\documentclass[10pt,notitlepage]{report}

\frenchspacing % aktivuje pou�it� n�kter�ch �esk�ch typografick�ch pravidel

\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,enumerate,amsfonts}
\usepackage[top=1cm]{geometry} % nastaven� dan� velikosti okraj�
%\pagestyle{empty}
\newtheorem{theorem}{V\v{e}ta}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{prop}[theorem]{Tvrzen\'i}
\newtheorem{corollary}[theorem]{D\r{u}sledek}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defin}{Definice}
\newtheorem*{cviko}{Cvi\v{c}en\'i}
\newtheorem*{pozn}{Pozn\'amka}
\newtheorem*{pozns}{Pozn\'amky}
\newtheorem*{notation}{Zna\v{c}en\'i}
\newtheorem*{convention}{Úmluva}
\newtheorem*{example}{Příklad}
\newtheorem*{examples}{Příklady}
\newtheorem*{exercise}{Cvičení}

\def\ce{\mathbb C} 
\def\en{\mathbb N}
\def\qe{\mathbb Q}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\er{\mathbb R}
\def\C{\mathcal C}
\def\dom{D}
\def\rng{H}
\def\Rr{\er^*}
\def\R{\er}
\def\N{\en}
\def\P{\mathcal{P}}
\def\x{\mathbf{x}}
\def\a{\mathbf{a}}
\def\o{\mathbf{o}}
\def\y{\mathbf{y}}
\def\f{\mathbf{f}}
\def\nec{Nech\v t\ }
\def\dt{\, \mathrm{d} t}
\def \dx {\, \mathrm{d} x}
\def\dy{\, \mathrm{d} y}
\def\eqdef{\stackrel{\text{\tiny def}}{=}}
\def\Mod{\operatorname{mod}}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\def\sgn{\operatorname{sgn}}
\newcommand\lx[1][0]{\displaystyle\lim_{x\to #1}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \tg {\operatorname{tg}}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def\arccotg{\operatorname{arccotg}}
\def\st{\operatorname{st}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\def \sumad {\sum_{k=2}^\infty}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\def\C{\mathcal{C}}
\def\ov{\overline}
\def\dist{\operatorname{dist}}
\def\setsep{;\;}
\def\at{A\v{t} }
\def\ve{\varepsilon}
\def\de{\delta}
\def\Int{\operatorname{Int}}
\newcommand\ser[2]{\sum_{#1=#2}^\infty}
\newcommand\abs[1]{\left|#1\right|}
\newcommand\cbl[1]{\textbf{#1}}
\newcommand\emphdef[1]{\textbf{#1}}
\newcommand\eqc{\overset c=}
\newcommand\rint{(R)\int}
\newcommand\nint{(N)\int}
%formatovani kapitol a sekci
\titleformat{\chapter}
   {\normalfont\LARGE\bfseries}{\thechapter.}{1em}{}
\titlespacing*{\chapter}
  {0pt}{20pt}{20pt}
  \titleformat{\section}
   {\normalfont\large\bfseries}{\thesection.}{1em}{}


\newcounter{Priklad}
\addtocounter{Priklad}{1}
\newcommand{\pr}{\quad\alph{Priklad})\;\addtocounter{Priklad}{1}}
\newcommand{\resetpr}{\setcounter{Priklad}{1}}

\newcounter{prednaska}
\newcommand{\cisloPrednasky}{\addtocounter{prednaska}{1}\arabic{prednaska}}
\newcommand\konecPrednasky[1]{\bigskip
	\hfill\textbf{konec \cisloPrednasky.~přednášky (#1)}
	\bigskip}

\title{Přednáška - Kalkulus 2, MFF}  % tyto dv� polo�ky jsou zde v podstat� form�ln�, ve skute�nosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}

\chapter{Taylorův polynom - aplikace}

\section{Opakování z minulého semestru}

\begin{defin}
Nechť $f$ je funkce, $n\in\N$, $a \in \R$ a existuje vlastní $f\sp{(n)}(a)$. Pak polynom
$$
T_n^{f,a}(x)  = f(a) + f'(a)(x-a) + \dots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n
$$
nazýváme \textbf{Taylorovým polynomem řádu $n$ funkce $f$ v bodě $a$}.
\end{defin}

\begin{theorem}[Charakterizace Taylorova polynomu]\label{T:peanuv-tvar-zbytku}
Nechť $n \in \N$, $a \in \R$ a nechť má funkce~$f$ v~bodě~$a$ vlastní~$n$-tou derivaci. Potom polynom $T^{f,a}_n(x)$ je jedin\'y polynom stupn\v{e} nejv\'y\v{s}e $n$ spl\v{n}uj\'ic\'i
		\[
		\lim_{x \to a}\frac{f(x) - T^{f,a}_n(x)}{(x-a)^n} = 0.
		\]	
\end{theorem}

\begin{corollary}Nechť $n \in \N$, $a \in \R$ a nechť má funkce~$f$ v~bodě~$a$ vlastní~$n$-tou derivaci. Potom
	\[f(x) = T^{f,a}_n(x) + \omega(x)(x-a)^n,\]
	kde $\lim_{x \to a}\omega(x) = 0$.
\end{corollary}

\begin{theorem}Nechť $n \in \N$, $a \in \R$, $r > 0$ a nechť má funkce~$f$ v každém bodě intervalu $(a-r,a+r)$ vlastní derivaci řádu $(n+1)$. Pak
	\[
	\forall x\in (a-r,a+r)\colon\quad |f(x) - T^{f,a}_n(x)|\leq \frac{r^{n+1}}{(n+1)!}\sup_{|y-a|<r}|f^{(n+1)}(y)|.
	\]	
\end{theorem}

\begin{theorem}[Taylor\r{u}v polynom z\'akladn\'ich funkc\'i] Nech\v{t} $n\in\N\cup\{0\}$, pak
\[\begin{split}
	T_{n}^{\exp,0}(x) & = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\\
	T_{2n-1}^{\sin,0}(x) = T_{2n}^{\sin,0}(x) & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}\\
	T_{2n}^{\cos,0}(x) = T_{2n+1}^{\cos,0}(x) & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\\
	T_{n}^{\log,0}(x) & = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}\\
	\forall\alpha\in\er:\; T_{n}^{(1+x)^\alpha,0}(x) & = 1 + \frac{\alpha}{1!}x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^n.
\end{split}\]
\end{theorem}
\newpage

\section{Příklady}

\textbf{1. Odhadn\v{e}te absolutn\'i chybu aproximace dan\'ych funkc\'i na dan\'ych intervalech:}\\[5pt]
a) $\sin x \approx x- \frac{x^3}{6},\;x\in[-1/2,1/2]$\\[10pt]
\textbf{2. Spo\v{c}t\v{e}te $\sqrt{5}$ s p\v{r}esnost\'i $10^{-4}$}\\[10pt]
\textbf{3. Najd\v{e}te Taylor\r{u}v polynom $5$-t\'eho \v{r}\'adu v bod\v{e} 0 pro funkci $\cos(\sin x)$.}\\[10pt]
\textbf{4. Spo\v{c}t\v{e}te limitu}
	\[ \lx \frac{\cos x - e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4} \]
\textbf{5. Vy\v{s}et\v{r}ete konvergenci \v{r}ady}
\[\suma \left[\tfrac{1}{\sqrt{n}} + \log\left(\sqrt{1+\tfrac{1}{n}} - \tfrac{1}{\sqrt{n}}\right)\right]\]

\chapter{Primitivní funkce}

\begin{notation}
\nec $I$ je interval a $n\in\en$. Budeme pou\v{z}\'ivat zna\v{c}en\'i
\begin{align*}
\C(I) & : = \{f:I\to\er\setsep f\text{ je spojit\'a na }I\};\\
\C^n(I) & := \{f:I\to\er\setsep f\text{ m\'a spojitou $n$-tou derivaci na }I\}.
\end{align*}
Symbol $f\in\C([a,b])$ znamen\'a, \v{z}e interval $[a,b]$ je omezen\'y a funkce $f$ je na tomto intervalu spojit\'a.
\end{notation}

\section{Základní vlastnosti}

\begin{defin}
\label{8:D:pf-def}
Nechť funkce $f$ je definovaná na neprázdném otevřeném intervalu $I$. Řekneme, že funkce $F$ je \emphdef{primitivní funkcí k $f$ na $I$}, jestliže pro každé $x\in I$ existuje $F'(x)$ a platí $F'(x)=f(x)$.
\end{defin}

\begin{theorem}[vlastnosti primitivn\'i funkce]
\label{8:T:pm-const} Nechť funkce $F$ je primitivní funkce k funkci $f$ na neprázdném otevřeném intervalu $I$. Pak:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item $F$ je spojit\'a na $I$.
	\item Pro ka\v{z}d\'e $c\in\er$ je $F + c$ primitivní funkce k $f$ na $I$.
	\item Pokud $G$ je primitivní funkce k $f$ na $I$, pak existuje $c\in\er$ takové, že $F(x)=G(x)+c$ pro ka\v{z}d\'e $x\in I$.
\end{enumerate} 
\end{theorem}

\begin{theorem}[vztah spojitosti a existence primitivní funkce]
\label{8:T:pm-exist}
Nechť $I$ je neprázdný otevřený interval a $f\in \C(I)$. Pak $f$ má na $I$ primitivní funkci.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Darbouxova vlastnost derivace]\label{8:T:pm-darboux}
Nechť funkce $f$ má na neprázdném otevřeném intervalu $I$ primitivní funkci. Pak má $f$ na $I$ \emphdef{Darbouxovu vlastnost}, tj. $f(J)$ je interval, kdykoli $J\subset I$ je interval.
\end{theorem}

\begin{notation}
Fakt, že $F$ je primitivní funkce k $f$ na neprázdném otevřeném intervalu $I$, značíme symbolem
\[
\int f(x)\dx\eqc F(x),\quad x\in I.
\]
Symbol $\int f(x)\dx$ označuje množinu všech primitivních funkcí na k $f$ na $I$.
\end{notation}

\begin{theorem}[linearita primitivní funkce]
\label{8:T:pm-linear}
Nechť funkce $g$, $f$ maj\'i na neprázdném otevřeném intervalu $I$ primitivní funkci. Potom pro $\alpha,\beta\in\R$ je 
\[
\int \alpha f(x) + \beta g(x)\dx = \alpha\int f(x)\dx + \beta\int g(x)\dx.
\]
\end{theorem}

\begin{theorem}[první věta o substituci]\label{8:T:prvni-veta-o-subst}
Nechť $F$ je primitivní funkce k $f$ na $(a,b)$. Nechť $\varphi:(\alpha,\beta)\to (a,b)$ je funkce, která má v každém bodě $t\in (\alpha,\beta)$ vlastní derivaci. Pak
\[
\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\, dt\eqc F(\varphi(t)),\quad t\in (\alpha,\beta).
\]
\end{theorem}

\begin{theorem}[druhá věta o substituci]\label{8:T:druha-veta-o-subst}
Nechť $\varphi:(\alpha,\beta)\to (a,b)$ má v každém bodě nenulovou vlastní derivaci a $\varphi\left((\alpha,\beta)\right)=(a,b)$. Nechť $f$ je funkce definovaná na intervalu $(a,b)$ a platí
\[
\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\dt\eqc G(t),\quad t\in (\alpha,\beta).
\]
Pak
\[
\int f(x)\dx\eqc G(\varphi^{-1}(x)),\quad x\in (a,b).
\]
\end{theorem}

\begin{theorem}[integrace per partes]
\label{8:T:pm-perpartes}
Nechť $I$ je neprázdný otevřený interval a $f, g\in \C(I)$. Nechť $F$ je primitivní funkce k $f$ na $I$ a $G$ je primitivní funkce ke $g$ na $I$.
Pak platí
\[
\int g(x)F(x)\dx=G(x)F(x)-\int G(x)f(x)\dx, \quad x\in I.
\]
\end{theorem}

\begin{theorem}[lepen\'i]Nechť funkce $f$ je spojit\'a na intervalu $(a,b)$, $c\in (a,b)$ a $F$ je funkce spojit\'a v bod\v{e} $c$, spl\v{n}uj\'ic\'i $F'(x) = f(x)$ pro $x\in (a,b)\setminus\{c\}$. Pak $F$ je primitivn\'i k $f$ na $(a,b)$.
\end{theorem}

\section{Integrace racionálních funkcí}

\begin{defin}
\emphdef{Racionální funkcí} rozumíme podíl dvou polynomů, kde polynom ve jmenovateli není identicky roven nule. Racionální funkce $R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ je definovaná na libovolné podmnožině $\R$, která neobsahuje žádný kořen polynomu $Q$.
\end{defin}

\begin{theorem}[rozklad na parciální zlomky]\label{8:T:rozklad-na-parcialni-zlomky}
Nechť $P,\,Q$ jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že
\begin{itemize}
\item[(i)] $\st P < \st Q$,

\item[(ii)] $Q(x) = a_n(x-x_1)^{p_1}\dots(x-x_k)^{p_k} (x^2 + \alpha_1 x + \beta_1)^{q_1} \dots (x^2 + \alpha_lx +\beta_l)^{q_l}$,

\item[(iii)] $a_n,\,x_1,\dots,  x_k$, $\alpha_1, \dots,\alpha_l,\beta_1,\dots,\beta_l \in \R$, $a_n \not = 0$,\ $k,l\in\N\cup\{0\}$,

\item[(iv)] $p_1, \dots,p_k,\,q_1,\dots,q_l \in \N$,

\item[(v)] žádný z mnohočlenů $x^2 + \alpha_1 x + \beta_1,\, \dots, x^2 + \alpha_l x + \beta_l$ nemá reálný kořen,

\item[(vi)] žádné dva z mnohočlenů $x-x_1,\,x-x_2,\dots,x-x_k,$ nemají společný kořen.
\end{itemize}
Pak existují jednoznačně určená čísla $A^1_1,\dots,A^1_{p_1}$, $\dots, A^k_1,\dots,A^k_{p_k}$, $B^1_1,\,C^1_1,\dots$, $B^1_{q_1}$, $C^1_{q_1},\dots$, $B^l_1$, $C^l_1,\dots, B^l_{q_l},\,C^l_{q_l}$ taková, že platí
\begin{align*}
\frac{P(x)}{Q(x)}
&= \frac{A^1_1}{x-x_1} + \dots  + \frac{A^1_{p_1}}{(x-x_1)^{p_1}} \\
&+ \dots + \frac{A^k_1}{x-x_k} + \dots + \frac{A^k_{p_k}}{(x-x_k)^{p_k}} \\
&+\frac{B^1_1x+C^1_1}{x^2+\alpha_{1}x+\beta_{1}} + \dots + \frac{B^1_{q_1}x+C^1_{q_1}}{(x^2+\alpha_1x+\beta_1)^{q_1}} + \dots \\
&+\frac{B^l_1x+C^l_1}{x^2+\alpha_{l}x+\beta_{l}} + \dots + \frac{B^l_{q_l}x+C^l_{q_l}}{(x^2+\alpha_lx+\beta_l)^{q_l}}
\end{align*}
pro všechna $x\in\R$ splňující $Q(x)\neq 0$.
\end{theorem}

\begin{pozn}[postup při integraci racionální funkce] Nechť je zadána racionální funkce $R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$, kde $P$ a $Q$ jsou polynomy, $Q\not\equiv 0$. Při výpočtu primitivní funkce $\int R(x)\dx$ na libovolném intervalu $I$, který neobsahuje žádný z kořenů polynomu $Q$, pak postupujeme podle následující osnovy:
\begin{itemize}
\item[1.~krok:] vyjádříme funkci $R(x)$ ve tvaru $R(x)=P_1(x)+\frac{P_2(x)}{Q(x)}$, kde $\st P_2<\st Q$ pro všechna $x\in\R$, $Q(x)\neq0$;
\item[2.~krok:] provedeme rozklad funkce $\frac{P_2(x)}{Q(x)}$ na parciální zlomky podle Věty~\ref{8:T:rozklad-na-parcialni-zlomky};
\item[3.~krok:] integrujeme jednotlivé parciální zlomky podle následujícího návodu.
\end{itemize}

(a) Je-li
\[
I=\int \frac{A}{(x-a)^n}\dx,
\]
kde $A\in \R$ a $n\in\N$, pak
\[
I\eqc\begin{cases} \frac{1}{1-n}\frac{A}{(x-a)^{n-1}},&x\in(-\infty,a)\ \textup{nebo}\ x\in(a,\infty),\ \textup{je-li}\ n>1;\\
A\log |x-a|,&x\in(-\infty,a)\ \textup{nebo}\ x\in(a,\infty),\ \textup{je-li}\ n=1.
\end{cases}
\]

(b) Je-li
\[
I=\int\frac{Bx+C}{(x^2+\alpha x+\beta)^q}\dx,
\]
kde $q\in\N$, $\alpha,\beta\in\R$ a $\beta-\frac14\alpha^2>0$, pak nejprve vyjádříme $I$ ve tvaru
\[
I=\frac{B}{2}\int\frac{2x+\alpha}{(x^2+\alpha x+\beta)^q}\dx+(C-\frac{B\alpha}{2})\int \frac{1}{(x^2+\alpha x+\beta)^q}\dx.
\]
Označíme-li
\[
I_1= \int\frac{2x+\alpha}{(x^2+\alpha x+\beta)^q}\dx\quad \textup{a}\quad
I_2=\int \frac{1}{(x^2+\alpha x+\beta)^q}\dx,
\]
potom
\[
I_1\eqc\begin{cases}\frac{1}{(1-q)(x^2+\alpha x+\beta)^{q-1}},&x\in\R,\ \textup{je-li}\ q>1,\\
                 \log(x^2+\alpha x+\beta),&x\in\R,\ \textup{je-li}\ q=1.
\end{cases}
\]
Dále platí
\[
I_2=\int\frac{1}{((x+\frac{\alpha}{2})^2+\beta-\frac{\alpha^2}{4})^q}\dx=\frac{1}{(\beta-\frac{\alpha^2}{4})^q}
\int \frac{1}{\left[\left(\frac{2x+\alpha}{\sqrt{4\beta-\alpha^2}}\right)^2+1\right]^q}\dx.
\]
Pro výpočet posledního integrálu využijeme první větu o substituci. Položíme $\varphi(x)=\frac{2x+\alpha}{\sqrt{4\beta-\alpha^2}}$, takže $\varphi'(x)=\frac{2}{\sqrt{4\beta-\alpha^2}}$, a obdržíme
\[
\int \frac{1}{\left[\left(\frac{x+\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{\beta-\frac{\alpha^2}{4}}}\right)^2+1\right]^q}\dx=
\frac{2}{\sqrt{4\beta-\alpha^2}}\int \frac{1}{(y^2+1)^q}\,dy.
\]
Pro integr\'al $\int \frac{1}{(y^2+1)^q}\,dy$ je k dispozici rekurentn\'i vzorec z\'iskan\'y integrac\'i per partes:
\[\int \frac{1}{(y^2+1)^1}\,dy \eqc \arctg(y),\]
\[\int \frac{1}{(y^2+1)^{q+1}}\,dy = \frac{y}{2q(y^2 + 1)^q} + \frac{2q-1}{2q}\int \frac{1}{(y^2+1)^q}\,dy,\qquad q > 1.\]
\end{pozn}

\section{Některé užitečné substituce}

\begin{pozn}[racionalisace integrálů s exponenci\'alou a s logaritmem]\at $R$ je racion\'aln\'i funkce.

(a) Pro p\v{r}evod integr\'al\r{u} tvaru $\int R(e^{at})\, dt$ (kde $a\in\er\setminus\{0\}$) na integraci racionální funkce lze využít substituci $\varphi(t) = e^{at}$.

(b) Pro p\v{r}evod integr\'al\r{u} tvaru $\int \frac{R(\log t)}{t}\, dt$ na integraci racionální funkce lze využít substituci $\varphi(t) = \log t$.
\end{pozn}

\begin{notation}
Ve zbytku této kapitoly budeme symbolem $R(x,y)$ značit \emphdef{racionální funkci dvou proměnných}, tj.~$R(x,y)=\frac {P(x,y)}{Q(x,y)}$, kde
\[
P(x,y)=\sum_{i,j=0}\sp {N_1} a_{ij} x^iy^j,\quad Q(x,y)=\sum_{i,j=0}\sp {N_2} b_{ij} x^iy^j.
\]
\end{notation}

\begin{pozn}[racionalisace trigonometrických integrálů]
Pro převod integrálů tvaru $\int R(\sin t,\cos t)\, dt$ na integraci racionální funkce lze využít jedné z následujících substitucí:

(a) vždy lze užít substituci $\varphi(t)=\tg (\frac t2)$, $t\in(-\pi,\pi)$,

(b) pokud $R(a,-b)=-R(a,b)$, lze užít substituci $\varphi(t)=\sin t$, $t\in\R$,

(c) pokud $R(-a,b)=-R(a,b)$, pak lze užít substituci $\varphi(t)=\cos t$, $t\in\R$,

(d) pokud $R(-a,-b)=R(a,b)$, pak lze užít substituci $\varphi(t)=\tg t$, $t\in(-\tfrac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$.

\end{pozn}

\begin{pozn}[racionalisace integrálů s odmocninou]\label{R:integral-substituce-odmocniny}
Nechť $q\in\N$, $a,b,c,d\in\R$, $ad\neq bc$. Potom pro převod integrálů tvaru $\int R(t,(\frac {at+b}{ct+d})^{\frac1 q})\dt$, na integraci racionální funkce lze využít substituci $\varphi(t)=(\frac {at+b}{ct+d})^{\frac1 q}$.
\end{pozn}

\begin{pozn}[racionalisace integrálů tvaru $\int R(t,\sqrt{at^2+bt+c})\dt$]\label{R:integral-substituce-euler}
Nechť $a,b,c\in\R$, $a\neq 0$. Potom pro převod integrálů tvaru $\int R(t,\sqrt{at^2+bt+c})\dx$ na integraci racionální funkce rozlišujeme následující případy:

(a) Nechť má trojčlen $at^2+bt+c$ dvojnásobný reálný kořen $\alpha$ a platí $at^2+bt+c=a(t-\alpha)\sp2$. Má-li mít úloha smysl, musí platit $a>0$. Pak ale
\[
\sqrt{at^2+bt+c}=\sqrt{a}|t-\alpha|.
\]

(b) Nechť má trojčlen $at^2+bt+c$ dva různé reálné kořeny $\alpha_1,\alpha_2$, $\alpha_1<\alpha_2$ a platí $at^2+bt+c=a(t-\alpha_1)(t-\alpha_2)$. Je-li $a>0$, pak pro $t\in(-\infty,\alpha_1)$ a $t\in(\alpha_2,\infty)$ platí
\begin{align*}
\sqrt{at^2+bt+c}&=\sqrt{a(t-\alpha_1)(t-\alpha_2)}\\
&=\sqrt{a}|t-\alpha_1|\sqrt{\frac{t-\alpha_2}{t-\alpha_1}}.
\end{align*}
Je-li $a<0$, pak pro $t\in(\alpha_1,\alpha_2)$ platí
\begin{align*}
\sqrt{at^2+bt+c}&=\sqrt{(-a)(t-\alpha_1)(\alpha_2-t)}\\
&=\sqrt{-a}(t-\alpha_1)\sqrt{\frac{\alpha_2-t}{t-\alpha_1}}.
\end{align*}
V obou případech jsme tedy zadání převedli na úlohu nalézt primitivní funkci $\int R(t,(\frac {at+b}{ct+d})^{\frac1 q})\dt$, jejiž řešení již známe. Povšimněme si, že v~obou případech je splněna podmínka $ad\neq bc$, neboť v prvním případě platí $ad=-\alpha_1$ a $bc=-\alpha_2$, zatímco ve druhém případě platí $ad=\alpha_1$ a $bc=\alpha_2$.

(c) Polynom $at^2+bt+c$ nemá reálné kořeny. Má-li mít úloha smysl, musí platit $a>0$ a $c>0$. V tomto případě lze užít jednu z takzvaných \emphdef{Eulerových substitucí}
\[
\sqrt{at^2+bt+c}=\sqrt at+x \quad\textup{nebo}\quad\sqrt{at^2+bt+c}=tx+\sqrt{c}.
\]
\end{pozn}

\chapter{Newton\r{u}v a Riemannův integrál}

\section{Newton\r{u}v integrál}

\begin{defin}
Nechť $a,b\in\Rr$, $a<b$. Řekneme, že \emphdef{Newtonův integrál z funkce $f$ na intervalu $(a,b)$ existuje}, jestliže
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $f$ má na $(a,b)$ primitivní funkci (označme ji $F$),
\item[$\bullet$] existují limity $\lim_{x\to a_+}F(x)$ a $\lim_{x\to b_-} F(x)$ (nikoli nutně vlastní);
\item[$\bullet$] rozdíl těchto dvou limit je definován jako prvek množiny $\Rr$.
\end{itemize}
Hodnotou Newtonova integrálu z funkce $f$ na intervalu $(a,b)$ pak rozumíme prvek
\[
\nint_a^b f(x)\,d x=\lim_{x\to b_-} F(x)-\lim_{x\to a_+} F(x).
\]
Pokud $a>b$, pak klademe $\nint_a^b f(x)\,d x=-\int_b^a f(x)\,d x$. Pro $a\in\Rr$ definujeme  $\nint_a^a f(x)\,d x=0$.
Jestliže $\nint_a^b f(x)\,d x$ existuje vlastní, pak říkáme, že integrál je \emphdef{konvergentní}. Není-li integrál konvergentní, říkáme, že je \emphdef{divergentní}.
\end{defin}

\begin{pozn} Nechť $a,b\in\Rr$, $a<b$, a nechť $f$ je funkce definovaná na intervalu $(a,b)$. Pak nastává právě jedna z následujících možností:
\[
\nint_a^bf(x)\,d x \begin{cases}
\text{ neexistuje,}\\
\text{ existuje }
 {\begin{cases}
 =\infty, \\
 =-\infty, \\
 \in\R.
 \end{cases}}\\

\end{cases}
\]
\end{pozn}

\begin{notation}
Nechť $a,b\in\Rr$, $a<b$. Množinu všech funkcí $f:(a,b)\to \R$, které mají na intervalu $(a,b)$ konvergentní Newtonův integrál, značíme symbolem $\mathcal{N}(a,b)$.
\end{notation}

\begin{convention}
Je-li $(a,b)\subset \dom(f)$, pak symbol $f\in\mathcal{N}(a,b)$ znamená $f|_{(a,b)}\in\mathcal{N}(a,b)$.
\end{convention}

\begin{notation}
Nechť funkce $F$ je definovaná na $(a,b)$ a existují (vlastní nebo nevlastní) jednostranné limity $\lim_{x\to a+}F(x)$ a $\lim_{x\to b-}F(x)$. Potom budeme značit $F(a+)=\lim_{x\to a+}F(x)$, $F(b-)=\lim_{x\to b-}F(x)$ a $[F]_{a}\sp{b}=F(b-)-F(a+)$, pokud má rozdíl smysl. Budeme občas psát $\int$ místo $(N)\int$.
\end{notation}

\begin{example}\label{EX:ni-xalpha}
\[
\nint_0^1 x^\alpha\,d x=\begin{cases} [\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}]_0^1=\frac{1}{\alpha+1},& \alpha\in (-1,\infty)\quad \textup{(konverguje)},\\
[\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}]_0^1=\infty,& \alpha\in (-\infty,-1)\quad \textup{(diverguje)},\\
                                    [\log x]_0^1=\infty,& \alpha=-1\quad \textup{(diverguje)}.
                        \end{cases}
\]
\[
\nint_1^\infty x^\alpha\,d x=\begin{cases} [\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}]_1^\infty=\infty,& \alpha\in (-1,\infty)\quad \textup{(diverguje)},\\
[\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}]_1^\infty=\frac{-1}{\alpha+1},& \alpha\in (-\infty,-1)\quad \textup{(konverguje)},\\
                                    [\log x]_1^\infty=\infty,& \alpha=-1\quad \textup{(diverguje)}.
                        \end{cases}
\]
\end{example}

\begin{notation}
Nemůže-li dojít ke zmatení, píšeme $\int_a\sp b f$ místo $(N)\int_a\sp b f(x)\dx$.
\end{notation}

\begin{theorem}[vlastnosti Newtonova integrálu]\label{T:ni-linear}
Nechť $a,b\in\Rr$, $a<b$.

\textup{(a)} Pro $\alpha\in\er$ plat\'i n\'asledující rovnosti, pokud pravé strany rovností mají smysl
\[
\int_a^b  f+g=\int_a^b f+\int_a^b g,\quad
\int_a^b \alpha f=\alpha\int_a^bf.
\]

\textup{(b)} Jestliže $f,g\in\mathcal{N}(a,b)$ a $f\le g$, pak $\int_a^b f\le \int_a^b g$.

\textup{(c)} Jestliže  $f\in\mathcal{N}(a,b)\cap \C((a,b))$, pak $\int_a^b |f|$ existuje a $\abs{\int_a^b f}\le \int_a^b \abs{f}$.

\textup{(d)} Nechť $a,b,c\in\Rr$, $a<b<c$. Jestliže $f\in \mathcal{N}(a,c)$, pak $f\in\mathcal{N}(a,b)\cap \mathcal{N}(b,c)$ a platí
\[
\int_a^c f=\int_a^bf+\int_b^c f.
\]

\textup{(e)} Nechť $a,b,c\in\Rr$, $a<b<c$. Nech\v{t} $f$ je spojitá v $b$. Pak $f\in \mathcal{N}(a,b)\cap\mathcal{N}(b,c)\Leftrightarrow f\in\mathcal{N}(a,c)$.

\textup{(f)} \at $f\in\mathcal{N}(a,b)$. \at $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ jsou posloupnosti z $(a,b)$ spl\v{n}uj\'ic\'i $\lim a_n = a$, $\lim b_n = b$. Pak \[\int_a^b f = \lp \int_{a_n}^{b_n} f.\]

\textup{(g)} \at $f\in\mathcal{N}(a,b)$ a $m\leq f(x)\leq M$ pro $x\in [a,b]$. Pak
\[m(b-a)\leq \int_a^b f\leq M(b-a).\]

\textup{(h)} \at $f\in\mathcal{N}(a,b)$, $c\in (a,b)$. Pak $(x\mapsto \int_c^x f(t)\dt)' = f(x)$ pro $x\in(c,b)$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[per partes pro Newtonův integrál]\label{T:ni-perpartes}
Nechť $a,b\in\Rr$, $a<b$, a nechť $f$ a $g$ jsou funkce definované na $(a,b)$. Nechť $F$ je primitivní funkce k~funkci $f$ na $(a,b)$ a $G$ je primitivní funkce k~funkci $g$ na $(a,b)$. Potom platí
\[
\int_a^b Fg=[FG]_a^b-\int_a^b fG,
\]
jestliže má pravá strana smysl.
\end{theorem}

\begin{theorem}[substituce pro Newtonův integrál]\label{T:ni-subst}
Nechť $a,b,\alpha,\beta\in\Rr$, $a<b$ a $\alpha<\beta$. Nechť $f$ je funkce definovaná na $(a,b)$ a nechť $\varphi$ je funkce definovaná na $(\alpha,\beta)$. Nechť $\varphi$ má vlastní nenulovou derivaci na $(\alpha,\beta)$ a nechť platí $\varphi((\alpha,\beta))=(a,b)$. Potom
\[
\int_a^b f=\int_\alpha^\beta (f\circ \varphi)\abs{\varphi'},
\]
má-li alespoň jedna strana smysl.
\end{theorem}

\section{Riemann\r{u}v integr\'al}

\begin{defin}
Konečnou posloupnost $\{x_j\}_{j=0}^n$ nazýváme \textbf{dělením intervalu} $[a,b]$, jest\-liže platí
$$
a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b.
$$
Body $x_0,\dots,x_n$ nazýváme \textbf{dělícími body}.
\textbf{Normou dělení} $D = \{x_j\}_{j=0}^{n}$ rozumíme číslo
$$
\nu(D) = \max\{x_j - x_{j-1};\, j = 1, \dots,n\}.
$$
\end{defin}

\begin{defin}
Nechť $f$ je omezená funkce definovaná na intervalu $[a,b]$ a $D = \{x_j\}_{j=0}^n$ je dělení $[a,b]$. Označme
\begin{align*}
\overline{S}(f,D) &= \sum_{j=1}^n M_j(x_j-x_{j-1}),  \text { kde } M_j = \sup \{f(x); x \in [ x_{j-1},x_j ]\},   \\
\underline{S}(f,D) &= \sum_{j=1}^n m_j(x_j-x_{j-1}), \text { kde } m_j = \inf \{f(x); x \in [ x_{j-1},x_j ]\},
\end{align*}
\begin{align*}
\overline{\int_a^b} f(x) \dx &= \inf \{\overline{S}(f,D);\ D \text{ je dělením intervalu } [a,b]\},  \\
\underline{\int_a^b} f(x) \dx  &= \sup \{\underline{S}(f,D);\ D \text{ je dělením intervalu } [a,b]\}.
\end{align*}
\end{defin}

\begin{defin}
Řekneme, že omezená funkce $f$ na intervalu $[a,b]$, $a < b$, má \textbf{Riemannův integrál od $a$ do $b$},
pokud $\overline{\int_a^b} f(x) \dx = \underline{\int_a^b} f(x) \dx$.
Hodnota integrálu $f$ od $a$ do $b$ je rovna
této společné hodnotě.
Značíme ji $(R)\int_a^b f$. Nemůže-li dojít ke zmatení, píšeme $\int_a\sp b f$ místo $(R)\int_a\sp b f(x)\dx$. Jestliže $a > b$, definujeme $\int_a^b f(x) \dx  = -\int_b^a f(x) \dx$. V~případě, že $a=b$,
definujeme $\int_a^b f(x) \dx = 0$.
\end{defin}

\begin{pozn}Nechť $f$ je omezená funkce definovaná na intervalu $[a,b]$, kter\'a m\'a Riemannův integrál od $a$ do $b$. Pak hodnotu integr\'alu m\r{u}\v{z}eme ur\v{c}it n\'asleduj\'ic\'im zp\r{u}sobem.
\begin{itemize}
			\item pro ka\v{z}d\'e $n\in\en$ zvol\'ime d\v{e}len\'i $D_n = \{x_{n,k}\}_{k=1}^{k_n}$ tak, \v{z}e $\lp \nu(D_n) = 0$;
			\item pro ka\v{z}d\'e $n\in\en$ a $i\in\{1,\ldots k_n\}$ zvol\'ime $c_{n,i}\in [x_{n,i-1},x_{n,i}]$;
		\end{itemize}
		Pak $\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{k_n} f(c_{n,i})(x_{n,i} - x_{n,i-1}) = \int_a^b f(x) \dx$.
\end{pozn}

\begin{defin}
Nechť $a,b \in \R$.
Množinu všech funkcí, které mají Riemannův integrál od $a$ do $b$, značíme $\mathcal R([a,b])$. Pokud $[a,b]\subset \dom(f)$, potom symbol $f\in\mathcal{R}([a,b])$ znamená, že $f|_{[a,b]}\in\mathcal{R}([a,b])$.
\end{defin}

\begin{examples}
(a) Existuje funkce, kter\'a je Riemannovsky integrovateln\'a, ale nen\'i Newtonovsky integrovateln\'a (nap\v{r}\'iklad $|\sgn x|$ na intervalu $[-1,1]$).

(b) Existuje funkce, kter\'a je Newtonovsky integrovateln\'a, ale nen\'i Riemannovsky integrovateln\'a (nap\v{r}\'iklad $\frac{1}{\sqrt{x}}$ na intervalu $(0,1)$ dodefinovan\'a libovolnou hodnotou v bod\v{e} $0$).
\end{examples}

\begin{theorem}[spojitost a riemann\r{u}v integr\'al]
\label{T:spojita-ma-riemannuv-integral}
Nechť $f\in\C([a,b])$. Potom $f\in\mathcal{R}([a,b])$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[vztah Riemannova a Newtonova integrálu]\label{T:ni-r=n}
Nechť $a,b\in\R$, $a<b$, a nechť $f\in\mathcal{R}([a,b])\cap \mathcal{N}(a,b)$. Potom
\[
\rint_a^b f(x)\,d x=\nint_a^b f(x)\,d x.
\]
\end{theorem}

\begin{corollary}[spojitost a existence Riemannova a Newtonova integrálu]\label{C:ni-r=nspoj}
Nechť $f\in\C([a,b])$. Potom $f\in\mathcal{R}([a,b])\cap \mathcal{N}(a,b)$ a
\[
\rint_a^b f(x)\,d x=\nint_a^b f(x)\,d x.
\]
\end{corollary}

\section{Konvergence Newtonova integrálu}

\begin{theorem}[Bolzanova-Cauchyova podmínka pro funkce]\label{T:fce-bc}
Nechť $a\in\Rr$ a nechť $\delta_0>0$. Nechť funkce $f$ je definována na $P(a,\delta_0)$. Potom existuje vlastní $\lim_{x\to a}f(x)$ právě tehdy, když je splněna následující \textup{\textbf{Bolzanova--Cauchyova podmínka}}:
\[
\forall \ve>0\ \exists \delta>0\ \forall x,y\in P(a,\delta)\colon |f(x)-f(y)|<\ve.
\]
\end{theorem}

\begin{corollary}[Bolzanova-Cauchyova podmínka pro integr\'al]\label{T:ni-bc}
Nechť $f\in \C([a,b))$. Pak $f\in\mathcal{N}(a,b)$ pr\'av\v{e} tehdy, kdy\v{z} plat\'i
\[\forall \varepsilon > 0\; \exists b'\in (a,b)\; \forall x_1,x_2\in(b',b):\left|\int_{x_1}^{x_2} f\right| < \varepsilon.\]
\end{corollary}

\begin{pozn}Tvrzen\'i D\r{u}sledku~\ref{T:ni-bc} platí s příslušnými úpravami i pro intervaly typu $(a,b]$.
\end{pozn}

\begin{theorem}[vztah spojitosti a konvergence Newtonova integrálu]\label{T:ni-existspoj}
Nechť $a,b\in\er$ a $f\in\C((a,b))$ je omezená. Potom $f\in\mathcal{N}(a,b)$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[srovnávací kritérium pro konvergenci Newtonova integrálu]\label{T:ni-srov}
Nechť $a\in\R$, $b\in\Rr$ a nechť $a<b$. Nechť funkce $f,g:[a,b)\to\R$ splňují $0\le f(x)\le g(x)$ pro každé $x\in[a,b)$. Nechť je $f\in \C([a,b))$ a $g\in\mathcal{N}(a,b)$. Potom $f\in\mathcal{N}(a,b)$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[limitní srovnávací kritérium pro konvergenci Newtonova integrálu]
\label{T:ni-limsrov}
Nechť $a\in\R$, $b\in\Rr$, $a<b$. Nechť $f,g$ jsou spojité nezáporné funkce na $[a,b)$.
Jestliže $\lim_{x\to b_-} \frac{f(x)}{g(x)}\in (0,\infty)$, pak $f\in\mathcal{N}(a,b)$ právě tehdy, když $g\in\mathcal{N}(a,b)$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[vztah absolutní konvergence a konvergence Newtonova integrálu]\label{T:absolutni-konvergence-a-konvergence-newtonova-integralu}
Nechť $a,b\in\Rr$, $a<b$, a nechť je d\'ana funkce $f\in\C((a,b))$ splňující $|f|\in\mathcal{N}(a,b)$. Potom $f\in\mathcal{N}(a,b)$.
\end{theorem}

\begin{pozn}
Tvrzení Vět~\ref{T:ni-srov} a~\ref{T:ni-limsrov} platí s příslušnými úpravami i pro intervaly typu $(a,b]$.
\end{pozn}

\begin{theorem}[Abelovo-Dirichletovo kritérium konvergence Newtonova integrálu]
\label{T:ni-da}
Nechť $a\in\R$, $b\in\Rr$, $a<b$. Nechť $f, g\in\C([a,b))$ a $g$ je monotónní na $[a,b)$. Nechť $F$ je primitivní funkce k funkci $f$ na $(a,b)$.

\textup{(a)} Jestliže $f\in\mathcal{N}(a,b)$ a $g$ je omezená na $[a,b)$, potom $fg\in\mathcal{N}(a,b)$.

\textup{(b)} Jestliže $F$ je omezená na $(a,b)$ a $\lim_{x\to b_-} g(x)=0$, potom $fg\in\mathcal{N}(a,b)$.
\end{theorem}

\begin{pozn}
Tvrzení Věty~\ref{T:ni-da} platí s příslušnými úpravami i pro intervaly typu $(a,b]$.
\end{pozn}

\chapter{Pou\v{z}it\'i určitého integrálu}

\section{Aplikace v matematick\'e anal\'yze}

\begin{theorem}[integrální kritérium konvergence řad]
Nechť $n_0\in\en$ a $f\in\C([n_0,+\infty))$ je nezáporná a  nerostoucí. Pak $\int_{n_0}^{\infty} f(x) \dx$ konverguje právě tehdy, když $\sum_{n=n_0}^{\infty}f(n)$ konverguje.
\end{theorem}

\section{Pou\v{z}it\'i v geometrii}

\subsection{Obsah rovinn\'ych obrazc\r{u}}

	\begin{enumerate}[(a)]
		\item \textbf{Obsah podgrafu spojit\'e funkce}\\ \emph{Nech\v{t} $f\in\C([a,b])$, $f\geq 0$. Pak obsah podgrafu $f$ je roven \v{c}\'islu $\int_a^b f(x)\dx$.} P\v{r}esn\v{e}ji,
		\[
			\operatorname{obsah}\Big(\big\{(x,y)\setsep x\in[a,b], 0\leq y \leq f(x)\big\}\Big) = \int_a^b f(x)\dx.
		\]
		\item \textbf{Obsah mno\v{z}iny vytvo\v{r}en\'e grafy funkc\'i}\\
		\emph{Nech\v{t} $f, g\in\C([a,b])$. Pak obsah mno\v{z}iny bod\r{u} le\v{z}\'ic\'ich mezi grafy funkc\'i $f$ a $g$ je roven \v{c}\'islu $\int_a^b |g(x) - f(x)|\,\dx$.} P\v{r}esn\v{e}ji,
		\[
			\operatorname{obsah}\Big(\big\{(x,y)\setsep x\in[a,b], f(x)\leq y \leq g(x)\text{ nebo }g(x)\leq y\leq f(x)\big\}\Big) = \int_a^b |g(x) - f(x)|\dx.
		\]
		\begin{example}Vypo\v{c}t\v{e}te obsah plochy ohrani\v{c}en\'e grafy funkcí $f(x)=x^2$ a $g(x)=\sqrt{x}$ pro $x\in[0,1]$
		\\ \emph{Řešení: $\tfrac{1}{3}$}
		\end{example}		
		\item \textbf{Obsah mno\v{z}iny vytvo\v{r}en\'e parametricky zadan\'ymi k\v{r}ivkami}\\
		\emph{Mějme parametricky zadanou křivku funkcemi $x=\varphi(t)$, $y=\psi(t)$ na intervalu $[a,b]$. Pak integrál
		$$
			\Big|\int_a^b \psi(t) \varphi'(t)\dt\Big|
		$$
		vyjadřuje obsah množiny bodů ležících pod k\v{r}ivkou.}

		Přesněji, nech\v{t} $\varphi, \psi\in\C([a,b])$, $\psi\geq 0$ a nech\v{t} funkce $\varphi$ m\'a vlastn\'i nenulovou derivaci v ka\v{z}d\'em bod\v{e} $(a,b)$. Pak
		\[
			 \operatorname{obsah}\Big(\big\{(\varphi(t),y)\setsep 0\leq y\leq \psi(t), t\in[a,b]\big\}\Big)= \Big|\int_a^b \psi(t) \varphi'(t)\dt\Big| = \int_a^b \psi(t) |\varphi'(t)|\dt.
		\]
		\begin{example}Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného osou $x$ a křivkou zadanou parametrickými rovnicemi $x=2\sin t$, $y=2\cos t$, $t\in[0,\pi]$.\\ \emph{Řešení: $2\pi$}
		\end{example}		
	\end{enumerate}

\subsection{Objem t\v{e}les}

\begin{enumerate}[(a)]
		\item \textbf{Objem rota\v{c}n\'iho t\v{e}lesa}\\ \emph{Nechť $f\in\C([a,b])$ a těleso vzniklo rotací grafu funkce $f$ na intervalu $(a,b)$ kolem osy $x$. Pak jeho objem je dán vzorcem
	$$
	\pi\int_a^b f^2(x)\dx \,.
	$$}
	
		Přesněji,
		\[
			\operatorname{objem}\bigg(\Big\{(x,y,z)\setsep x \in [a,b],\ \sqrt {y^2 + z^2} \leq |f(x)|\Big\}\bigg) = \pi \int_a^b f(x)^2 \dx.
		\]
		\begin{example}Vypočtěte objem rotačního tělesa vzniklého rotací grafu funkce $f(x) = \sqrt{9-x^2}$ na intervalu $[-3,3]$ kolem osy $x$.\\ \emph{Řešení: $36\pi$}
		\end{example}		
		\begin{example}Vypočtěte objem kužele o poloměru podstavy $2$ a výšce $3$.\\ \emph{Řešení: $4\pi$ (rotace funkce $f(x) = \tfrac{2}{3}x$)}
		\end{example}
		\emph{Je-li graf funkce zadán parametricky ($x=\varphi(t),y=\psi(t)$, $t\in[a,b]$), použije se vzorec
	$$
	\pi\Big|\int_a^b \psi^2(t) \varphi'(t)\dt\Big|\,.
	$$}
		Přesněji, nechť $\varphi, \psi\in\C([a,b])$ a funkce $\varphi$ m\'a vlastn\'i nenulovou derivaci v ka\v{z}d\'em bod\v{e} $(a,b)$, pak
		\[
			\operatorname{objem}\bigg(\Big\{(\varphi(t),y,z)\setsep t \in [a,b],\ \sqrt {y^2 + z^2} \leq |\psi(t)|\Big\}\bigg) = \pi\Big|\int_a^b \psi^2(t) \varphi'(t)\dt\Big|\,.
		\]		
		\begin{example}Vypočtěte objem koule o poloměru $r > 0$.\\ \emph{Řešení: $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ (dvakr\'at rotace grafu $x(t) = r\sin t$, $y=r\cos t$, $t\in[0,\pi/2]$)}
		\end{example}
\end{enumerate}
		
\subsection{Délka křivek}

\begin{defin}
Nechť $n \in \N$, $a,b \in \R$, $a<b$. \textbf{Křivkou} budeme rozumět zobrazení $\varphi:[a,b] \to \R^n$ takové, že $\varphi = (\varphi_1,\dots,\varphi_n)$ je \textbf{třídy $\mathcal C^1$}, tj. $\varphi_i'\in\C^1([a,b])$ pro $i = 1, \dots, n$.
\end{defin}

\begin{defin}Pro $x, y\in\er^n$ definujeme \emphdef{vzd\'alenost mezi $x$ a $y$} jako $\|x - y\|=\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^ 2}$.
\end{defin}

\begin{defin}
Nechť $\varphi \colon [a,b] \to \R^n$ je křivka. \textbf{Délkou křivky} $\varphi$ rozumíme hodnotu
$$
L(\varphi) = \sup\{L(\varphi,D);\ D \mbox{ je dělení intervalu } [a,b]\},
$$
kde pro dělení $D = \{x_j\}_{j=0}^k$ intervalu $[a,b]$ definujeme
$$
L(\varphi,D) = \sum_{j=1}^k \|\varphi(x_{j-1}) - \varphi(x_j)\|.
$$
\end{defin}

\begin{theorem}[délka křivky]\label{T:delka-krivky}
Nechť $\varphi = (\varphi_1,\dots,\varphi_n): [a,b] \to \R^n$ je křivka. Potom platí
$$
L(\varphi)= \int_a^b \sqrt{\varphi_1'(t)^2 + \dots +  \varphi_n'(t)^2}\dt.
$$
\end{theorem}

\begin{pozns}\
	\begin{itemize}
		\item Pokud $f\in\C^1([a,b])$, pak dost\'av\'ame
		$$\text{d\'elka grafu funkce $f$} = \int_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2} \dx.$$
		\begin{example}Spo\v{c}t\v{e}te d\'elku k\v{r}ivky $y=\arcsin x + \sqrt{1-x^2}, x\in (-1,1)$.\\ \emph{Řešení: $4$}
		\end{example}
		\item Pokud je k\v{r}ivka zadan\'a pol\'arn\v{e}, tj. $x = r(t)\cos t$, $y = r(t)\sin t$ pro $t\in (\alpha,\beta)$ a $r\in\C^1([\alpha,\beta])$, pak d\'elka k\v{r}ivky se spo\v{c}te jako
		$$\int\limits_\alpha^\beta\sqrt{r(t)^2+r'(t)^2}\dt.$$
		\begin{example}Odvoďte vztah pro délku kružnice.\\ \emph{Řešení: $2\pi R$ (délka křivky $x=R\cos t$, $y=R\sin t$, $t\in (0,2\pi)$)}
		\end{example}
	\end{itemize}
\end{pozns}

\subsection{Povrch rotačního tělesa}

Definovat povrch t\v{e}lesa je pom\v{e}rn\v{e} slo\v{z}it\'e a v tomto kursu to d\v{e}lat nebudeme. Heuristick\'e \'uvahy n\'as mohou dov\'est k tomu, jak\'y vzorec by m\v{e}l platit pro povrch rota\v{c}n\'ich t\v{e}les. Tento vzorec v tomto kursu pou\v{z}ijeme jako definici.

\begin{defin}[povrch pláště rotačního tělesa]
Nechť $f\in\C^1([a,b])$. Označme
$T = \{(x,y,z)\setsep x \in [a,b],\ \sqrt {y^2 + z^2} \leq |f(x)|\}$. Pak
$$\text{povrch pláště} \, (T) := 2\pi \int_a^b |f(x)| \sqrt {1 + (f'(x))^2}\dx.$$
\end{defin}

\begin{example}Nalezněte povrch rotačního tělesa vzniklého rotací křivky $y=x^3$, $|x|\leq 1$ kolem osy $x$.\\ \emph{Řešení: $\tfrac{2}{27}\pi(10^{3/2}-1)$}
\end{example}

\begin{defin}[povrch pláště rotačního tělesa parametricky zadan\'e funkce]
Nechť $\varphi, \psi\in\C^1([a,b])$ a derivace funkce $\varphi$ je nenulov\'a na $[a,b]$. Pak
$$\text{povrch pláště} \, \bigg(\Big\{(\varphi(t),y,z)\setsep t \in [a,b],\ \sqrt {y^2 + z^2} \leq |\psi(t)|\Big\}\bigg) := 2\pi \int_a^b |\psi(t)| \sqrt {\varphi'(t)^2 + \psi'(t)^2}\dt.$$
\end{defin}

\begin{pozn}Pokud je k\v{r}ivka zadan\'a pol\'arn\v{e}, tj. $x = r(t)\cos t$, $y = r(t)\sin t$ pro $t\in (\alpha,\beta)\subset (0,2\pi)$ a $r\in\C^1([\alpha,\beta])$, pak se povrch pl\'a\v{s}t\v{e} t\v{e}lesa $\{(r(t)\cos t,y,z)\setsep t \in [a,b],\ \sqrt {y^2 + z^2} \leq |r(t)\sin t|\}$ spo\v{c}te jako
 $$
 2\pi\int_\alpha^\beta |r(t)\sin(t)|\sqrt{r(t)^2+r'(t)^2}
  \dt\,.
 $$
\end{pozn}

\begin{example}Odvoďte vztah pro povrch koule.\\ \emph{Řešení: $4\pi R^2$ (dvakrát $x=R\cos t$, $y=R\sin t$, $t\in (0,\pi/2)$)}
\end{example}


\section{Použití ve fyzice}

\subsection{Pohyb}

Jestliže se bod pohybuje po přímce (např. po ose $x$) a značí-li $s(t)$ souřadnici bodu v čase $t$, je $s'(t)$ okamžitá rychlost
 $v(t)$ v čase $t$ a $v'(t)=s''(t)$ okamžité zrychlení v čase $t$.

\subsubsection{Zm\v{e}na polohy a ujet\'a vzd\'alenost}

 Je-li dána závislost rychlosti na čase funkcí $v(t)$, není
 $$
 \int_a^b v(t) \dt =s(b)-s(a)
 $$
 ujetá vzdálenost, ale změna polohy pohybujícího se bodu.
 Ujetá délka cesty od okamžiku $t=a$ do okamžiku $t=b$ se spočte jako 
 $$
 \int_a^b |v(t)| \dt\,.
 $$

\begin{example}Vypočítejte dráhu dešťové kapky za prvních $6$ sekund, kde okamžitá rychlost (v metrech za sekundu) kapky je dána vzorcem $v(t) = g.t$, kde $g=9.81$.\\ \emph{Řešení: $176.58$ metrů ($176.58 = 9.81\cdot 18$)}
\end{example}

\subsection{T\v{e}\v{z}i\v{s}t\v{e} desky}

\subsubsection{Hmotnost desky}

Je-li deska množinou bodů ležících mezi grafy dvou funkcí ($\{(x,y); x\in (a,b),g(x)\le y\le f(x)\}$) a hustota je dána funkcí $h(x,y)$, pak hmotnost $M$ je d\'ana vzorcem
$$
 M=\int_a^b\Big( \int_{g(x)}^{f(x)} h(x,y)\dy \Big)\dx\,.
$$

\subsubsection{Momenty desky}

M\'ame--li desku jako v\'y\v{s}e, pak momenty desky $M_x$, $M_y$ vzhledem k osám $x$, $y$ jsou d\'any vzorcem
 $$
 M_x=\int_a^b\Big( \int_{g(x)}^{f(x)} y h(x,y)\dy \Big)\dx\,,\quad
 M_y=\int_a^b\Big( \int_{g(x)}^{f(x)} x h(x,y)\dy \Big)\dx\,.
 $$

\subsubsection{T\v{e}\v{z}i\v{s}t\v{e} desky} 
T\v{e}\v{z}i\v{s}t\v{e} $(T_x,T_y)$ desky s hmotnost\'i $M$ a s momenty $(M_x,M_y)$ je d\'ano vzorcem
$$T_x := \frac{M_y}{M},\qquad T_y := \frac{M_x}{M}.$$

\begin{example}Vypočtěte souřadnice těžiště rovinného útvaru konstantní hustoty, který je ohraničen grafy funkcí $f(x)=4x^2$ a $g(x)=0$, $x\in [0,4]$.\\ \emph{Řešení: $T = (3,\tfrac{96}{5})$}
\end{example}

\subsection{Pr\'ace}

Nechť ve směru osy $x$ působí síla velikosti $F(x)$ v bodě $x$. Celková práce vykonaná na intervalu $[a,b]$ působením této síly je d\'ana vzorcem
 $$
 W=\int_a^b F(x)\dx\,.
 $$

\begin{example}Přímočarý pohyb tělesa je daný funkcí $s=t^3$, kde $s(t)$ je délka dráhy za čas $t$. Velikost odporové síly prostředí je $F_o(v) = 2v^2$. Vypočítejte práci, kterou vykonají odporové síly, pokud těleso projde dráhu od $s=0$ do $s=8$.\\ \emph{N\'avod:} Platí, že $v(t) = s'(t) = 3t^2$, a tedy $F_o(v(t)) = 18t^4$. T\v{e}leso se pohybuje od času $t_1=0$ do času $t_2=2$. Pr\'ace odporov\'ych sil je $W = \int_0^8 F(s) \, \mathrm{d} s\, = \int_0^2 F(s(t))s'(t) \, \mathrm{d} t\, = \int_0^2 18t^4\cdot 3t^2 \, \mathrm{d} t\, = \frac{54}{7}[t^7]_0^2 = 2^7\frac{54}{7}$.
\end{example}

\section{Použití v ekonomii}

\subsection{Celkov\'y p\v{r}\'ijem}

Pokud je renta (zisk z dodate\v{c}n\'e jednotky) d\'ana funkc\'i $f(t)$, pak celkov\'y p\v{r}\'ijem za obdob\'i $(t_1,t_2)$ je ur\v{c}en vzorcem
\[
	TR = \int_{t_1}^{t_2} f(t)  \, \mathrm{d} t.
\]

\begin{example}V\'y\v{s}ka renty je d\'ana funkc\'i $f(t) = 100 e^{-t}$, kde symbolem $t$ označujeme roky. Vypočtěte celkový příjem za období od druhého do pátého roku.\\ \emph{Řešení: $TR = \int_2^5 100 e^{-t} \, \mathrm{d} t = 100 e^{-2} - 100 e^{-5} \simeq 13$.}
\end{example}


%
\chapter{Diferenciální rovnice}

\begin{defin}\emphdef{Diferenciální rovnicí} rozum\'ime rovnici tvaru
 \begin{equation}\label{eq:difRov}
 F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0\,,
 \end{equation}
kde $F$ je re\'aln\'a funkce $n+2$ proměnných. \emphdef{Řád diferenciální rovnice} \eqref{eq:difRov} je nejvyšší řád derivace funkce $y$ vyskytující se v \eqref{eq:difRov}.
 
 \emphdef{Řešením diferenciální rovnice} \eqref{eq:difRov} rozum\'ime funkci $y$ definovanou na n\v{e}jak\'em nepr\'azdn\'em otev\v{r}en\'em intervalu $I$, která má v ka\v{z}d\'em bod\v{e} intervalu $I$ vlastn\'i $n$-tou derivaci a jejíž hodnoty spolu s hodnotami derivací splňují rovnici \eqref{eq:difRov} v každém bodě intervalu $I$, tj. pro každé $x\in I$ platí
	\[F\Big(x,y(x),y'(x),y''(x),...,y^{(n)}(x)\Big)=0.\]
 \end{defin}

\begin{defin}Je-li funkce $y$ řešením rovnice \eqref{eq:difRov} na intervalu $I$ a funkce $\tilde{y}$ \v{r}ešením rovnice \eqref{eq:difRov} na intervalu $\tilde{I}$, kde $I\subset \tilde{I}$, $I\neq \tilde{I}$ a
$y(x) = \tilde{y}(x)$ pro všechna $x\in I$ , pak říkáme, že řešení $\tilde{y}$ je \emphdef{prodloužením řešení} $y$ na interval $\tilde{I}$.

\v{R}ešení rovnice \eqref{eq:difRov}, které nemá prodloužení, nazýváme \emphdef{maximálním \v{r}ešením} rovnice \eqref{eq:difRov}. \emphdef{Obecn\'ym \v{r}e\v{s}en\'im} rozum\'ime mno\v{z}inu v\v{s}ech maxim\'alm\'ich \v{r}e\v{s}en\'i. Maxim\'aln\'imu \v{r}e\v{s}en\'i n\v{e}kdy tak\'e \v{r}\'ik\'ame \emphdef{partikul\'arn\'i \v{r}e\v{s}en\'i}.
\end{defin}

\begin{defin}Rovnice tvaru
	\[y^{(n)} = f(x,y,y',y'',...,y^{(n-1)}),\]
	kde $f$ je re\'aln\'a funkce $n+1$ proměnných, se naz\'yv\'a \emphdef{diferenciální rovnice ($n$-tého řádu) vyřešená vzhledem k nejvyšší derivaci}.
\end{defin}

\section{Obyčejné diferenciální rovnice prvn\'iho řádu}

\subsubsection{Rovnice se separovanými proměnnými}

\begin{defin}[Rovnice se separovanými proměnnými]\emphdef{Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými} je rovnice tvaru
 \begin{equation}\label{eq:sep}
		y' = g(y)h(x).
	\end{equation}
\end{defin}

Metoda \v{r}e\v{s}en\'i pro $g$, $h$ spojit\'e na sv\'ych defini\v{c}n\'ich oborech.

\begin{enumerate}[(a)]
	\item  Určíme maximální otevřené intervaly obsažené v definicním oboru funkce $h$. (Tím máme vymezeny maximální intervaly, na kterých m\r{u}žeme hledat \v{r}ešení.)
	\item Najdeme všechny nulové body funkce $g$. Je-li $g(c) = 0$, pak na každém intervalu z 1. kroku je funkce $y(x) = c$ tzv. \emphdef{singulárním} (též \emphdef{stacionárním}) \v{r}ešením rovnice \eqref{eq:sep}.
	\item Ur\v{c}íme maximální otev\v{r}ené intervaly, na kterých je funkce $g$ nenulová.
	\item Vezmeme interval $I$ z 1. kroku a interval $J$ ze 3. kroku. Tedy $h$ je na I spojitá a g je na J spojitá a nenulová. Budeme hledat \v{r}ešení rovnice \eqref{eq:sep}, jejichž defini\v{c}ní obor je obsažen v intervalu $I$ a mají hodnoty v intervalu $J$. Je-li $y$ takové \v{r}ešení, pak pro každé $x\in \dom(y)$ platí
 \[
		\frac{y'(x)}{g(y(x))} = h(x).
	\]
Nech\v{t} $H$ je primitivní funkce k funkci $h$ na intervalu $I$ a $G$ je primitivní funkce k funkci $1/g$ na $J$ . Potom existuje konstanta $C\in \er$ taková, že platí
	\[
		G(y(x)) = H(x) + C
	\]
na defini\v{c}ním oboru \v{r}ešení $y$, který nalezneme v následujícím kroku.
	\item Nyní zafixujeme $C$ a nalezneme maximální neprázdné otev\v{r}ené intervaly obsažené v množin\v{e}
\[
	\{x\in I\setsep H(x) + C\in G(J)\}.
\]
Na každém z t\v{e}chto interval\r{u} \v{r}ešení musí mít tvar
\[
	y(x) = G^{-1}(H(x) + C),
\]
kde $G^{-1}$ zna\v{c}í funkci inverzní k funkci $G$. Ta existuje, nebo\v{t} $G$ je na intervalu $J$ bu\v{d} rostoucí nebo klesající.
	\item Z \v{r}ešení nalezených v 5. kroku a singulárních řešení z 2. kroku \uv{slepíme} všechna maximální řešení rovnice \eqref{eq:sep}. Nech\v{t}
$y_1$ a $y_2$ jsou řešení rovnice \eqref{eq:sep}, první na intervalu $(a,b)$ a druhé na intervalu $(b,c)$, přicemž $b\in\dom(h)$. Předpokládejme, že
	\[
		\lim_{x\to b-}y_1(x) = \lim_{x\to b+}y_2(x) = \alpha\in\dom(g).
	\]
Pak funkce
	\[
		y(x) = \begin{cases}
			y_1(x),\quad x\in(a,b);\\
			\alpha,\quad x = b;\\
			y_2(x),\quad x\in(b,c);\\
		\end{cases}
	\]
je řešením rovnice \eqref{eq:sep} na intervalu $(a,c)$.
\end{enumerate}

\subsubsection{Homogenn\'i rovnice}

\begin{defin}[Homogenn\'i rovnice]\emphdef{Homogen\'i diferenci\'aln\'i rovnice 1. \v{r}\'adu} se naz\'yv\'a rovnice tvaru $y' = f(x,y)$, kde pro ka\v{z}d\'e $\lambda\neq 0$ m\'ame $f(x,y) = f(\lambda x,\lambda y)$.
\end{defin}

Metoda převodu homogenní rovnice na rovnici se separovanými proměnnými.

\begin{enumerate}[(a)]
	\item Definujme pro $x\neq 0$ funkci $z(x) = \frac{y(x)}{x}$. Pak pro $x\neq 0$ m\'ame
	\begin{align*}
		y(x) & = xz(x),\\
		y'(x) & = xz'(x) + z(x).
	\end{align*}
		Rovnice tak p\v{r}ech\'az\'i na $xz' + z = f(x,xz) = f(1,z)$, tj.
		\[
			z' = \frac{1}{x}\left(f(1,z) - z\right),
		\]
		co\v{z} je rovnice se separovan\'ymi prom\v{e}nn\'ymi.
		\item Vy\v{r}e\v{s}\'ime rovnici se separovan\'ymi prom\v{e}nn\'ymi na otev\v{r}en\'ych podintervalech $(-\infty,0)$ a $(0,\infty)$. Pak polo\v{z}\'ime $y(x) = x\cdot z(x)$.
		\item Proto\v{z}e jsme na za\v{c}\'atku vylou\v{c}ili p\v{r}\'ipad $x=0$, je pot\v{r}eba na z\'av\v{e}r ov\v{e}\v{r}it, zda nalezen\'a \v{r}e\v{s}en\'i m\r{u}\v{z}eme prodlou\v{z}it do po\v{c}\'atku.
\end{enumerate}

\subsubsection{Line\'arn\'i rovnice 1. \v{r}\'adu}

\begin{defin}[Line\'arn\'i rovnice]\emphdef{Lineární diferenciální rovnicí prvního řádu} rozumíme rovnici tvaru
\begin{equation}\label{eq:linRadJedna}
	y' + p(x)y = q(x),
\end{equation}
kde $p$, $q$ jsou funkce definovan\'e na intervalu $(a,b)$. Je-li $q = 0$, naz\'yv\'a se rovnice \emphdef{homogenn\'i}, v opa\v{c}n\'em p\v{r}\'ipad\v{e} \emphdef{nehomogenn\'i}.
\end{defin}

Metoda \v{r}e\v{s}en\'i pro $p$, $q$ spojit\'e na sv\'ych defini\v{c}n\'ich oborech.

\begin{enumerate}[(a)]
	\item Obecn\'e \v{r}e\v{s}en\'i homogenn\'i rovnice je tvořeno funkcemi
	\[y(x) = Ke^{-P(x)},\quad x\in (a,b), K\in\er,\]
	kde $P$ je primitivn\'i funkce k $p$ na intervalu $(a,b)$.
	\item Obecn\'e \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadJedna} je tvořeno funkcemi
		\[
			y(x) = \left(\int_{x_0}^x q(t)e^{P(t)} \dt\right)e^{-P(x)} + Ke^{-P(x)},\quad x\in (a,b),\; K\in\er,
		\]
		kde $x_0\in(a,b)$ a $P$ je primitivn\'i funkce k $p$ na intervalu $(a,b)$.
		\item Maxim\'aln\'i \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadJedna} spl\v{n}uj\'ic\'i \emphdef{po\v{c}\'ate\v{c}n\'i podm\'inku} $y(x_0) = y_0$ je
		\[
			y(x) = \left(\int_{x_0}^x q(t)e^{P(t)} \dt\right)e^{-P(x)} + y_0e^{-P(x)},\quad x\in (a,b),
		\]
		kde $P(x_0) = 0$, tj. $P(x) = \int_{x_0}^x p(t) \dt$. \end{enumerate}
		
\begin{pozn}
Pro ka\v{z}d\'e $x_0\in (a,b)$ a ka\v{z}d\'e $y_0\in\er$ existuje pr\'av\v{e} jedno maxim\'aln\'i \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadJedna}, kter\'e spl\v{n}uje podm\'inku $y(x_0) = y_0$. Toto \v{r}e\v{s}en\'i je nav\'ic definov\'ano na cel\'em $(a,b)$.
\end{pozn}

\section{Obyčejné diferenciální rovnice druh\'eho řádu}

\subsubsection{Line\'arn\'i rovnice 2. \v{r}\'adu}

\begin{defin}[Line\'arn\'i rovnice 2. řádu]\emphdef{Lineární diferenciální rovnicí druhého řádu} rozumíme rovnici tvaru
\begin{equation}\label{eq:linRadDva}
	y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x),
\end{equation}
kde $p$, $q$, $r$ jsou funkce spojit\'e na intervalu $(a,b)$.

\emphdef{Homogenn\'i rovnic\'i} příslušnou k rovnici \eqref{eq:linRadDva} rozumíme rovnici
\begin{equation}\label{eq:linRadDvaHomogen}
	y'' + p(x)y' + q(x)y = 0.
\end{equation}
\end{defin}

\begin{theorem}[Existence \v{r}e\v{s}en\'i pro line\'arn\'i rovnice 2. \v{r}\'adu]\label{T:exceLinRadDva}\nec $t_0\in(a,b)$ a $z_0, z_1\in\er$. Pak existuje pr\'av\v{e} jedno maxim\'aln\'i \v{r}e\v{s}en\'i $y$ rovnice \eqref{eq:linRadDva}, kter\'e spl\v{n}uje podm\'inky $y(t_0) = z_0$, $y'(t_0) = z_1$. Nav\'ic, toto \v{r}e\v{s}en\'i je definov\'ano na cel\'em intervalu $(a,b)$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Struktura \v{r}e\v{s}en\'i line\'arn\'i rovnice 2. \v{r}\'adu]\
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Obecn\'e \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadDvaHomogen} tvoří vektorový podprostor prostoru $\C^2((a,b))$ dimenze $2$.
	\item Nech\v{t} $y_p$ je partikul\'arn\'i \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadDva}. Pak obecn\'e \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadDva} je
	\[\{y_h + y_p\setsep y_h\text{ je \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadDvaHomogen} na intervalu }(a,b)\}.\]
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{pozns}\
	\begin{itemize}
		\item Báze prostoru maximálních řešení rovnice \eqref{eq:linRadDvaHomogen} se nazývá \emphdef{fundamentální systém řešení} rovnice \eqref{eq:linRadDvaHomogen}.
		\item Jsou-li funkce $y_1, y_2$ lineárně nezávislá maximální řešení rovnice \eqref{eq:linRadDvaHomogen}, pak již tvoří fundamentální systém.
		\item Abychom vyřešili nehomogenní rovnici \eqref{eq:linRadDva}, najdeme fundamentální systém $y_1, y_2$ pro rovnici \eqref{eq:linRadDvaHomogen} a jedno („partikulární“) řešení $y_p$ rovnice \eqref{eq:linRadDva}. Obecné řešení rovnice \eqref{eq:linRadDva} pak je $\{y_p + C_1y_1 + C_2y_2\setsep C_1, C_2 \in\er\}$.
	\end{itemize}
\end{pozns}

\begin{theorem}[Obecn\'e \v{r}e\v{s}en\'i homogenn\'i rovnice]\nec $y_1$, $y_2$ jsou dv\v{e} \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadDvaHomogen} na $(a,b)$. Pak n\'asleduj\'ic\'i tvrzen\'i jsou ekvivalentn\'i:
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Funkce $y_1$, $y_2$ jsou line\'arn\v{e} nez\'avisl\'e;
		\item Tzv. Wronsk\'eho determinant
			\[
				\left| \begin{array}{cc}
				y_1(x) & y_2(x)\\
				y'_1(x) & y'_2(x)
			\end{array} \right|
			\]
			je nenulov\'y alespo\v{n} v jednom bod\v{e} intervalu $(a,b)$ (pak je nenulov\'y v ka\v{z}d\'em bod\v{e} $(a,b)$).
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{theorem}[variace konstant]\nec funkce $y_1, y_2$ tvo\v{r}\'i fundamentální systém řešení rovnice \eqref{eq:linRadDvaHomogen}. Pokud existuj\'i funkce $c_1, c_2$ maj\'ic\'i na $(a,b)$ vlastn\'i derivaci a spl\v{n}uj\'ic\'i soustavu rovnic
	\[\begin{array}{rl}
		c'_1y_1 + c'_2y_2 & = 0\\
		c'_1y'_1 + c'_2y'_2 & = r\\
	\end{array}\]
na intervalu $(a,b)$, pak funkce $y_p(x) = c_1(x)y_1(x) + c_2(x)y_2(x),\;x\in(a,b)$ je řešením rovnice \eqref{eq:linRadDva}.
\end{theorem}

\subsubsection{Line\'arn\'i rovnice 2. \v{r}\'adu s konstantn\'imi koeficienty}

\begin{defin}[Line\'arn\'i rovnice 2. řádu s konstantn\'imi koeficienty]\emphdef{Lineární diferenciální rovnicí druhého řádu s konstantn\'imi koeficienty} rozumíme rovnici tvaru
\begin{equation}\label{eq:linRadDvaKonst}
	y'' + py' + qy = r(x),
\end{equation}
kde $p, q\in\er$ a $r$ je funkce spojit\'a na intervalu $(a,b)$.

\emphdef{Homogenn\'i rovnic\'i} příslušnou k rovnici \eqref{eq:linRadDvaKonst} rozumíme rovnici
\begin{equation}\label{eq:linRadDvaKonstHomogen}
	y'' + py' + qy = 0.
\end{equation}
\end{defin}

\begin{pozn} Maximální řešení rovnice \eqref{eq:linRadDvaKonstHomogen} jsou definována na celém $\er$.
\end{pozn}

\begin{defin}\emph{Charakteristickým polynomem} rovnice \eqref{eq:linRadDvaKonstHomogen} rozumíme polynom
	\[\chi(\lambda) := \lambda^2 + p\lambda + q.\]
\end{defin}

\begin{theorem}[tvar fundamentálního systému]Necht’ $\lambda_1. \lambda_2$ jsou ko\v{r}eny charakteristick\'eho polynomu rovnice \eqref{eq:linRadDvaKonstHomogen}.
	\begin{itemize}
		\item Pokud jsou $\lambda_1$, $\lambda$ r\r{u}zn\'e re\'aln\'e ko\v{r}eny, pak fundamentální systém řešení rovnice \eqref{eq:linRadDvaKonstHomogen} tvoří funkce $y_1(x) = e^{\lambda_1x}$ a $y_2(x) = e^{\lambda_2x}$.
		\item Pokud $\lambda_1 = \lambda_2$, pak fundamentální systém řešení rovnice \eqref{eq:linRadDvaKonstHomogen} tvoří funkce $y_1(x) = e^{\lambda_1x}$ a $y_2(x) = xe^{\lambda_1x}$.
		\item Pokud jsou $\lambda_1 = \alpha + \beta i$, $\lambda_2 = \alpha - \beta i$ r\r{u}zn\'e komplexn\'i ko\v{r}eny, pak fundamentální systém řešení rovnice \eqref{eq:linRadDvaKonstHomogen} tvoří funkce $y_1(x) = e^{\alpha x}\sin(\beta x)$ a $y_2(x) = e^{\alpha x}\cos(\beta x)$.
	\end{itemize}
\end{theorem}
	
\begin{theorem}[speciální pravá strana]
	Necht’
	\[r(x) = e^{ax}\cdot (P(x)\cos bx + Q(x)\sin bx),\quad x\in\er,\]
	kde $a, b\in\er$ a $P, Q$ jsou polynomy. Pak existuje \v{r}e\v{s}en\'i rovnice \eqref{eq:linRadDvaKonst} ve tvaru
	\[y_p(x) = x^me^{ax}(R(x)\sin bx + S(x)\cos bx),\quad x\in\er,\]
	kde $R, S$ jsou polynomy stupně ne většího než $\max\{\st P, \st Q\}$ a $m\in\en\cup\{0\}$ udává, jakou násobnost má číslo $a + bi$ jakožto kořen charakteristick\'eho polynomu příslušné homogenní rovnice.
\end{theorem}

\section{Soustavy diferenciálních rovnic}

\begin{defin}\emphdef{Soustavou dvou diferenciálních rovnic} (prvn\'iho \v{r}\'adu) rozum\'ime soustavu
	\begin{equation}\label{eq:soustava}\begin{array}{rl}
		x'_1 & = f_1(t,x_1,x_2),\\
		x'_2 & = f_2(t,x_1,x_2),\\
	\end{array}\end{equation}
kde $f_1$, $f_2$ jsou dan\'e funkce definovan\'e na nepr\'azdn\'e otev\v{r}en\'e mno\v{z}in\v{e} $G\subset \er^3$ a hledan\'ym objektem jsou funkce $x_1$, $x_2$ definovan\'e na jist\'em otev\v{r}en\'em intervalu.
\end{defin}

Vektorov\'y tvar soustavy:
\[\x' = \f(t,\x),\]
kde $\x = (x_1,x_2)$, $\x'=(x'_1,x'_2)$ a $\f = (f_1, f_2)$.

\begin{defin}
\emphdef{\v{R}ešením soustavy} \eqref{eq:soustava} rozum\'ime dvojici funkc\'i $\x = (x_1,x_2)$ definovanou na neprázdném otevřeném intervalu $I\subset \er$ takovou, \v{z}e pro každé $t\in I$ plat\'i $\x'(t) = \f(t,\x(t))$.

\emphdef{Maximální \v{r}ešení soustavy} \eqref{eq:soustava} je takové řešení $\x$ definovan\'e na intervalu $I$, kter\'e ji\v{z} nelze prodlou\v{z}it, tj. je--li $\y$ řešení definované na intervalu $J$, $I\subset J$ a $\y(t) = \x(t)$ pro každé $t\in I$, pak $I = J$.
\end{defin}

\begin{pozn}\
  Každá diferenciální rovnice 2.řádu se dá převést na soustavu dvou rovnic 1. řádu o dvou neznámých. Vskutku, rovnici $y'' = f(x,y,y')$, lze p\v{r}ev\'est na soustavu rovnic
	\[\begin{array}{rl}
		x'_1 & = x_2,\\
		x'_2 & = f(t,x_1,x_2).\\
	\end{array}
	\]
	Podrobn\v{e}ji, pokud je $(x_1,x_2)$ \v{r}e\v{s}en\'im t\'eto soustavy rovnic, pak $x_1$ je \v{r}e\v{s}en\'im rovnice $y'' = f(x,y,y')$.	
\end{pozn}

\begin{defin}[Soustava line\'arn\'ich rovnic]\emphdef{Soustavou dvou line\'arn\'ich diferenci\'aln\'ich rovnic} rozum\'ime soustavu rovnic

 \begin{equation}\label{eq:soustavaLin}\begin{array}{rl}
		x'_1 & = a_{11}(t)x_1 + a_{12}(t)x_2 + b_1(t),\\
		x'_2 & = a_{21}(t)x_1 + a_{22}(t)x_2 + b_2(t),\\
	\end{array}\end{equation}
kde $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}, b_1$ a $b_2$ jsou funkce spojit\'e na nepr\'azdn\'em otev\v{r}en\'em intervalu $(\alpha,\beta)$.

Pokud $(\alpha,\beta) = \er$ a funkce $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}, b_1$ a $b_2$ jsou konstantn\'i, pak \v{r}ekneme \v{z}e se jedn\'a o \emphdef{soustavu dvou line\'arn\'ich diferenci\'aln\'ich rovnic s konstaními koeficienty}
\end{defin}

\begin{theorem}[Existence a jednozna\v{c}nost \v{r}e\v{s}en\'i]\nec $t_0\in (\alpha,\beta)$ a $\x_0\in\er^2$. Pak existuje pr\'av\v{e}jedno maxim\'aln\'i \v{r}e\v{s}en\'i $\x$ rovnice \eqref{eq:soustavaLin}, kter\'e spl\v{n}uje podm\'inky $\x(t_0) = \x_0$. Nav\'ic, toto \v{r}e\v{s}en\'i je definov\'ano na cel\'em intervalu $(\alpha,\beta)$.
\end{theorem}

\begin{pozn}Každou soustavu dvou line\'arn\'ich rovnic s konstantními koeficienty 1. řádu lze p\v{r}ev\'est na lineární diferenciální rovnici 2. řádu s konstantními koeficienty. Vskutku, nech\v{t} je d\'ana soustava rovnic \eqref{eq:soustavaLin}, kde $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}, b_1$ a $b_2$ jsou konstantn\'i funkce na $\er$.
\begin{itemize}
	\item Pokud $a_{12} = a_{21} = 0$, pak jsou jednotliv\'e rovnice na sobě nez\'avisl\'e a nejedn\'a se ani tak o soustavu rovnic, jako o dvě na sobě nezávislé rovnice, které m\r{u}\v{z}eme vyřešit zvlášť.
	\item Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že $a_{12}\neq 0$. Pak $x_2 = \frac{x'_1 - a_{11}x_1 - b_1}{a_{12}}$, tedy $x'_2 = \frac{x''_1 - a_{11}x'_1}{a_{12}}$. Pokud tedy vy\v{r}ešíme rovnici
	\[y'' - (a_{11} + a_{22})y' + (a_{22}a_{11} - a_{12}a_{21})y = a_{12}b_2 - a_{22}b_1,\]
	pak $x_1 = y$, $x_2 = \frac{y' - a_{11}y - b_1}{a_{12}}$ bude \v{r}e\v{s}en\'im zadan\'e soustavy rovnic.
\end{itemize}
\end{pozn}

\section{Stabilita řešení}

\begin{defin}[stabilita \v{r}e\v{s}en\'i rovnice 2. \v{r}\'adu]\nec $a\in\er^*$ a $y$ je \v{r}e\v{s}ení diferenci\'aln\'i rovnice $y'' = f(x,y,y')$ na intervalu $(a,\infty)$. \v{R}ekneme, \v{z}e toto \v{r}e\v{s}en\'i je \emphdef{stabiln\'i} (resp. \emphdef{asymptoticky stabiln\'i}), pokud pro ka\v{z}d\'e $x_0 > a$ a každé $\varepsilon > 0$ existuje $\delta > 0$ tak, \v{z}e kdykoliv $\tilde{y}$ je \v{r}e\v{s}ením rovnice $y'' = f(x,y,y')$ na intervalu $(a,\infty)$ spl\v{n}ujícím $|\tilde{y}(x_0) - y(x_0)|<\delta$ a z\'aroveň $|\tilde{y}'(x_0) - y'(x_0)| < \delta$, pak
\[
	\forall x > x_0: |\tilde{y}(x) - y(x)| < \varepsilon\quad \&\quad |\tilde{y}'(x) - y'(x)| < \varepsilon
\]
\[
	(\text{resp.} \lim_{x\to \infty}|\tilde{y}(x) - y(x)| = \lim_{x\to \infty}|\tilde{y}'(x) - y'(x)| = 0).
\]
\end{defin}

\begin{theorem}[stabilita nulového řešení rovnice 2. řádu]
Nulové řešení rovnice $y'' + py' + qy = 0$ ($p, q\in\er$) je
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item asymptoticky stabilní právě tehdy, když $p > 0$ a zároveň $q > 0$;
		\item stabilní a není asymptoticky stabilní právě tehdy, když $p=0$ a zároveň $q > 0$ nebo $q=0$ a zároveň $p > 0$;
		\item nestabilní v ostatních případech.
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\textbf{D\'ale byly na p\v{r}edn\'a\v{s}ce zm\'in\v{e}ny n\v{e}kter\'e aplikace diferenci\'aln\'ich rovnic (Malthus\r{u}v popula\v{c}n\'i model, radioaktivn\'i rozpad, line\'arn\'i dietn\'i model, logistick\'y popula\v{c}n\'i model, vrh svisl\'y vzh\r{u}ru), kter\'e je t\v{r}eba alespo\v{n} orienta\v{c}n\v{e} zn\'at.}

\chapter{Funkce více proměnných}

\begin{defin}\emphdef{Euklidovskou metrikou (vzdáleností) na $\er^n$} rozumíme funkci $\rho:\er^n\times\er^n\to [0,\infty)$ definovanou pro $x,y\in\er^n$ předpisem
\[
\rho(x,y):=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i - y_i)^2}.
\]
Číslo $\rho(x,y)$ nazýváme \emphdef{vzdáleností bodu $x$ od bodu $y$}.
\end{defin}

\begin{lemma}\label{L:ekvivMetrik}Definujme funkci $\rho_{\max}:\er^n\times\er^n\to [0,\infty)$ pro $x,y\in\er^n$ předpisem $\rho_{\max}(x,y):=\max\{|x_i - y_i|\setsep i=1,\ldots,n\}$. Pak pro $x,y\in\er^n$ platí 
\[
	\rho_{\max}(x,y)\leq \rho(x,y)\leq \sqrt{n}\cdot\rho_{\max}(x,y).
\]
\end{lemma}

\begin{lemma}[základní vlastnosti Euklidovsk\'e metriky]Nech\v{t} $x, y, z\in\er^n$ a $\lambda\in\er$. Pak plat\'i:
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item $\rho(x,y) = 0\Leftrightarrow x = y$;
		\item $\rho(\lambda x,\lambda y) = |\lambda|\rho(x,y)$;
		\item $\rho(x,y)\leq \rho(x,z) + \rho(z,y)$;
		\item $\rho(x+z,y+z) = \rho(x,y)$
	\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{defin}\nec $x\in\er^n$ a $R > 0$. Pak množinu
\[B(x,R):=\{y\in\er^n\setsep \rho(x,y) < R\}\]
nazýváme \emphdef{otevřenou koulí o středu $x$ a poloměru $R$}.
\end{defin}

\begin{defin}
Nechť $A\subset \er^n$. Řekneme, že $x\in\er^n$ je \emphdef{vnitřním bodem množiny $A$}, jestliže existuje takové $R > 0$, že $B(x,R)\subset A$.
Množina $A\subset \er^n$ je \emphdef{otevřená}, pokud každý bod $x\in A$ je jejím vniřním bodem.
\emphdef{Vnitřkem} množiny $A$ rozumíme množinu všech vnitřních bodů množiny $A$ a značíme jej $\Int A$.
\end{defin}

\begin{defin}O množině $I\subset \er^n$ řekneme, že to je (otevřený) \emphdef{interval}, pokud existují (otevřené) intervaly $I_1,\ldots,I_n\subset\er$ takové, že $I = I_1\times I_2\times \ldots \times I_n$.
\end{defin}

\begin{pozns}
	\begin{enumerate}[(a)]
	\item Z Lemmatu \ref{L:ekvivMetrik} plyne, že $A\subset\er^n$ je otevřená právě tehdy, když pro každé $x\in A$ existuje takový interval $I$, že $x\in I$ a $I\subset A$.
		\item Otevřená koule je otevřená množina, otevřený interval je otevřená množina.
		
	\end{enumerate}
\end{pozns}

\begin{theorem}[vlastnosti otevřených množin]\
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Prázdná množina a celý prostor $\er^n$ jsou otevřené v $\er^n$.
		\item Sjednocení libovolného systému otevřených množin je otevřená množina.
		\item Pr\r{u}nik kone\v{c}n\v{e} mnoha otevřených množin je otevřená množina.
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{defin}\label{D:konvergence-v-Rn}
Nechť $\{x_k\}$ je posloupnost v $\er^n$ a $x\in \er^n$. Řekneme, že $\{x_k\}$ \emphdef{konverguje} k $x$, jestliže $\lim_{k\to\infty}\rho(x_k,x)=0$. Značíme $x_k\to x$, nebo tak\'e $\lim_{k\to\infty} x_k = x$, případně $\lim x_k = x$. Prvek $x$ nazýváme \emphdef{limitou posloupnosti} $\{x_k\}$ v $\er^n$. \emphdef{Konvergentní posloupností} rozumíme posloupnost, která má limitu v $\er^n$.
\end{defin}

\begin{lemma}[vlastnosti konvergence]Nechť $\{x_k\}$ je posloupnost prvků z $\er^n$ a $x\in\er^n$. Pak platí:
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item $\{x_k\}$ má nejvýše jednu limitu;
		\item $\{x_k\}$ konverguje k $x$ právě tehdy když konverguje po složkách, tj. pro každé $i = 1,\ldots,n$ platí $x_k(i)\to x(i)$.		
	\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{defin}Množina $A\subset \er^n$ je \emphdef{uzavřená}, pokud platí následující implikace:
\[
\{x_k\}\subset A,\ \ x_k\to x,\ x\in \er^n\quad \Rightarrow\quad x\in A.
\]
\end{defin}

\begin{theorem}[vztah otevřených a uzavřených množin]
Nechť $A\subset \er^n$. Potom $A$ je uzavřená právě tehdy, když $\er^n\setminus A$ je otevřená.
\end{theorem}

\begin{theorem}[vlastnosti uzavřených množin]\
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Prázdná množina a celý prostor $\er^n$ jsou uzavřené v $\er^n$.
		\item Sjednocení kone\v{c}n\v{e} mnoha uzavřených množin je uzavřená množina.
		\item Pr\r{u}nik libovolného systému uzavřených množin je uzavřená množina.
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{defin}Nechť $f$ je funkce $n$ proměnných a $x\in\er^n$. Řekneme, že \emphdef{$f$ je spojitá v bodě $x$}, jestliže platí
\[
	\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\ \forall y\in B(x,\delta)\colon |f(y) - f(x)| < \varepsilon.
\]
Nechť $A\subset \er^n$ a $x\in A$. Řekneme, \emphdef{že $f$ je spojitá v bodě $x$ vzhledem k $A$}, pokud platí
\[
	\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\ \forall y\in B(x,\delta)\cap A\colon |f(y) - f(x)| < \varepsilon.
\]
Řekneme, že \emphdef{$f$ je spojité na množině $A$}, jestliže je spojité v každém bodě $a\in A$ vzhledem k $A$ a že \emphdef{$f$ je spojité}, jestliže je spojité na $\er^n$.
\end{defin}

\begin{lemma}Pro každé $i = 1\ldots,n$ je funkce $(x_1,\ldots,x_n)\mapsto x_i$ spojitá.
\end{lemma}

\begin{theorem}[zachování spojitosti při aritmetických operacích]\nec $A\subset \er^n$, $x\in A$, $f:A\to \er$, $g:A\to \er$ a $\alpha\in\er$. Jestli\v{z}e $f$ a $g$ jsou spojit\'e v bodě $x$ vzhledem k $A$, potom také funkce $\alpha f$, $f + g$ a $fg$ jsou spojit\'e vzhledem k $M$. Pokud navíc funkce $g$ je nenulová v bodě $x$, pak je spojitá i funkce
$f/g$ v bodě $x$ vzhledem k $A$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[složení spojitých funkcí je spojitá funkce]Nechť $r, s\in \en$, $A\subset \er^s$, $B\subset\er^r$ a $y\in A$.
Necht’ $\varphi_1,\ldots,\varphi_r$ jsou funkce definované na $A$, spojité v bodě $y$ vzhledem k $A$ a $(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_r(x))\in B$ pro každé $x\in A$. 
Nechť $f:B\to\er$ je spojitá v bodě 
$(\varphi_1(y),\ldots,\varphi_r(y))$ vzhledem k $B$.
Potom složená funkce $F:A\to\er$ daná předpisem
\[
	F(x):=f((\varphi_1(x),\ldots,\varphi_r(x))),\quad x\in A
\]
je spojitá v $y$ vzhledem k $A$.
\end{theorem}

\begin{theorem}Nech\v{t} $f$ je spojitá funkce a $c\in\er$. Potom platí:
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Mno\v{z}ina $\{x\in\er^n\setsep f(x) > c\}$ je otevřená v $\er^n$.
		\item Mno\v{z}ina $\{x\in\er^n\setsep f(x) < c\}$ je otevřená v $\er^n$.
		\item Mno\v{z}ina $\{x\in\er^n\setsep f(x) \leq c\}$ je uzavřená v $\er^n$.
	\item Mno\v{z}ina $\{x\in\er^n\setsep f(x) \geq c\}$ je uzavřená v $\er^n$.
	\item Mno\v{z}ina $\{x\in\er^n\setsep f(x) = c\}$ je uzavřená v $\er^n$.
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{defin}Řekneme, že funkce $f$ o $n$ proměnných má v bodě $a\in\er^n$ limitu rovnou $A\in\er^*$, jestliže platí
	\[
		\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\ \forall x\in B(a,\delta)\setminus\{a\}\colon f(x)\in B(A,\varepsilon).
	\]
\end{defin}

\begin{pozns}\begin{enumerate}[(a)]
	\item Každá funkce má v daném bodě nejvýše jednu limitu, píšeme $\lim_{x\to a}f(x) = A$.
	\item $f$ je spojitá v $a$, právě když $\lim_{x\to a}f(x) = f(a)$.
	\item Pro limity funkcí více promenných platí obdobné věty jako pro limity funkcí jedné proměnné (aritmetika, policajti, $\ldots$).
\end{enumerate}
\end{pozns}

\begin{defin}
Nechť $f$ je reálná funkce $n$ proměnných, $a \in \R^n$ a $1 \leq i \leq n$.
Pak \emphdef{parciální derivaci funkce $f$ v bodě $a$ podle $i$-té proměnné} definujeme jako limitu
\[\begin{split}
\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) & = \lim_{t \to 0} \frac{f(a+te^i) - f(a)}{t}\\
& = \lim_{t \to 0} \frac{f(a_1,\ldots,a_{i-1}, a_i + t, a_{i+1},\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots,a_n)}{t},
\end{split}\]
pokud tato limita existuje vlastní. Symbolem $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ označujeme \textbf{parciální derivaci funkce $f$ podle $i$-té proměnné}, tj. funkci definovanou předpisem
\[
\frac{\partial f}{\partial x_i}\colon x \mapsto \frac{\partial f}{\partial x_i}(x).
\]
\end{defin}

\begin{convention}V dalším textu bude výrok\uv{parciální derivace existuje} znamenat, že parciální derivace existuje \emph{vlastní}.
\end{convention}

\begin{theorem}[existence \v{r}e\v{s}en\'i pro rovnice 1. \v{r}\'adu]\label{T:exceRadJedna}\nec $G\subset \er^2$je nepr\'azdn\'a otev\v{r}en\'a mno\v{z}ina a funkce $f:G\to \er$ je spojit\'a. Pak pro ka\v{z}d\'e $(x_0,y_0)\in G$ existuje maxim\'aln\'i \v{r}e\v{s}en\'i $y$ rovnice
\begin{equation}\label{eq:radJedna}
	y' = f(x,y)
\end{equation}
splňující $y(x_0) = y_0$.

Pokud je nav\'ic funkce $\frac{\partial f}{\partial y}$ spojit\'a v ka\v{z}d\'em bod\v{e} množiny $G$, pak je toto \v{r}e\v{s}en\'i jednozna\v{c}n\'e, tj. kdykoliv $\tilde{y}$ je maxim\'aln\'im \v{r}e\v{s}en\'im rovnice \eqref{eq:radJedna} a $\tilde{y}(x_0) = y_0$, pak $y = \tilde{y}$. 
\end{theorem}

\begin{theorem}[existence \v{r}e\v{s}en\'i pro rovnice 2. \v{r}\'adu]\label{T:exceRadDva}\nec $G\subset \er^3$ je nepr\'azdn\'a otev\v{r}en\'a mno\v{z}ina a funkce $f:G\to \er$ je spojit\'a. Pak pro ka\v{z}d\'e $(x_0,y_0,z_0)\in G$ existuje maxim\'aln\'i \v{r}e\v{s}en\'i $y$ rovnice
\begin{equation}\label{eq:radDva}
	y'' = f(x,y,y')
\end{equation}
splňující $y(x_0) = y_0$, $y'(x_0) = z_0$.

Pokud jsou nav\'ic funkce $\frac{\partial f}{\partial y}$ a $\frac{\partial f}{\partial y'}$ spojit\'e v ka\v{z}d\'em bod\v{e} množiny $G$, pak je toto \v{r}e\v{s}en\'i jednozna\v{c}n\'e, tj. kdykoliv $\tilde{y}$ je maxim\'aln\'im \v{r}e\v{s}en\'im rovnice \eqref{eq:radDva} a $\tilde{y}(x_0) = y_0$, $\tilde{y}\,'(x_0) = z_0$, pak $y = \tilde{y}$. 
\end{theorem}

\section{Popis mno\v{z}in v rovině a v prostoru}

\begin{enumerate}[(a)]	
	\item \textbf{Grafy implicitních funkcí}: Nechť ${A\subset\R^n}$ a ${f}$ je spojitá funkce na ${A}$.
 Rovnice
 $${
 f(x_1,\ldots,x_n)=0 \,,
 }$$
 popisuje \emphdef{implicitně} množinu ${P=\{(x_1,\ldots,x_n)\in A;f(x_1,\ldots,x_n)=0\}}$ v $\er^n$.

\begin{example} Rovnice ${x^2+y^2=a^2}$ popisuje kružnici o poloměru ${a}$ a středu v počátku.
\end{example}
 \begin{example} Rovnice ${x^2+y^2+z^2=a^2}$ popisuje povrch koule o poloměru ${a}$ a středu v počátku.
\end{example}
	\item \textbf{Parametricky zadaná množina}: Nechť ${\varphi_1,\ldots,\varphi_n}$ jsou spojité funkce na intervalu ${I\subset\R}$.

 Rovnice
 $${
  x_1=\varphi_1(t)\,, \quad\ldots,\quad x_n=\varphi_n(t)\quad {\rm pro\ } t\in I
 }$$
  popisují \emphdef{parametricky křivku} $P = \{(\varphi_1(t),\ldots,\varphi_n(t))\setsep t\in I\}$ v $\er^n$.
	
	\begin{example}Kružnice se středem v počátku poloměrem $a$ je parametricky zadanou křivkou, kde
	\[x = a \cos t,\; y = a \sin t\quad {\rm pro\ } t\in [0,2\pi].\]\end{example}
	\begin{example}Přímka procházející bodem ${(x_0,y_0,z_0)}$ a mající směr vektoru ${(a,b,c)}$ je parametricky zadanou křivkou, kde
 \[
 x=x_0+at,\; y=y_0+bt,\; z=z_0+ct,\quad {\rm pro\ } t\in(-\infty,+\infty).
 \] 
\end{example}
  
  Nechť  ${\varphi,\psi,\tau}$ jsou spojité funkce na otevřené množině ${G\subset \R^2}$.

 Rovnice
 $${
   x=\varphi(u,v)\,,\quad y=\psi(u,v)\,,\quad z=\tau(u,v)\quad {\rm pro\ }
 (u,v)\in G
 }$$
  popisují \emphdef{parametricky plochu} $P = \{(\varphi(u,v),\psi(u,v),\tau(u,v))\setsep (u,v)\in G\}$ v $\er^3$.
  
\begin{example} 
 ${
 x=x_0+a_1u+a_2v,y=y_0+b_1u+b_2v,z=z_0+c_1u+c_2v
 }$ 
 pro ${u,v\in(-\infty,+\infty)}$,\\ je
 rovina procházející bodem ${(x_0,y_0,z_0)}$, rovnoběžná s
 vektory
 ${(a_1,b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2)}$.
\end{example}

\item \textbf{Polární souřadnice} bodu $(x,y)\in\er^2$ jsou $(r,\alpha)$, kde
 $${
 x=r\cos\alpha,\; y=r\sin\alpha\qquad r \geq 0,\; \alpha\in [0,2\pi).
 }$$
Pokud $(x,y)\neq (0,0)$, pak ekvivalentní rovnosti jsou
 	$${
 r=\sqrt{x^2+y^2},\; \alpha=\begin{cases}  \pi - \frac{\pi}{2}\sgn{y} & \text{ pokud }x=0,\\
		\arctg\frac{y}{x} & \text{ pokud }x>0\;\&\;y\geq 0,\\
		\arctg\frac{y}{x} + \pi & \text{ pokud }x<0,\\
		\arctg\frac{y}{x} + 2\pi & \text{ pokud }x>0\;\&\;y < 0.\end{cases}
 }$$
\begin{example}Kružnice se středem v počátku a poloměrem $a$ se dá v polárních souřadnicích popsat rovnicí \[r = a,\quad \alpha\in[0,2\pi).\]
\end{example}

	\item \textbf{Cylindrické (válcové) souřadnice} bodu
 ${(x,y,z)}$ jsou ${(r,\alpha,z)}$, kde ${(r,\alpha)}$ jsou
 polární souřadnice bodu ${(x,y)}$:
 $${
 x=r\cos\alpha,\; y=r\sin\alpha,\; z=z\,.
 }$$
 
 Množina je popsána cylindrickými souřadnicemi
 zadáním funkce ${z(r,\alpha)}$ (nebo ${r(\alpha,z)}$).
 
 \begin{example} Kužel s vrcholem v počátku je dán rovnicí
  ${r=z}$ pro ${\alpha\in[0,2\pi),z\in[0,1]}$.
	\end{example}
	\item \textbf{Sférické souřadnice}: \emphdef{Sférické} souřadnice bodu
 ${(x,y,z)}$ jsou ${(r,\alpha,\beta)}$, kde
 $${
 x=r\sin\beta\cos\alpha,\; y=r\sin\beta \sin\alpha,\; z=r\cos\beta\qquad r \geq 0,\; \alpha\in [0,2\pi),\; \beta\in [0,\pi].
 }$$
Pokud $(x,y)\neq (0,0)$, pak ekvivalentní rovnosti jsou
 $${
 r=\sqrt{x^2+y^2+z^2};\qquad \beta=\arccos\frac{z}{r};
 }$$
$${
\alpha=\begin{cases}  \pi - \frac{\pi}{2}\sgn{y} & \text{ pokud }x=0\;\&\;y\neq 0,\\
		\arctg\frac{y}{x} & \text{ pokud }x>0\;\&\;y \geq 0,\\
		\arctg\frac{y}{x} + \pi & \text{ pokud }x<0,\\
		\arctg\frac{y}{x} + 2\pi & \text{ pokud }x>0\;\&\;y < 0.\end{cases}
 }$$
 Množina je popsána sférickými souřadnicemi je-li
 zadána funkce  ${r(\alpha,\beta)}$.
 
 \begin{example} Povrch koule o poloměru ${R}$ a středu v počátku je
 zadán rovnicí\[ {r=R}\text{ pro }{\alpha\in[0,2\pi),\beta\in[0,\pi]}.\]
\end{example}
\end{enumerate}

\section{Spojitost funkcí a parciálních derivací, věta o implicitní funkci}

\begin{theorem}[o nabývání mezihodnot]Nechť $I\subset \er^n$ je interval, $f:I\to\er$ spojit\'a funkce a ať jsou dány body $a, b\in I$ takové, že $f(a) < f(b)$. Pak pro libovolné $\zeta\in(f(a),f(b))$ existuje $c\in I$ takové, že $f(c) = \zeta$.
\end{theorem}

\begin{theorem}[o st\v{r}edn\'i hodnot\v{e}]
Nechť $f$ je reálná funkce $n$ proměnných, $I = (\alpha_1,\beta_1) \times \dots \times (\alpha_n,\beta_n) \subset \R^n$, $a,b \in I$.
Nechť v každém bodě $I$ existují parciální derivace $f$ podle všech proměnných. Potom existují body $\xi^1, \dots, \xi^n \in I$ takové, že
\[
f(b) - f(a) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(\xi^i)(b_i-a_i).
\]
\end{theorem}

\begin{theorem}[vztah parciálních derivací a spojitosti]Nechť $f$ je reálná funkce $n$ proměnných, $a \in \R^n$ a $\frac{\partial f}{\partial x_1}$, \dots, $\frac{\partial f}{\partial x_n}$ jsou spojité funkce v bodě $a$. Pak $f$ je spojit\'a v bodě $a$.
\end{theorem}

%\begin{defin}\nec $G\subset \er^n$ je nepr\'azdn\'a a otev\v{r}ená. Nechť funkce $f:G\to\er$ má v každém bodě množiny $G$ spojité všechny parciální derivace. Pak říkáme, že funkce $f$ je třídy $\C^1$ na $G$. Množinu všech takových funkcí značíme $\C^1(G)$.
%\end{defin}

\begin{defin}\nec $G\subset \er^n$ je neprázdná otev\v{r}ená množina, $i, j\in \{1,\ldots,n\}$, funkce $f:G\to \er$ má v každém bodě $G$ vlastní $i$-tou parciální derivaci a $\a\in G$. Parciální derivaci funkce $\x\mapsto \frac{\partial f}{\partial x_i}(\x)$ podle proměnné $x_j$ v bodě $\a$ značíme
\[
	\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(\a)=\frac{\partial\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)}{\partial x_j}(\a)
\]
a nazýváme ji \emphdef{parciální derivací druhého řádu} funkce $f$. Je-li $i=j$, pak používáme značení $\frac{\partial^2 f}{\partial^2 x_i}(\a)$.\\

Analogicky se definují parciální derivace vyšších řádů.
\end{defin}

\begin{defin}Nechť $G\subset \er^n$ je otev\v{r}en\'a množina a $k\in\en$. Nechť funkce $f:G\to\er$ má v každém bodě množiny $G$ spojité všechny parciální derivace až do řádu $k$. Pak říkáme, že funkce $f$ je třídy $\C^k$ na $G$. Množinu všech takových funkcí značíme $\C^k(G)$.
\end{defin}

\begin{theorem}[o implicitní funkci]\nec $k\in\en$, $G\subset \er^2$ je otevřená, $F:G\to\er$, $(x_0,y_0)\in G$ a nechť platí
  \begin{enumerate}[(i)]
   \item $F\in\C^k(G)$,
   \item $F(x_0,y_0) = 0$,
   \item $\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0$.
  \end{enumerate}
Pak existuje $\varepsilon > 0$ takové, že pro každé $x\in (x_0-\varepsilon,x_0 + \varepsilon)$ existuje právě jedno $y\in (y_0-\varepsilon,y_0 + \varepsilon)$ s vlastností $F(x,y)=0$. Označíme-li toto $y$ symbolem $\varphi(x)$, pak $\varphi\in\C^k((x_0-\varepsilon,x_0 + \varepsilon))$ a
\[
  \varphi'(x) = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}(x,\varphi(x))}{\frac{\partial F}{\partial y}(x,\varphi(x))},\qquad x\in(x_0-\varepsilon,x_0 + \varepsilon).
\]
\end{theorem}

\section{Extrémy funkcí více proměnných}

\begin{defin}\nec $M\subset\er^n$, $\x\in M$ a $f$ je reálná funkce definovan\'a alespo\v{n} na $M$ (tj. $M\subset \dom(f)$ a $\rng(f)\subset \er$). Řekneme, že $f$ nabývá v bodě $x$
	\begin{itemize}
		\item \emphdef{maxima} na $M$, jestliže platí $\forall \y\in M:\; f(\y)\leq f(\x)$,
		\item \emphdef{lokálního maxima vzhledem k $M$}, jestliže existuje $\delta > 0$ takové, že $\forall \y\in B(\x,\delta)\cap M:\; f(\y)\leq f(\x)$,
		\item \emphdef{ostrého maxima na $M$}, jestliže platí $\forall \y\in M\setminus\{\x\}:\; f(\y) < f(\x)$,
		\item \emphdef{ostrého lokálního maxima vzhledem k $M$}, jestliže existuje $\delta > 0$ takové, že $\forall \y\in (B(\x,\delta)\setminus\{\x\})\cap M:\; f(\y) < f(\x)$
	\end{itemize}
	Analogicky definujeme \emphdef{minimum} a \emphdef{ostré minimum na $M$}, \emphdef{lokální minimum} a \emphdef{ostré lokální minimum vzhledem k $M$}.
\end{defin}

\subsubsection{Extrémy na otevřené množině}

\begin{theorem}[nutná podmínka lokálního extrému]Nech\v{t} $G\subset \er^n$ je otevřená množina, $\a\in G$ a funkce $f:G\to \er$ má v bod\v{e} $\a$ lokální extrém. Pak pro každé $j\in \{1,\ldots,n\}$ platí:
	\[\text{Parciální derivace} \frac{\partial f}{\partial x_j}(\a)
\text{buď neexistuje, nebo je rovna nule.}
\]
\end{theorem}

\begin{defin}\nec $G\subset \er^n$ je otev\v{r}en\'a množina, $\a\in G$ a $f\in\C^1(G)$. \emphdef{Gradientem funkce $f$ v bodě $\a$} rozumíme vektor
\[\nabla f(\a):=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\a),\frac{\partial f}{\partial x_2}(\a),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(\a)\right).\]
Pokud $\nabla f(\a) = \o$, pak bod $\a$ nazýváme \emphdef{stacionárním bodem} funkce $f$.
\end{defin}

\begin{defin}Nechť $G\subset \er^2$ je neprázdná otev\v{r}ená množina, $\a\in G$ a $f\in\C^2(G)$. Pak \emphdef{Hessova matice} je matice
 \[\left(\begin{array}{cc}
	 \frac{\partial^2 f}{\partial^2 x}(\a) & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(\a) \\
	\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(\a) & \frac{\partial^2 f}{\partial^2 y}(\a)\\
 \end{array}\right)\]
Značíme ji symbolem $\nabla^2 f(\a)$.
\end{defin}

\begin{theorem}\nec $G\subset \er^2$ je neprázdná otev\v{r}ená množina, $f\in\C^2(G)$ a $\a\in G$ je stacionárním bodem funkce $f$. Potom platí:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Je--li matice $\nabla^2 f(\a)$ negativně definitní, nabývá $f$ v bodě $\a$ ostrého lokálního maxima.
	\item Je--li matice $\nabla^2 f(\a)$ pozitivně definitní, nabývá $f$ v bodě $\a$ ostrého lokálního minima.
	\item Je--li matice $\nabla^2 f(\a)$ indefinitní, nenabývá $f$ v bodě $\a$ ani lokálního minima, ani lokálního maxima, tj. $\a$ je sedlový bod funkce $f$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{pozn}Pojem pozitivní/negativní definitnosti byl definován v předmětu Lineární algebra. Připomeňme, že symetrická matice $\left(\begin{array}{cc}
	 a & c \\
	 c & b \\
	\end{array}\right)$
	je
	\begin{itemize}
		\item pozitivně definitní, právě když $a > 0$ a $ab > c^2$,
		\item negativně definitní, právě když $a < 0$ a $ab > c^2$,
		\item indefinitní, právě když $ab < c^2$.
	\end{itemize}
\end{pozn}

\begin{theorem}[záměnnost parciálních derivací]Nech\v{t} $G\subset \er^n$ je otevřená množina a $f\in\C^2(G)$. Pak pro každé $a\in G$ plat\'i $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(\a)=\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}(\a)$
\end{theorem}

\subsubsection{Extrémy na uzavřené množině - Lagrangeova věta o multiplikátoru}

\begin{defin}
Množina $A\subset \er^n$ je \emphdef{omezená}, pokud je omezená množina $\{\rho(x,0)\setsep x\in A\}$.
\end{defin}

\begin{theorem}[o nabývání extrémů]Nechť $A\subset \er^n$ je omezená uzavřená množina, $f:A\to \er$ spojitá funkce. Pak existují body $c, d\in A$ takové, že
\[
	f(c) = \inf \{f(x)\setsep x\in A\},\qquad f(d) = \sup \{f(x)\setsep x\in A\}.
\]
\end{theorem}

\begin{theorem}[Lagrangeova věta o multiplikátoru]\nec $G\subset \er^2$ je otev\v{r}ená množina, $f, g\in\C^2(G)$, $M = \{(x,y)\in G\setsep g(x,y) = 0\}$ a $(x_0,y_0)\in M$ je bodem lokálního extrému funkce $f$ vzhledem k množině $M$. Potom je splněna alespoň jedna z následujících podmínek:
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item $\nabla g(x_0,y_0) = (0,0)$,
		\item existuje číslo $\lambda\in\er$ splňující
		\[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) + \lambda\frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0) = 0,\]
		\[\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) + \lambda\frac{\partial g}{\partial y}(x_0,y_0) = 0.\]
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\section{Dvojné a dvojnásobné integrály\protect\footnote{Tato sekce má ryze informativní charakter a bude podrobněji a přesněji probrána v rámci předmětu Kalkulus 3.}}

\begin{defin}Nech\v{t} $A \subset \er^2$ je mno\v{z}ina. Pro $x\in \er$ označme $A_x = \{y\in\er\setsep (x,y)\in A\}$. Nech\v{t} $\{x\in\er\setsep A_x\neq\emptyset\}$ je interval s krajními body $a,b\in \er$, $a < b$. Nechť $f:A\to \er$ je funkce. Definujeme
	\[
		\iint_A f \dy \dx := \nint_a^b \left(\int_{A_x} f(x,y) \dy \right) \dx,
	\]
pokud je výraz na pravé straně definován, kde symbolem $\int_{A_x} f(x,y) \dy$ rozumíme Newtonův integrál z funkce $y\mapsto f(x,y)$ přes vnitřek intervalu $A_x$ (speciálně, pokud $A_x$ není interval pro nějaké $x\in (a,b)$, pak symbol $\iint_A f \dy \dx$ není definován).\\
	
	Analogicky definujeme také $\iint_A f \dx \dy$.
\end{defin}

\begin{pozn}Dvojným integrálem obvykle rozumíme symbol \uv{$\iint_A f \dy \dx$}, dvojnásobným integrálem obvykle rozumíme výraz \uv{$\int_a^b \left(\int_{A_x} f(x,y) \dy \right) \dx$}. Definice dvojného integrálu jako výše je specifick\'a pro tuto p\v{r}edn\'a\v{s}ku. V matematické teorii se dvojný integrál definuje jiným způsobem. Pro dostatečně rozumné funkce a množiny ale obě definice (ta výše a ta obvyklá) splývají.
\end{pozn}

\section{Příklady parciálních diferenciálních rovnic\protect\footnote{Tato sekce má ryze informativní charakter, nebude podrobněji probírána.}}

Při řešení parciální diferenciální rovnice hledáme funkci více proměnných, která se v rovnici vyskytuje spolu se svými parciálními derivacemi. V následujícím textu uvedeme některé základní příklady parciálních diferenciálních rovnic.\\[10pt]
V následujících rovnicích uvažujeme neprázdnou otevřenou souvislou\footnote{Množina $G$ je souvislá, pokud každé dva body ležící v množině $G$ lze spojit lomenou čarou, ležící v $G$.} $G\subset \er^n$. Pokud v rovnici není uvedena parciální derivace podle času (tj. podle proměnné $t$), pak hledáme funkci $u = u(x)$, $x\in G$; v opačném případě hledáme funkci $u = u(t,x)$, $t\in(0,T)$, $x\in G$. Používáme značení
\[\Delta u:=\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial^2 x_i}\]

\begin{itemize}
	\item \textbf{Laplaceova rovnice:}\[\Delta u = 0\]
	\item \textbf{Poissonova rovnice:}\[\Delta u = f(x)\]
	\item \textbf{Rovnice vedení tepla:} \[\frac{\partial u}{\partial t} - a^2\Delta u = f(t,x),\;a>0\]
	\item \textbf{Vlnová rovnice:} \[\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u }{\partial^2 t} - \Delta u = f(t,x),\;c>0\]
\end{itemize}

\end{document}