. odreferovat vse a dokazat staci libovolne 2 body z a)-d) (pri dukazu nejakeho bodu muzete nez dukazu pouzivat body predchozi) .. REZERVOV\'ANO
    \item Dalsi vhodna cviceni, priklad 2a ...... REZERVOV\'ANO
    \item Dalsi vhodna cviceni, priklad 2b
    \item Dalsi vhodna cviceni, priklad 2c
    \item Dalsi vhodna cviceni, priklad 2d
\end{itemize}

NEPOUZITA CVICENI

\noindent\textbf{4. Prostor $\Sigma(I)$: }Pro nespočetnou množinu $I$ uvažujme podprostor $[0,1]^I$ definovaný předpisem
\[
\Sigma(I):=\{x\in [0,1]^I\colon x(i)=0 \text{ jen pro spočetně mnoho indexů }i\in I\}.
\]
Dokažte:\resetpr \pr $\Sigma(I)$ je hustá v $[0,1]^I$ \pr Každý uzavřený diskrétní podprostor $\Sigma(I)$ je konečný\\
\pr Z předchozích pozorování odvoďte, že $\Sigma(I)$ je spočetně kompaktní a není kompaktní.