<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt,notitlepage]{report}

\frenchspacing % aktivuje pouĹľitĂ­ nÄ›kterĂ˝ch ÄŤeskĂ˝ch typografickĂ˝ch pravidel

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} % nastavuje pouĹľitĂ© kĂłdovĂˇnĂ­, uĹľivatelĂ© Windows zamÄ›nĂ­ utf8 za cp1250
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,amscd,mathrsfs,enumerate,multicol,color,url}%,showkeys,layout}
\usepackage{verbatim} %pro vynechavani comment
\usepackage[top=1cm, left=1cm, right=1cm]{geometry} % nastavenĂ­ danĂ© velikosti okrajĹŻ
\pagestyle{empty}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defin}{Definice}

\newcommand\lne[1]{\mathcal L(#1)}
\newcommand\sg{\sigma}
\newcommand\spp[1]{\sigma_{\mathrm p}(#1)}
\def\ce{\mathbb C} 
\def\en{\mathbb N}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\qe{\mathbb Q} 
\def\er{\mathbb R}
\def\teleso{\mathbb K}
\def\R{\er}
\def\N{\en}
\newcommand\Z{{\mathbb Z}}
\newcommand\Q{{\mathbb Q}}
%\newcommand\C{{\mathbb C}}
\newcommand\K{{\mathbb K}}
\newcommand\M{{\mathcal M}}
\def\setsep{:\;}
\def\C{\mathcal C}
\def\nec{Nech\v t\ }
\def\eqdef{\stackrel{\text{\tiny def}}{=}}
\def\Mod{\operatorname{mod}}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\newcommand\lx[1][0]{\displaystyle\lim_{x\to #1}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \tg {\operatorname{tg}}
\def \sgn {\operatorname{sgn}}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def \arccotg {\operatorname{arccotg}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\def \sumad {\sum_{n=2}^\infty}
\def \d {\, \mathrm{d}}
\def \P {\mathcal{P}}
\newcommand\pdx[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial x}}
\newcommand\pdy[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial y}}
\newcommand\pdz[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial z}}
\def\x{\mathbf{x}}
\def\m{\mathbf{m}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\newcommand\dgx[1]{\, \mathrm{d} #1}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\Int}{Int}
\DeclareMathOperator{\ess}{ess}
\def\vysledky{\begin{center}----------V\'YSLEDKY----------\end{center}}

\newtheorem{theorem*}{VÄ›ta}

\newcounter{Priklad}
\addtocounter{Priklad}{1}
\newcommand{\pr}{\quad\alph{Priklad})\;\addtocounter{Priklad}{1}}
\newcommand{\resetpr}{\setcounter{Priklad}{1}}

\title{Cvi\v{c}en\'i - VybranĂ© partie z funkcionĂˇlnĂ­ analĂ˝zy, MFF}  % tyto dvÄ› poloĹľky jsou zde v podstatÄ› formĂˇlnÄ›, ve skuteÄŤnosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}
\centerline{\MakeUppercase{CviÄŤenĂ­ 1}}\ \\
\textbf{1. VyĹˇetĹ™ete bodovou a stejnomÄ›rnou konvergenci nĂˇsledujĂ­cĂ­ch posloupnostĂ­ funkcĂ­}\\ \resetpr
\pr $f_n(x) = \tfrac{2nx}{1+n^2x^2}$ na $\mathbb R$;
\pr $f_n(x) = \tfrac{2nx}{1+n^2x^2}$ na $[1,\infty)$;
\pr $f_n(x) = \tfrac{2nx}{n^2 + x^2}$ na $[0,1]$ a na $[1,\infty)$;\\
\pr $f_n(x) = n\cdot\big(\sqrt{x+1/n} - \sqrt{x}\big)$ na $(0,\infty)$;
\pr $f_n(x) = \tfrac{(nx+2)^2}{n^2x^2 + 4}$ na $[0,2]$ a na $[2,\infty)$;\\
\pr $f_n(x) = \sqrt[n]{x^n + 3^n}$ na $[0,\infty)$;
\pr $f_n(x) = \exp\big(n(|x-1|-2)\big)$ na $(0,1]$ a na $[1,3)$;\\[5pt]
%\pr $f_n(x) = \sin(\tfrac{x}{n})$ na $[-100,100]$ a na $\mathbb R$;\\[5pt]

\noindent\textbf{2. NechĹĄ $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$ a $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ jsou spojitĂ© funkce. RozhodnÄ›te o pravdivosti nĂˇsledujĂ­cĂ­ch tvrzenĂ­ (tj. podejte dĹŻkaz Ĺľe tvrzenĂ­ ne/platĂ­).}\resetpr \\
(PĹ™ipomeĹme, Ĺľe funkce $g:[0,1]\to \mathbb{R}$ je $1$-LipschitzovskĂˇ, pokud pro kaĹľdĂ© $x,y\in [0,1]$ platĂ­ $|g(x)-g(y)|\leq |x-y|$.)\\
\pr Pokud funkce $f_n$ jsou $1$-LipschitzovskĂ© a $f_n(x)\to f(x)$ pro $x\in [0,1]$, pak funkce $f$ je $1$-LipschitzovskĂˇ.\\
\pr Pokud funkce $f_n$ jsou $1$-LipschitzovskĂ© a $f_n(x)\to f(x)$ pro $x\in [0,1]$, pak $f_n\rightrightarrows f$ na $[0,1]$.\\
\pr PlatĂ­, Ĺľe $f_n\rightrightarrows f$ na $[0,1]$, prĂˇvÄ› kdyĹľ $f_n\rightrightarrows f$ na $(a,b)$ pro kaĹľdĂ© $0&lt;a&lt;b&lt;1$.\\[20pt]
DalĹˇĂ­ uĹľiteÄŤnĂ© zdroje pĹ™Ă­kladĹŻ:\\
- Ilja ÄŚernĂ˝: InteligentnĂ­ kalkulus. Online zde:\\ \url{http://matematika.cuni.cz/ikalkulus.html}\\
- ĹeĹˇenĂ© pĹ™Ă­klady od OndĹ™eje Bouchaly. Online zde: (viz. cviÄŤenĂ­ k MatematickĂ© analĂ˝ze 3):\\ \url{https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~bouchala/Vyuka/}\\
- PĹ™Ă­klady od KristĂ˝ny KuncovĂ©. Online zde:\\
\url{https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~kuncova/}
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{CviÄŤenĂ­ 2}}\ \\
\textbf{1. VyĹˇetĹ™ete bodovou, stejnomÄ›rnou a lokĂˇlnÄ› stejnomÄ›rnou konvergenci nĂˇsledujĂ­cĂ­ch posloupnostĂ­ funkcĂ­}\\ \resetpr
\pr $f_n(x) = e^{-x^2/n}$ na $\er$;
\pr $f_n(x) = n^2\Big(1-\cos(\tfrac{x}{n})\Big)$ na $\er$;\\
\pr $f_n(x) = e^{n(x-1)}$ na $(0,1)$;
\pr $f_n(x) = \tfrac{nx}{1+n+x}$ na $(0,\infty)$;
\pr $f_n(x) = \tfrac{\log nx}{n}$ na $(0,\infty)$;\\
\pr $f_n(x) = (1+\tfrac{x}{n})^n$ na $[0,\infty)$;
\pr $f_n(x) = \tfrac{n^2 - x^2}{n^2 + x^2}$ na $\mathbb{R}$;
\pr $f_n(x) = x^ne^{-x^2/n}$ na $(-1,1)$;\\
\pr $f_n(x) = nx\log(1+\tfrac{1}{nx})$ na $(0,\infty)$;
\pr $f_n(x) = n\sin \tfrac{x}{n}$ na $\mathbb{R}$;
\pr $f_n(x) = \tfrac{\sqrt{n}}{x}\Big(2^{\tfrac{x^2}{\sqrt{n}}} - 1\Big)$ na $(0,\infty)$;
\\[5pt]

\noindent\textbf{2. NechĹĄ jsou dĂˇny funkce $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$ a $f:[0,1]\to \mathbb{R}$. RozhodnÄ›te o pravdivosti nĂˇsledujĂ­cĂ­ch tvrzenĂ­ (tj. podejte dĹŻkaz Ĺľe tvrzenĂ­ ne/platĂ­).}\resetpr \\
\pr $f_n\rightrightarrows f$ na $[0,1]$, prĂˇvÄ› kdyĹľ existuje mnoĹľina $E\subset [0,1]$ mĂ­ry nula splĹujĂ­cĂ­ Ĺľe $f_n\rightrightarrows f$ na $[0,1]\setminus E$.\\
\pr Pokud jsou funkce $f_n$ a $f$ spojitĂ©, pak $f_n\rightrightarrows f$ na $[0,1]$, prĂˇvÄ› kdyĹľ $\int_0^1 |f_n(t)-f(t)| \d t \to 0$.\\[10pt]
\pr Pokud jsou funkce $f_n$ a $f$ spojitĂ©, pak $f_n\rightrightarrows f$ na $[0,1]$, prĂˇvÄ› kdyĹľ existuje mnoĹľina $E\subset [0,1]$ mĂ­ry nula splĹujĂ­cĂ­ Ĺľe $f_n\rightrightarrows f$ na $[0,1]\setminus E$.

\newpage
\centerline{\MakeUppercase{CviÄŤenĂ­ 3}}\ \\
\textbf{1. OdpovÄ›zte na otĂˇzky: Pro jakĂ© $x$ Ĺ™ada konverguje? Na jakĂ©m intervale konverguje Ĺ™ada stejnomÄ›rnÄ› nebo lokĂˇlnÄ› stejnomÄ›rnÄ›? Na jakĂ©m intervale je souÄŤet Ĺ™ady spojitĂˇ funkce?}\\ \resetpr
\pr $\sum_{n=1}^\infty x^n$;
\pr $\sum_{n=1}^\infty \tfrac{nx}{1+n^5x^2}$;
\pr $\sum_{n=1}^\infty \log(1+\tfrac{x^2}{n^2})$;
\pr $\sum_{n=1}^\infty \exp(-(n+x^2))$;
\pr $\sum_{n=1}^\infty (-x^2 + 6x - 8)^n$;\\
\pr $\sum_{n=1}^\infty x^2e^{-n^2x^2}$;
\pr $\sum_{n=1}^\infty \log(1+\tfrac{x^2\sin^2x}{n^2})$;
\pr $\sum_{n=1}^\infty \tfrac{1}{1+n^2x^2}$;
\pr $\sum_{n=1}^\infty \tfrac{x}{1+n^2x^2}$;\\[5pt]

\noindent\textbf{2. UvaĹľujte funkci $f(x):=\sum_{n=0}^\infty (3/4)^n g(4^nx)$, kde $g(x)$ je $2$-periodickĂ© rozĹˇĂ­Ĺ™enĂ­ funkce $|x|$ (tj. $g(x+2)=g(x)$). DokaĹľte, Ĺľe $f$ je spojitĂˇ funkce, kterĂˇ nemĂˇ v ĹľĂˇdnĂ©m bodÄ› vlastnĂ­ derivaci.}\\[3pt]
Hint: DĹŻkaz spojitosti je standardnĂ­. Pro dĹŻkaz neexistence derivace v bodÄ› $x$ ukaĹľte, Ĺľe pro kaĹľdĂ© $k\in\mathbb{N}$ existuje $\delta_k \in\{\pm \tfrac{1}{2\cdot 4^k}\}$ takovĂ©, Ĺľe
\begin{equation}\label{eq:gcka}
	|g(4^nx + 4^n\delta_k) - g(4^nx)| \begin{cases} = 0 &amp; n&gt;k\\ = \tfrac{1}{2} &amp; k=n\\ \leq 4^n\delta_k &amp; n&lt;k.\end{cases}
\end{equation}
PouĹľijte pak pro kaĹľdĂ© $k\in\mathbb{N}$ odhad
\[
\Big|\frac{f(x+\delta_k)-f(x)}{\delta_k}\Big| \geq \Big|\sum_{n=k}^\infty \Big(\frac{3}{4}\Big)^n \frac{g(4^nx + 4^n\delta_k) - g(4^nx)}{\delta_k}\Big| - \sum_{n=1}^{k-1}\Big(\frac{3}{4}\Big)^n\frac{|g(4^nx + 4^n\delta_k) - g(4^nx)|}{\delta_k}
\]
a s pomocĂ­ \eqref{eq:gcka} odvoÄŹte, Ĺľe $\Big|\frac{f(x+\delta_k)-f(x)}{\delta_k}\Big|\to \infty$ a tedy $f$ nemĂˇ derivaci v bodÄ› $x$.

\newpage
\centerline{\MakeUppercase{CviÄŤenĂ­ 4}}\ \\
\textbf{1.} DokaĹľte, Ĺľe funkce $f$ danĂˇ pĹ™edpisem \[f(x):=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(1+\frac{x}{n})}{\sqrt{n}}, \quad x\in\er\]
je spojitĂˇ na $\mathbb{R}$ a vyjĂˇdĹ™ete $f'(0)$ jako souÄŤet Ĺ™ady.\\[5pt]
\textbf{2.} DokaĹľte, Ĺľe pro funkci $f$ danou pĹ™edpisem \[f(x):=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x|}{n^2+x^2}, \quad x\in[-1,1]\]
platĂ­ $f\in \C([-1,1])$. SpoÄŤtÄ›te $f'(\tfrac{1}{2})$ a $f'(0)$.\\[5pt]
\textbf{3.} DokaĹľte, Ĺľe pro funkci $f(x):=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}$, $x\in(1,\infty)$ platĂ­ $f\in \C^\infty((1,\infty))$.\\[5pt]
\textbf{4.} DokaĹľte, Ĺľe pro funkci $f$ danou pĹ™edpisem \[f(x):=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\cdot \log(\tfrac{2x-2}{n^{3}} + 3), \quad x\in(0,\infty)\]
platĂ­ $f\in \C((0,\infty))$. UkaĹľte, Ĺľe tato funkce mĂˇ vlastnĂ­ derivaci na intervalu $[1,\infty)$ a Ĺľe $\sup_{x\geq 1} |f'(x)|&lt;\infty$.\\[5pt]
\textbf{5.} NechĹĄ funkce $f$ je dĂˇna pĹ™edpisem
\[
f(x):=\sum_{n=1}^\infty \Big(\cos\big(\tfrac{2x-1}{3}\pi\big)\Big)^n.
\]
NaleznÄ›te definiÄŤnĂ­ obor $f$ (tj. ta $x$ pro kterĂˇ je Ĺ™ada konvergentnĂ­). DĂˇle dokaĹľte, Ĺľe funkce $f$ je na intervalu $(\tfrac{1}{2},2)$ spojitĂˇ, mĂˇ na tomto intervalu vlastnĂ­ derivaci a najdÄ›te maximum funkce $f$ na intervalu $[1,\tfrac{5}{4}]$.\\[5pt]
\textbf{6.} AĹĄ $g:[0,1]\to\mathbb{R}$. RozhodnÄ›te, jakĂ© implikace platĂ­ mezi nĂˇsledujĂ­cĂ­mi tvrzenĂ­mi.
\begin{itemize}
	\item Funkce $g$ je spojitĂˇ skoro vĹˇude a $|g(x)|&lt;1$ pro kaĹľdĂ© $x\in [0,1]$.
	\item Ĺada $\sum_{n=1}^\infty (g(x))^n$ je stejnomÄ›rnÄ› konvergentnĂ­ na $[0,1]$.
	\item Funkce $g$ je spojitĂˇ a $|g(x)|&lt;1$ pro kaĹľdĂ© $x\in [0,1]$.
\end{itemize}
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{CviÄŤenĂ­ 5}}\ \\
\textbf{1.} DokaĹľte, Ĺľe funkce $f$ danĂˇ pĹ™edpisem \[f(x):=\sum_{n=1}^\infty n^2\Big(\sin(\frac{x}{n}) - \frac{x}{n} + \frac{x^3}{6n^3}\Big), \quad x\in\er\]
je spojitĂˇ na $\mathbb{R}$.\\[5pt]
\textbf{2.} DokaĹľte, Ĺľe funkce $f$ danĂˇ pĹ™edpisem \[f(x):=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt[4]{n}}\arctg\Big(2 + \frac{3x-x}{n^2}\Big), \quad x\in\er\]
je spojitĂˇ na $\mathbb{R}$ a vyjĂˇdĹ™ete $f'(1)$ jako souÄŤet Ĺ™ady.\\[5pt]
\textbf{3.} DokaĹľte, Ĺľe funkce $f$ danĂˇ pĹ™edpisem \[f(x):=\sum_{n=1}^\infty \log\Big(1 + \frac{2x}{x^2 + n^2}\Big), \quad x\in\er\]
je spojitĂˇ na $[0,\infty)$.\\
BONUSOV\'A OT\'AZKA: Je Ĺ™ada stejnomÄ›rnÄ› konvergentnĂ­ na $[0,\infty)$?\\[5pt]
\textbf{4.} UvaĹľujte funkci $f$ definovanou pĹ™edpisem
\[
f(x):=\sum_{n=1}^\infty \frac{(\sgn(\tg x))^n \sqrt{n} 3^n (\tg x)^{2n}}{n+1}.
\]
NaleznÄ›te definiÄŤnĂ­ obor zadanĂ© funkce a dokaĹľte, zda je tato funkce na svĂ©m definiÄŤnĂ­m oboru spojitĂˇ.\\[5pt]
\textbf{5. Nalezn\v{e}te polom\v{e}r konvergence n\'asleduj\'ic\'ich mocninn\'ych \v{r}ad. Ur\v{c}ete oblasti absolutn\'i
	konvergence, neabsolutn\'i konvergence a divergence.}\\[5pt]\resetpr
\pr $\suma \frac{n^7}{n+20}x^n$
\pr $\suma \frac{3^n+(-2)^n}{n} (x+1)^n$
%sami
\pr $\suma \frac{6^n+(-2)^n}{n^2}(x-1)^n$
\pr $\suma \frac{x^n}{a^n + b^n}\;(a,b&gt;0)$\\
\pr $\suma (1+\tfrac{1}{n})^{n^2}x^n$
\pr $\suma \frac{1}{a^{\sqrt{n}}} x^n\;(a&gt;0)$\\[5pt]

\noindent\textbf{6. NajdÄ›te mocninnou Ĺ™adu, kterĂˇ}
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Diverguje pro $x=0$.
	\item Konverguje pro $x=5$, ale nikde jinde.
	\item MĂˇ stĹ™ed konvergence v $0$, polomÄ›r konvergence roven $2$ a konverguje pro $2$, ale diverguje pro $-2$.
	
\end{enumerate}
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{CviÄŤenĂ­ 6}}\ \\
\textbf{1. Nalezn\v{e}te polom\v{e}r konvergence n\'asleduj\'ic\'ich mocninn\'ych \v{r}ad. Ur\v{c}ete oblasti absolutn\'i
	konvergence, neabsolutn\'i konvergence a divergence.}\\[5pt]\resetpr
\pr $\suma \frac{n!}{a^{n^2}}x^n\;(a&gt;1)$
\pr $\suma \frac{(3+(-1)^n)^n}{n}x^n$
%sami
\pr $\suma \frac{\big(1 + 2\cos \tfrac{\pi n}{4}\big)^n}{n}x^n$
\pr $\suma \left(\frac{a^n}{n}+\frac{b^n}{n^2}\right)x^n\;(a,b&gt;0)$\\[5pt]
\pr $\suma \frac{(n!)^2}{n!}x^n$ (Hint: na kruhu konvergence pouĹľijte StirlingĹŻv vzorec: $\lim_{n\to\infty} \tfrac{1}{\sqrt{n}}\Big(\tfrac{e}{n}\Big)^n n! = \sqrt{2\pi}$)
\pr $\suma \frac{1}{2^n}x^{n^2}$\\[5pt]
\textbf{2. VyjĂˇdĹ™ete nĂˇsledujĂ­cĂ­ funkce jako mocninnou Ĺ™adu o stĹ™edu 0:}\resetpr \\
\pr $e^{-x^2}$ \pr $(1+x)\log(1+x)$ \pr $\frac{1}{(1-x)^2}$ \pr $\arctg x$ \pr $\arctg\left(\frac{2 - 2x}{1 + 4x}\right)$\\[5pt]
\textbf{3. SeÄŤtÄ›te Ĺ™ady vĹˇude uvnitĹ™ kruhu konvergence:}\resetpr \\
\pr $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{4n+5}}{n!}$
\pr $\suma nx^n$
\pr $\suma n^2 x^n$
\pr $\suma (-1)^{n+1} n^2 x^n$
\pr $\suma (n-1)(n+3)x^{2n}$\\[5pt]
%\pr $\sumaO \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
%\pr $\sumaO \frac{x^{4n}}{(4n)!}$
%\pr $\suma (n-1)(n+3)x^{2n}$
%\pr $\suma \frac{n^2 - 1}{3^n\;n!}\;x^n$
\textbf{4. Ĺekneme, Ĺľe reĂˇlnĂˇ funkce $f$ je \emph{vyjĂˇdĹ™itelnĂˇ na okolĂ­ nuly jako mocninnĂˇ Ĺ™ada} (zkrĂˇcenÄ› ``je (MR)''), pokud existuje $\delta&gt;0$ a posloupnost $(a_n)\in \R^\N$ splĹujĂ­cĂ­, Ĺľe $f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$, $x\in (-\delta,\delta)$. UrÄŤete, jakĂ© implikace platĂ­ mezi nĂˇsledujĂ­cĂ­mi tvrzenĂ­mi o reĂˇlnĂ© funkci $f$ definovanĂ© na okolĂ­ nuly a svĂ© tvrzenĂ­ dokaĹľte.}
\begin{enumerate}[(a)]
	\item  $f$ je (MR).
	\item $f$ je (MR) a existuje $k\in\N\cup\{0\}$ splĹujĂ­cĂ­ $f^{(k)}(0)\neq 0$.
	\item Existuje $k\in\N\cup\{0\}$ a $g$ kterĂˇ je (MR) a $g(0)\neq 0$ tak, Ĺľe na nÄ›jakĂ©m otevĹ™enĂ©m okolĂ­ nuly platĂ­ $f(x) = x^kg(x)$.
	\item $f$ mĂˇ na okolĂ­ nuly spojitĂ© derivace vĹˇech Ĺ™ĂˇdĹŻ (tj. $f\in C^\infty((-\delta,\delta))$ pro nÄ›jakĂ© $\delta&gt;0$).
\end{enumerate}
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{CviÄŤenĂ­ 7}}\ \\
\textbf{1. Rozvi\v{n}te funkce $f(x) = \frac{1}{1-x}$, $g(x) = \frac{1}{(1-x)^2}$ v mocninn\'e \v{r}ady se st\v{r}edem v bod\v{e} $x_0=-1$ a stanovte polom\v{e}r konvergence t\v{e}chto \v{r}ad.}\\[5pt]
\textbf{2. Rozvi\v{n}te funkci $\exp(x)$ v mocninnou \v{r}adu se st\v{r}edem v bod\v{e} $x_0=1$ a stanovte polom\v{e}r konvergence tĂ©to \v{r}ady.}\\[5pt]
\textbf{3. Se\v{c}t\v{e}te \v{r}ady v\v{s}ude na intervalu konvergence:}\\ \resetpr
\pr $\suma \frac{x^n}{n(n+1)}$
\pr $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \tfrac{x^{2n+1}}{2n+1}$
\pr $\suma (-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{n(2n-1)}$\\[5pt]
\textbf{4. Rozvi\v{n}te funkce $f(x) = \frac{1}{x-3}$, $g(x) = \frac{x}{x-3}$ v mocninn\'e \v{r}ady se st\v{r}edem v bodech $x_0 = 0$ a $x_0 = 1$ a stanovte polom\v{e}r konvergence t\v{e}chto \v{r}ad.}\\[5pt]
\textbf{5. Rozvi\v{n}te funkce $f(x) = \exp(x)$, $g(x) = x\exp(x)$ v mocninn\'e \v{r}ady se st\v{r}edem v bodÄ› $x_0 = -17$ a stanovte polom\v{e}r konvergence t\v{e}chto \v{r}ad.}\\[5pt]
\textbf{6. Se\v{c}t\v{e}te n\'asleduj\'ic\'i \v{r}ady v\v{s}ude na intervalu konvergence}\\
\resetpr \pr $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
\pr $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{4n}}{(4n)!}$
\pr $\suma \frac{n^2 - 1}{3^n\;n!}\;x^n$
\\[5pt]
\textbf{7. VyjĂˇdĹ™ete nĂˇsledujĂ­cĂ­ funkci jako mocninnou Ĺ™adu o stĹ™edu 0:}\resetpr 
\pr $\frac{4}{(x-3)(x+1)}$
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{CviÄŤenĂ­ 9}}\ \\
\textbf{1. Se\v{c}t\v{e}te \v{r}ady:}\\ \resetpr
\pr $\suma \frac{(-1)^n}{n}$
\pr $\suma \frac{n}{2^n}$
%% zacinaji priklady k procviceni
\pr $\suma \frac{(-1)^n}{2n+1}$
\pr $\suma \frac{n(n+1)}{2^n}$
\pr $\suma \frac{(-1)^nn^3}{3^n}$
\pr $\suma \frac{(-1)^n}{4^n(2n+1)}$\\
\pr $\suma \frac{(-1)^{n-1}}{4n^2 - 1}$
\pr $\suma (-1)^n\frac{2n+3}{(n+1)2^n}$
\pr $\suma \frac{(-1)^nn^2}{2^n\;n!}$\\[5pt]
\textbf{2. Se\v{c}t\v{e}te \v{r}ady v\v{s}ude na intervalu konvergence:}\\ \resetpr
\pr $\suma \tfrac{n^2}{n!}x^{n+2}$
\pr $\suma (-1)^n \tfrac{3n+1}{2n^2+n}x^{2n+1}$
\pr $\sum_{n=2}^\infty (-1)^{n+1} \tfrac{n-1}{n!}x^n$\\[5pt]
\textbf{3. UrÄŤete, zda majĂ­ nĂˇsledujĂ­cĂ­ funkce $f$ koneÄŤnou variaci na $[0,1]$}\\ \resetpr
\pr $f(x)=\sqrt{x}$ \pr $f(x) = \begin{cases} 1 &amp; x\in [0,1]\cap \qe\\ 0 &amp; x\in [0,1]\setminus \qe\end{cases}$ \pr $f(x) = \begin{cases} x^2\sin\tfrac{1}{x} &amp; x\in (0,1]\\ 0 &amp; x=0\end{cases}$
\pr $f(x) = \begin{cases} x^2\sin\tfrac{1}{x^2} &amp; x\in (0,1]\\ 0 &amp; x=0\end{cases}$\\
\pr $f(x) = \begin{cases}\tfrac{1}{1-x} &amp; x\in [0,1)\\ 0 &amp; x=1\end{cases}$\\[5pt]

\textbf{VĂ˝sledky:}\\
\textbf{1.}\resetpr \pr $-\log 2$ \pr $2$ \pr $\frac \pi4 - 1$ \pr $8$ \pr $\frac{3}{128}$ \pr $2\arctg(1/2) - 1$ \pr $\frac \pi4 - \frac 12$ \pr $-2\log(\frac 23) - \frac 53$ \pr $-\frac{1}{4\sqrt{e}}$\\[5pt]
\textbf{2.}\resetpr \pr $e^x(x^4 + x^3)$, $x\in\mathbb{R}$ \pr $-x + \arctan x - x \log(1 + x^2)$, $x\in [-1,1]$ \pr $(1+x)e^{-x} - 1$, $x\in\mathbb{R}$
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{CviÄŤenĂ­ 10}}\ \\
\textbf{1. UrÄŤete, jakĂ© implikace platĂ­ mezi nĂˇsledujĂ­cĂ­mi tvrzenĂ­mi o funkci $f:[0,1]\to\mathbb{R}$.}
\begin{enumerate}[(a)]
	\item $f$ mĂˇ koneÄŤnou variaci na $[0,1]$,
	\item $|f|$ mĂˇ koneÄŤnou variaci na $[0,1]$,
	\item $f$ je omezenĂˇ.
\end{enumerate}
\textbf{2. UrÄŤete, kterĂ© z nĂˇsledujĂ­cĂ­ch funkcĂ­ $f:[0,1]\to \R$ majĂ­ koneÄŤnou variaci, kterĂ© jsou absolutnÄ› spojitĂ© a kterĂ© jsou LipchitzovkĂ©.}\\ \resetpr
\pr $f(x) = x$ \pr $f(x) = x^2$ \pr $f(x) = \sqrt{x}$ \pr $f(x) = \begin{cases}1 &amp; x \in [0,\tfrac{1}{2}]\\ 0 &amp; x\in (\tfrac{1}{2},1]\end{cases}$ \pr $f(x) = \begin{cases} x\sin\tfrac{1}{x} &amp; x\in (0,1]\\ 0 &amp; x=0\end{cases}$\\[5pt]
\textbf{3. UrÄŤete, jakĂ© implikace platĂ­ mezi nĂˇsledujĂ­cĂ­mi tvrzenĂ­mi o funkci $f:[0,1]\to\mathbb{R}$.}
\begin{enumerate}[(a)]
	\item $f$ je absolutnÄ› spojitĂˇ na $[0,1]$,
	\item $|f|$ je absolutnÄ› spojitĂˇ na $[0,1]$,
	\item $f$ mĂˇ omezenou derivaci na $[0,1]$.
\end{enumerate}
\textbf{4.} UkaĹľte, Ĺľe
\begin{enumerate}
	\item $BV([0,1])$ je vektorovĂ˝ podprostor prostoru $\ell_\infty([0,1]) = \{f:[0,1]\to \R\colon f \text{ je omezenĂˇ}\}$,
	\item pĹ™edpis $\|f\|_{BV}:=\|f\|_\infty + V(f)$ definuje normu na $BV([0,1])$,
	\item Je--li $\rho$ metrika na $BV([0,1])$ generovanĂˇ normou $\|\cdot\|_{BV}$, pak $(BV([0,1]),\rho)$ je ĂşplnĂ˝ metrickĂ˝ prostor.\\
	\emph{Hint: mĹŻĹľete pouĹľĂ­t, Ĺľe $(\ell_\infty([0,1]),\|\cdot\|_\infty)$ je ĂşplnĂ˝}
\end{enumerate}
\textbf{5.} UkaĹľte, Ĺľe
\begin{enumerate}
	\item $AC([0,1])$ je vektorovĂ˝ podprostor prostoru $BV([0,1])$,
	\item pĹ™edpis $\|f\|_{AC}:=\|f\|_\infty + \|f'\|_{L_1}$ definuje normu na $AC([0,1])$,
	\item je--li $\rho$ metrika na $AC([0,1])$ generovanĂˇ normou $\|\cdot\|_{AC}$, pak $(AC([0,1]),\rho)$ je ĂşplnĂ˝ metrickĂ˝ prostor,\\
	\emph{Hint: pouĹľijte Ăşplnost prostoru $L_1$, Newton-Leibnitzovu formuli pro absolutnÄ› spojitĂ© funkce a zĂˇmÄ›nu limity a integrĂˇlu}
	\item pro $f\in AC([0,1])$ platĂ­ $\|f\|_{AC} = \|f\|_{BV}$.\\
	\emph{Hint: je tĹ™eba ukĂˇzat, Ĺľe $V(f) = \|f'\|_{L_1}$. Pro dĹŻkaz nerovnosti $\leq$ pouĹľijte definici variace a Newton-Leibnitzovu formuli pro absolutnÄ› spojitĂ© funkce. Pro dĹŻkaz nerovnosti $\geq$ postupujte takto: NechĹĄ $F(t) = V(f; 0,t)$ je variace $f$ na $[0,t]$. Pak $F$ je neklesajĂ­cĂ­, $|f(s)-f(t)|\leq F(s)-F(t)$ pro $0\leq t\leq s\leq 1$. Tedy $|f'|\leq  F'$ skoro vĹˇude na $[0,1]$. Odtud odvoÄŹte, Ĺľe $\|f'\|_{L_1}\leq F(1)-F(0) = V(f)$.}
\end{enumerate}
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{CviÄŤenĂ­ 11}}\ \\
\textbf{1. Sestavte Fourierovu \v{r}adu k $2\pi$-periodickĂ©mu prodlouĹľenĂ­ nĂˇsledujĂ­cĂ­ch funkcĂ­}\\ \resetpr
\pr $f(x)=e^x$, $x\in (-\pi,\pi]$
\pr $f(x)= x$, $x\in [-\pi,\pi)$
\pr $f(x) = x^2$, $x\in [0,2\pi)$\\
\pr $f(x) = \sin^4 x$, $x\in [0,2\pi)$ (Hint: vyjĂˇdĹ™ete funkci jako trigonometrickou Ĺ™adu, nemusĂ­te pak poÄŤĂ­tat ĹľĂˇdnĂ˝ integrĂˇl)\\
\pr $f(x) = \begin{cases} 0&amp; x\in [-\pi,-\tfrac{\pi}{6}]\cup[\tfrac{\pi}{6},\pi]\\ \cos(3x)&amp; x\in(-\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{6})\end{cases}$
\pr $f(x) = \sgn(x)$, $x\in (-\pi,\pi]$
\pr $f(x) = \begin{cases}-x &amp; x\in [-\pi,0),\\ x &amp; x\in [0,\pi)\end{cases}$\\
\pr $f(x) = \sgn(x) + \sin^2 x$, $x\in [-\pi,\pi)$\\[5pt]
\textbf{2. KterĂ© koeficienty Fourierovy Ĺ™ady funkce $f\in \mathcal{P}_{2\pi}$ jsou nulovĂ©, jestliĹľe platĂ­}
\begin{enumerate}[(a)]
	\item $f(x+\pi) = -f(x)$
	\item $f(x+\pi) = f(x)$
	\item $f(-x) = f(x)$ a $f(x + \pi) = - f(x)$
\end{enumerate}

\begin{center}----------V\'YSLEDKY----------\end{center}
\textbf{1.}\resetpr \pr \pr $\sum_{n=1}^\infty \tfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$ \pr $\tfrac{4\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty(\tfrac{4}{n^2}\cos(nx) - \tfrac{4\pi}{n}\sin(nx))$
\pr $\tfrac{3}{8} - \tfrac{1}{2}\cos(2x) + \tfrac{1}{8}\cos(4x)$\\
\pr $\tfrac{1}{3\pi} + \tfrac{1}{6}\cos(3x) + \sum_{n=1,n\neq 3}\tfrac{6\cos(n\pi/6)}{(9-n^2)\pi}\cos(nx)$
\pr $\sum_{n=1}^\infty \tfrac{4}{\pi(2n-1)}\sin((2n-1)x)$\\
\pr $\tfrac{\pi}{2} + \sum_{n=1}^\infty \tfrac{-4}{\pi(2n-1)^2}\cos((2n-1)x)$
\pr $\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\cos(2x) + \sum_{n=1}^\infty \tfrac{4}{\pi(2n-1)}\sin((2n-1)x)$
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{CviÄŤenĂ­ 12}}\ \\
\textbf{1. UvaĹľujte $2\pi$-periodickĂ© prodlouĹľenĂ­ nĂˇsledujĂ­cĂ­ch funkcĂ­ a rozhodnÄ›te zda pĹ™Ă­sluĹˇnĂˇ Fourierova Ĺ™ada konverguje bodovÄ›/lokĂˇlnÄ› stejnomÄ›rnÄ›/stejnomÄ›rnÄ› na $\R$ a urÄŤete jejĂ­ souÄŤet.}\\ \resetpr 
\pr $f(x)=e^x$, $x\in (-\pi,\pi]$
\pr $f(x)=\sin^4 x$, $x\in [0,2\pi)$
\pr $f(x)=x^2$, $x\in [0,2\pi)$
\pr $f(x) = \sgn(x)$, $x\in (-\pi,\pi]$
\pr $f(x) = \begin{cases}-x &amp; x\in [-\pi,0),\\ x &amp; x\in [0,\pi)\end{cases}$
\pr $f(x) = \begin{cases} 0&amp; x\in [-\pi,-\tfrac{\pi}{6}]\cup[\tfrac{\pi}{6},\pi]\\ \cos(3x)&amp; x\in(-\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{6})\end{cases}$
\pr $f(x) = \sgn(x) + \sin^2 x$, $x\in [-\pi,\pi)$\\[5pt]
\textbf{2. RozviĹte nĂˇsledujĂ­cĂ­ funkce do sinovĂ©/kosinovĂ© Fourierovy Ĺ™ady. NaleznÄ›te intervaly, kde Ĺ™ada konverguje (bodovÄ›/stejnomÄ›rnÄ›/lokĂˇlnÄ› stejnomÄ›rnÄ›) a urÄŤete jejĂ­ souÄŤet. UrÄŤete pak souÄŤet ÄŤĂ­selnĂ˝ch Ĺ™ad, pokud je v zadĂˇnĂ­ ÄŤĂ­selnĂˇ Ĺ™ada uvedena.}\resetpr \\
\pr $x^2$ na $(0,\pi)$ do sinovĂ© Ĺ™ady
\pr $\sgn(\sin(3x))$ na $[0,\pi)$ do cosinovĂ© Ĺ™ady. UrÄŤete souÄŤet $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(3k+1)(3k+2)}$\\
\pr $\cos(ax)$ pro $a&gt;0$ na $[0,\pi)$ do sinovĂ© Ĺ™ady\\[5pt]
\noindent\textbf{3.} UvaĹľujme funkci \[f(x) = \begin{cases}x &amp; x\in [0,\tfrac{1}{3}]\\ 0 &amp; x\in (\tfrac{1}{3},\pi]\end{cases}\]
RozviĹte ji v cosinovou Fourierovu Ĺ™adu, tj. naleznÄ›te koeficienty $a_k$, $k\in \N\cup\{0\}$ takovĂ©, Ĺľe platĂ­
\[
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty a_k \cos(kx), \quad x\in (0,\pi)\setminus\{\tfrac{1}{3}\}.
\]
(nejprve naleznÄ›te pĹ™Ă­sluĹˇnĂ© koeficienty a pak s pomocĂ­ vÄ›t z pĹ™ednĂˇĹˇky dokaĹľte, Ĺľe splĹujĂ­ ĹľĂˇdanou rovnost)\\[5pt]
\noindent\textbf{4.} UvaĹľujme funkci \[f(x) = \begin{cases}x &amp; x\in [-\pi,\pi)\setminus\mathbb{Q}\\ 0 &amp; x\in [-\pi,\pi)\cap\mathbb{Q}\end{cases}\]
$2\pi$-periodicky dodefinovanou na $\mathbb{R}$. NaleznÄ›te Fourierovu Ĺ™adu tĂ©to funkce a urÄŤete souÄŤet Fourierovy Ĺ™ady na $\mathbb{R}$.\\[5pt]
\noindent\textbf{5. SeÄŤtÄ›te $\sum_{n=1}^\infty q^n\sin(nx)$ pro $q\in (-1,1)$.  Je tato Ĺ™ada Fourierovou Ĺ™adou svĂ©ho souÄŤtu?}\\
(\emph{Hint:} pouĹľijte komplexnĂ­ ÄŤĂ­sla, tj. $\sin(nx) = \operatorname{Im}(e^{inx})$)\\[20pt]
\begin{center}----------V\'YSLEDKY----------\end{center}
VĂ˝sledky tĂ˝kajĂ­cĂ­ se konvergence jsou uvedeny na uzavĹ™enĂ˝ch intervalech dĂ©lky $2\pi$.\\
\textbf{1.}\resetpr 
\pr $s^f(x) = \begin{cases}f(x) &amp; x\in (-\pi,\pi)\\ \frac{e^{\pi} + e^{-\pi}}{2} &amp; x \in\{\pm \pi\}\end{cases}$, konvergence je lokĂˇlnÄ› stejnomÄ›rnĂˇ na $(-\pi,\pi)$
\pr $s^f(x) = f(x)$, konvergence je stejnomÄ›rnĂˇ na $[0,2\pi]$ 
\pr $s^f(x) = \begin{cases}f(x) &amp; x\in (0,2\pi)\\ 2\pi^2 &amp; x \in\{0,2\pi\}\end{cases}$, konvergence je lokĂˇlnÄ› stejnomÄ›rnĂˇ na $(0,2\pi)$ 
\pr $s^f(x) = \begin{cases}f(x) &amp; x\in (-\pi,\pi)\\ 0 &amp; x \in\{\pm\pi\}\end{cases}$, konvergence je lokĂˇlnÄ› stejnomÄ›rnĂˇ na $(-\pi,0)$ a na $(0,\pi)$
\pr $s^f(x) = f(x)$, konvergence je stejnomÄ›rnĂˇ na $[-\pi,\pi]$
\pr $s^f(x) = f(x)$, konvergence je stejnomÄ›rnĂˇ na $[-\pi,\pi]$
\pr $s^f(x) = \begin{cases}f(x) &amp; x\in (-\pi,\pi)\\ 0 &amp; x \in\{\pm\pi\}\end{cases}$, konvergence je lokĂˇlnÄ› stejnomÄ›rnĂˇ na $(-\pi,0)$ a na $(0,\pi)$\\
\textbf{2.}\resetpr 
\pr $s^f(x) = \begin{cases}\sgn(x)f(x) &amp; x\in (-\pi,\pi)\\ 0 &amp; x \in\{\pm\pi\}\end{cases}$, konvergence je lokĂˇlnÄ› stejnomÄ›rnĂˇ na $(-\pi,\pi)$, $s^f(x) = \sum_{k=1}^\infty \Big(\frac{2\pi}{k}(-1)^{k+1} + \frac{4}{\pi k^3}((-1)^k - 1)\Big)\sin(kx)$
\pr $s^f(x) = \begin{cases}f(|x|) &amp; x\in (-\pi,0)\cup (0,\pi)\\ 1 &amp; x \in\{\pm\pi,0\}\end{cases}$, konvergence je lokĂˇlnÄ› stejnomÄ›rnĂˇ na $(0,\tfrac{\pi}{3}) + k\tfrac{\pi}{3}$, $s^f(x) = \tfrac{1}{3} + \sum_{k=0}^\infty \tfrac{4\sqrt{3}}{\pi}\Big(\frac{\cos((6k+2)x)}{6k+2} - \frac{\cos((6k+4)x)}{6k+4}\Big)$, $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(3k+1)(3k+2)} =\tfrac{\pi}{3\sqrt{3}}$\\
\pr $s^f(x) = \begin{cases}\sgn(x)\cos(ax) &amp; x\in [-\pi,0)\cup (0,\pi]\\ 0 &amp; x=0\end{cases}$, konvergence je lokĂˇlnÄ› stejnomÄ›rnĂˇ na $[-\pi,0)$ a na $(0,\pi]$, $s^f(x) = \sum_{k=1, k\neq a}^\infty \tfrac{2k}{\pi(k^2-a^2)}(1-(-1)^k\cos(a\pi))\sin(kx)$\\
\textbf{3.} $a_0 = \tfrac{1}{9\pi}$, $a_k = \tfrac{2}{\pi}\Big(\tfrac{\sin(k/3)}{3k} + \tfrac{\cos(k/3)}{k^2} - \tfrac{1}{k^2}\Big)$\qquad
\textbf{4.} $s^f(x) = \begin{cases} x &amp; x\in [-\pi,\pi)\\ 0 &amp; x = \pi\end{cases}$, $s^f(x) = \sum_{k=1}^\infty \tfrac{2}{k}(-1)^{k+1} \sin(kx)$\\ 
\textbf{5.} ano, Ĺ™ada je Fourierovou Ĺ™adou svĂ©ho souÄŤtu; souÄŤet je roven $\tfrac{q\sin x}{1+q^2-2q\cos x}$
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{CviÄŤenĂ­ 13}}\ \\
\noindent\textbf{1. S pomocĂ­ Parsevalovy rovnosti odvoÄŹte z rozvoje funkce $f(x)$ do Fourierovy Ĺ™ady na $[-\pi,\pi]$, ÄŤemu je roven souÄŤet Ĺ™ady $\sum_{n=1}^\infty a_n$.}\\[3pt]
\resetpr\pr $f(x) = x^2$, $a_n = \tfrac{1}{n^4}$\\
\pr $f(x)=\begin{cases}\sin 2x, &amp; x\in(-\pi/2,\pi/2),\\
	0, &amp; x\in [-\pi,-\pi/2]\cup [\pi/2,\pi]\end{cases}$, $a_n = \left(\frac{4}{\pi((2n-1)^2-4)}\right)^2$\\
(Hint: m\r{u}\v{z}ete pou\v{z}\'it vzorce $\sin x\sin y = \tfrac{1}{2}\cos(x-y)-\tfrac{1}{2}\cos(x+y)$ a $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$)\\
\pr $f$ je sud\'a a na intervalu $[0,\pi]$ je definov\'ana p\v{r}edpisem $f(x)= \frac{\pi}{2} - \left|x-\frac{\pi}{2}\right|$, $x\in [0,\pi)$, $a_n = \left(\frac{4}{(4n+2)^2}\right)^2$\\[5pt]
\textbf{2. NaleznÄ›te spoÄŤetnou hustou podmnoĹľinu metrickĂ©ho prostoru $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$.}\\[5pt]
\textbf{3. Na mnoĹľinÄ› $\mathbb{R}$ naleznÄ›te 4 metriky $d_1,d_2,d_3,d_4$ takovĂ©, Ĺľe $(\mathbb{R},d_i)$ nenĂ­ homeomorfnĂ­ $(\mathbb{R},d_j)$ pro $i\neq j$.}\\[5pt]
\textbf{4. Nalezn\v{e}te metrick\'y prostor $M$ a klesajĂ­cĂ­ posloupnost neprĂˇzdnĂ˝ch uzavĹ™enĂ˝ch mnoĹľin $F_1\supset F_2\supset \ldots$ takovou, Ĺľe $\bigcap_{n=1}^\infty F_n = \emptyset$.}\\[5pt]
\textbf{5. Na $\mathbb{R}$ uvaĹľujte metriku $\rho$ danou pĹ™edpisem $\rho(x,x) = 0$ pro $x\in\mathbb{R}$, $\rho(x,0) = \tfrac{1}{|x|}$ pro $x\neq 0$, $\rho(0,y) = \tfrac{1}{|y|}$ pro $y\neq 0$ a $\rho(x,y) = \tfrac{1}{|x|} + \tfrac{1}{|y|}$ pokud $xy\neq 0$. ZjistÄ›te, zda $(\mathbb{R},\rho)$ je \'upln\'y a zda je kompakrn\'i. NajdÄ›te vĹˇechny otevĹ™enĂ© podmnoĹľiny a vĹˇechny kompaktnĂ­ podmnoĹľiny. Jsou
	jednobodovĂ© mnoĹľiny otevĹ™enĂ©?}\\[5pt]
\textbf{6. UkaĹľte, Ĺľe $c_0$ je separabilnĂ­ BanachĹŻv prostor, jehoĹľ jednotkovĂˇ koule nenĂ­ totĂˇlnÄ› omezenĂˇ.}\\
\begin{center}----------V\'YSLEDKY----------\end{center}
\textbf{1.}\resetpr \pr $\tfrac{\pi^4}{90}$ \pr $-\tfrac{1}{2}$ \pr $(\tfrac{\pi^2}{6} - \tfrac{4}{\pi^2} - \tfrac{\pi}{4})\tfrac{\pi^2}{4}$\\[30pt]
\centerline{\MakeUppercase{CviÄŤenĂ­ 13}}\ \\
\noindent\textbf{1. S pomocĂ­ Parsevalovy rovnosti odvoÄŹte z rozvoje funkce $f(x)$ do Fourierovy Ĺ™ady na $[-\pi,\pi]$, ÄŤemu je roven souÄŤet Ĺ™ady $\sum_{n=1}^\infty a_n$.}\\[3pt]
\resetpr\pr $f(x) = x^2$, $a_n = \tfrac{1}{n^4}$\\
\pr $f(x)=\begin{cases}\sin 2x, &amp; x\in(-\pi/2,\pi/2),\\
	0, &amp; x\in [-\pi,-\pi/2]\cup [\pi/2,\pi]\end{cases}$, $a_n = \left(\frac{4}{\pi((2n-1)^2-4)}\right)^2$\\
(Hint: m\r{u}\v{z}ete pou\v{z}\'it vzorce $\sin x\sin y = \tfrac{1}{2}\cos(x-y)-\tfrac{1}{2}\cos(x+y)$ a $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$)\\
\pr $f$ je sud\'a a na intervalu $[0,\pi]$ je definov\'ana p\v{r}edpisem $f(x)= \frac{\pi}{2} - \left|x-\frac{\pi}{2}\right|$, $x\in [0,\pi)$, $a_n = \left(\frac{4}{(4n+2)^2}\right)^2$\\[5pt]
\textbf{2. NaleznÄ›te spoÄŤetnou hustou podmnoĹľinu metrickĂ©ho prostoru $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$.}\\[5pt]
\textbf{3. Na mnoĹľinÄ› $\mathbb{R}$ naleznÄ›te 4 metriky $d_1,d_2,d_3,d_4$ takovĂ©, Ĺľe $(\mathbb{R},d_i)$ nenĂ­ homeomorfnĂ­ $(\mathbb{R},d_j)$ pro $i\neq j$.}\\[5pt]
\textbf{4. Nalezn\v{e}te metrick\'y prostor $M$ a klesajĂ­cĂ­ posloupnost neprĂˇzdnĂ˝ch uzavĹ™enĂ˝ch mnoĹľin $F_1\supset F_2\supset \ldots$ takovou, Ĺľe $\bigcap_{n=1}^\infty F_n = \emptyset$.}\\[5pt]
\textbf{5. Na $\mathbb{R}$ uvaĹľujte metriku $\rho$ danou pĹ™edpisem $\rho(x,x) = 0$ pro $x\in\mathbb{R}$, $\rho(x,0) = \tfrac{1}{|x|}$ pro $x\neq 0$, $\rho(0,y) = \tfrac{1}{|y|}$ pro $y\neq 0$ a $\rho(x,y) = \tfrac{1}{|x|} + \tfrac{1}{|y|}$ pokud $xy\neq 0$. ZjistÄ›te, zda $(\mathbb{R},\rho)$ je \'upln\'y a zda je kompakrn\'i. NajdÄ›te vĹˇechny otevĹ™enĂ© podmnoĹľiny a vĹˇechny kompaktnĂ­ podmnoĹľiny. Jsou
	jednobodovĂ© mnoĹľiny otevĹ™enĂ©?}\\[5pt]
\textbf{6. UkaĹľte, Ĺľe $c_0$ je separabilnĂ­ BanachĹŻv prostor, jehoĹľ jednotkovĂˇ koule nenĂ­ totĂˇlnÄ› omezenĂˇ.}\\
\begin{center}----------V\'YSLEDKY----------\end{center}
\textbf{1.}\resetpr \pr $\tfrac{\pi^4}{90}$ \pr $-\tfrac{1}{2}$ \pr $(\tfrac{\pi^2}{6} - \tfrac{4}{\pi^2} - \tfrac{\pi}{4})\tfrac{\pi^2}{4}$
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{CviÄŤenĂ­ 14}}\ \\
\textbf{1. Je Cantorovo diskontiunuum souvislĂˇ mnoĹľina?}\\[5pt]
\textbf{2. NechĹĄ $A,B\subset \R^2$ jsou souvislĂ© mnoĹľiny. RozhodnÄ›te o platnosti nĂˇsledujĂ­cĂ­ch tvrzenĂ­.}
\begin{enumerate}[(a)]
	\item $A\cap B$ je souvislĂˇ mnoĹľina.
	\item Pokud je $A\cap B\neq \emptyset$, pak $A\cup B$ je souvislĂˇ mnoĹľina.
	\item $A\setminus B$ je souvislĂˇ mnoĹľina.
	\item Pokud jsou $A$ a $B$ kĹ™ivkovÄ› souvislĂ© a $A\cap B\neq \emptyset$, pak $A\cup B$ je kĹ™ivkovÄ› souvislĂˇ mnoĹľina.
\end{enumerate}
\textbf{3. DokaĹľte, Ĺľe kaĹľdĂˇ konvexnĂ­ mnoĹľina v $\R^n$ je kĹ™ivkovÄ› souvislĂˇ.}\\[5pt]
\textbf{4. Sestrojte dvÄ› disjunktnĂ­ souvislĂ© mnoĹľiny $A$ a $B$ v $[0,1]^2$ takovĂ©, Ĺľe $\{(0,0),(1,1)\}\subset A$ a $\{(1,0),(0,1)\}\subset B$.} (staÄŤĂ­ obrĂˇzek)\\[5pt]
\textbf{5. UvaĹľujte $M = \{f\in C([0,1])\colon f(0)=0,\; \rho_{\sup}(f,0)\leq 1\}\subset (C([0,1]),\rho_{\sup})$. RozhodnÄ›te, kterĂ© z nĂˇsledujĂ­cĂ­ch vlastnostĂ­ mĂˇ $M$: separabilnĂ­, omezenĂ˝, totĂˇlnÄ› omezenĂ˝, ĂşplnĂ˝, souvislĂ˝.}\\[5pt]
\textbf{6. Je mnoĹľina $\{(0,1)\} \cup \{(t,0)\colon t\in[0,1]\}\cup \{(\frac{1}{n},t)\colon t\in[0,1],\;n\in\mathbb{N}\}\subset \R^2$ kĹ™ivkovÄ› souvislĂˇ?}\\[5pt]
\textbf{8. DokaĹľte, Ĺľe pokud $(M,d)$ je souvislĂ˝ metrickĂ˝ prostor a $f:M\to \R$ lokĂˇlnÄ› konstantnĂ­ (tj. pro kaĹľdĂ© $x\in M$ existuje $\varepsilon&gt;0$ Ĺľe $f$ je konstantnĂ­ na $B(x,\varepsilon)$), pak $f$ je konstantnĂ­.}
\end{document}</pre></body></html>