• přednášející: Libor Barto
• rozvrh: Po 9:00 - 10:30 N1, Pá 12:20 - 13:50 N1
• konzultace: po dohodě osobně nebo emailem (přednostně kontaktujte cvičící)
• web: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~barto/LA2425leto.html, web zimního semestru je zde

Rychlé odkazy

• skripta, verze z 18.10.2024
• stream z N1
• tabulka s body

Novinky

• 27.3.2025 Vypsal jsem termíny. Opravný zápočtový test je 26.5. 15:00 K1, zkouškové písemky 29.5., 5.6, 12.6, 19.6, 26.6, 18.9. vždy 9:00 N1. Zkoušková písemka za 1. semestr je 18.9. 9:00 N1 (stejně jako poslední termín pro 2. semestr).
• 26.3.2025 Pokud by vás zajímalo, co přibližně dělám, koukněte na mojí popularizační přednášku na Hradě. YouTube video je na LLionTV nebo v playlistu Věda na Hradě.
• 27.2.2025 Byl zadán první úkol. Odevzdávejte buď elektronicky přes Sovu nebo papírově (detaily níže). Odkaz na zápis do Sovy. Pokud budete odevzdávat papírově před přednáškou, odevzdejte každou úlohu na zvláštním papíru (papírech).
• 11.2.2025 První týden bude za mě zaskakovat Jan Štovíček v pondělí a Alexander Slávik v pátek.
• 11.2.2025 Ujistěte se, že se zapisujete na správný předmět! Je to
  • NMAG112 pro programy Obecná matematika, Matematické modelování, Matematika pro informační technologie,
  • NAMG114 pro program Finanční matematika.
• 11.2.2025 Vítejte! Organizace studia je skoro stejná jako v zimním semestru s tím rozdílem, že je jen jeden midterm s váhou 1/3.

Plán kurzu

Týden	Téma	Přečíst	Odkazy	Kvíz	Téma cvičení	Cvičení	DÚ
T1 od 17.2.	Standardní skalární součin Obecný skalární součin	1.4, 8.1 8.2	Záznam 1 Záznam 2	Kvíz 1 Řešení	Aplikace determinantů	Zadání Řešení	---
T2 od 24.2.	Kolmost Ortogonální projekce	8.3 8.4.1, 8.4.2	Záznam 1 Záznam 2	Kvíz 2 Řešení	Skalární součin	Zadání Řešení	1. DÚ
T3 od 3.3.	Ortogonalizace Ortogonální a unitární zobrazení	8.4.3-8.4.6 8.5	Záznam 1 Záznam 2	Kvíz 3 Řešení	Ortogonalizace	Zadání Řešení	2. DÚ
T4 od 10.3.	Aplikace: aproximace, optimalizace Orientace, orientovaný objem, vektorový součin.	8.6 7.6, 8.7,8.8	Záznam 1 Záznam 2	Kvíz 4 Řešení	Gramova matice, ortogonální projekce	Zadání Řešení	3. DÚ
T5 od 17.3.	Vlastní čísla a vektory Diagonalizace	9.1, 9.2 9.3.1, 9.3.2	Záznam 1 Záznam 2	Kvíz 5 Řešení	Aplikace skalárního součinu	Zadání Řešení	4. DÚ
T6 od 24.3.	Diagonalizace Jordanův kanonický tvar	9.3.3-9.3.5 9.4.1-9.4.5	Záznam 1 Záznam 2	Kvíz 6 Řešení	Vlastní čísla a vektory	Zadání Řešení	5. DÚ
T7 od 31.3.	Jordanův kanonický tvar Invariantní prostory, Cayley-Hamiltonova věta	9.4.6-9.4.8 9.4.10-9.4.12	Záznam 1 Záznam 2 (část)		Diagonalizovatelnost	Zadání Řešení	6. DÚ
T8 od 7.4.	Dynamické systémy Unitární diagonalizace	9.1, 9.3, 9.4.9 10.1.	Záznam 1 Záznam 2	Kvíz 7 Řešení	Jordanův kanonický tvar	Zadání Řešení
T9 od 14.4.    Pá	Spektrální věty ---	10.2 ---	Záznam ---	Kvíz 8 Řešení	Jordanův kanonický tvar	Zadání Řešení	7. DÚ
T10 od 21.4.    Po	--- Ortogonální operátory	--- 10.2.5, 10.2.6	--- Záznam	Kvíz 9 do 29.4.	Dynamické systémy	Zadání Řešení	8. DÚ do 2.5.
T11 od 28.4.     Čt	1. midterm Singulární rozklad	opak. 8,9 10.3		Kvíz 10 do 6.5.	Unitární diagonalizace	Zadání Řešení	9. DÚ do 9.5.
T12 od 5.5.     Čt	Aplikace singulárního rozkladu Bilineární a kvadratické formy	10.4 11.1, 11.2		Kvíz 11 do 13.5.	Singulární rozklad	Zadání Řešení	10. DÚ do 16.5.
T13 od 12.5.     Út	Diagonalizace bilineárních forem Diagonalizace nad R	11.3 11.4		Kvíz 12 do 20.5.	Bilineární formy	Zadání Řešení	11. DÚ do 19.5.
T14 od 19.5.	Kuželosečky a kvadratické plochy Grupy v lineární algebře	11.5 12		---	Reálné kvadratické formy a kvadratické útvary	Zadání Řešení	12. DÚ do 23.5.

Studijní materiály

• Základním studijním materiálem jsou elektronická skripta (L. Barto, J. Tůma). Očekáváme, že budete skripta aktivně používat v průběhu semestru. Pokud v nich najdete překlep nebo jinou chybu, neváhejte nám to nahlásit.
• videozáznam přednášek (odkazy jsou v tabulce)
• videozáznam přednášek z letního semestru 2015/16.
• sbírka přímočarých početních úloh (není zcela kompatibilní s aktuálním kurzem).
• odkazy na řadu dalších zdrojů jsou na konci této stránky.

Organizace kurzu

Jsme přesvědčeni, že kurz Lineární algebry je třeba od samého začátku studovat aktivně a průběžně. Jednotlivá témata mezi sebou silně navazují a bez základního pochopení dosavadní látky je velmi obtížné porozumět látce následující. Snažíme se kurz vést tak, aby vás k aktivnímu a průběžnému studiu motivoval:

1. Každý týden jsou přednášky věnovány konkrétnímu tématu, jemuž se věnuje pasáž ve skriptech uvedená výše v tabulce s plánem kurzu. Přednášky nebudou prostým výkladem obsahu skript, budeme se snažit věnovat především nejdůležitějším a nejobtížnějším pojmům, motivacím, aplikacím, vašim dotazům. Doporučujeme proto, abyste si v týdnu předtím našli čas si příslušnou pasáž ve skriptech sami projít, abyste získali základní orientaci, o čem bude řeč. Po tomto prvním čtení nejspíš nebudete rozumět všemu, ale pomůže vám lépe se orientovat v přednášce a připravit si na ni otázky. Po přednášce byste si měli skripta přečíst podruhé, tentokrát už podrobně a snažit se o co nejlepší porozumění.
2. Na webu kurzu pak vyplníte on-line kvíz o čtyřech otázkách typu abc, který bude vždy otevřen do úterý 23:55 dalšího kalendářního týdne. Za úspěšné vyplnění kvízu získáte body k domácím úkolům z daného tématu (1 bod za 3 správné odpovědi, 2 body za všechny 4 správné odpovědi). Prostřednictvím kvízu budete mít rovněž možnost položit libovolnou otázku k tématu předcházejících nebo následujících přednášek - budu se snažit na ně během přednášky odpovědět.
3. Cvičení se budou věnovat danému tématu v následujícím týdnu po přednáškách (více méně). Základní úlohy probírané na cvičeních budou zveřejněny včetně vzorového řešení i na webu. Využívejte však cvičení i jako konzultačních hodin a ptejte se cvičících nejen na samotné úlohy, ale i to, čemu ve skriptech nebo na přednášce nerozumíte. Účast na cvičení (i přednáškách) je zcela dobrovolná, na zápočet ani zkoušku přímý vliv nemá.
4. Na přednášku a cvičení bude navazovat domácí úkol, sestávající ze dvou úloh po 4 bodech. Termín odevzdání je vždy následující týden do pátku 12:15, odevzdávají se
   • elektronicky v systému Sovička. Odkaz na zápis je zde. Odevzdejte každý podúkol samostatně do příslušného "topicu" v systému, tedy první podúkol do prvního topicu a druhý podúkol do druhého topicu. Silně preferujeme formát PDF. Alternativně jako obrázek png,jpg. Nepoužívejte prosím jiné formáty.
   • papírově, a to do schránky s nápisem KA před vchodem do knihovny v pavilonu Impakt nebo osobně přednášejícímu (lze položit aspoň 5 minut před přednáškou na katedru v N1). Odevzdejte každou úlohu na zvláštním papíru (papírech). U každé úlohy uveďte své jméno, jméno cvičícího a den a hodinu, kdy se cvičení koná. Budou Vám předávány opravené na vašich cvičeních.
   Řešení domácího úkolu je třeba vypracovat samostatně, můžete je konzultovat mezi sebou, ale je zakázáno ukazovat si navzájem sepsaná řešení. Nápadně podobné chyby či formulace budou znamenat odebrání bodů oběma stranám. Body za domácí úkoly a za kvízy se počítají k zápočtu. Někdy bude zadán též bonusový příklad, zpravidla těžší, nad rámec požadavků. Můžete jej odevzdat, ale řešení nebude mít vliv na výsledek domácího úkolu.
5. Jednou za semestr (28.4) bude v době přednášky zadána průběžná písemka (midterm). Její struktura se bude podobat zkouškové písemce, ale bude trvat jen 90 minut a pokrývat pouze kapitoly 8 s 9 ze skript. Výsledek midtermů se počítá ke zkoušce.
6. Zkouška je písemná a proběhne v několika zkouškových termínech vyhlášených v SISu. Všechny požadované znalosti jsou v kapitolách 8-11 skript a budou upřesněny zde. Zastoupení témat v písemce odpovídá zhruba času, který jim byl věnován na přednášce. Testujeme zejména znalost základních pojmů a porozumění vztahům mezi nimi, důležitá je ale i schopnost korektně používat matematický jazyk. Zkouška bude hodnocena dvěma způsoby - se započtením midtermu a bez něj - a počítá se lepší výsledek.
7. Cvičící i přednášející jsou vám k dispozici pro konzultace po dohodě e-mailem či osobně. Přednostně se obracejte na svého cvičícího během cvičení, případně jej požádejte o konzultaci. Snažte se připravit si na ni konkrétní dotazy ke skriptům či úlohy, které jste se sami pokoušeli vyřešit. Konzultace není doučování.

Podmínky zápočtu

• Za každé z 12 sad domácích úkolů a kvízů je možné dostat 10 bodů k zápočtu: 2 za kvíz a 8 za domácí úkol. Dvě nejhůře obodovaná témata se škrtají, ze zbylých 10 je třeba získat v součtu 60 bodů. Žádné omluvy (tedy ani např. nemoc) nejsou přípustné - proto se dva nejhorší výsledky škrtají.
• Jediná možnost opravy, pokud požadavek výše nesplníte, bude jeden termín opravného testu, ke kterému se přihlásíte v SISu. Test bude obsahovat 8 příkladů, bude trvat 90 min. a bude sestaven z přímočarých početních příkladů. K získání zápočtu je třeba alespoň 60% bodů z testu, body za domácí úkoly a kvízy nebo účast na cvičeních nehrají žádnou roli.
• Cvičící má u výborných studentů a v případě vážných důvodů možnost udělit zápočet výjimečně dle jiných kritérií. Takový režim je nutné dohodnout na začátku semestru, nejpozději do konce října.

Podmínky zkoušky

Zkoušková písemka se liší podle toho, který program studujeteje:

• NMAG112 (Obecná matematika, Matematické modelování, Matematika pro informační technologie), písemka trvá 3h
  • 8 bodů: 4x jednoduché otázky Ano/Ne, netřeba zdůvodňovat,
  • 12 bodů: 4x definice pojmů,
  • 15 bodů: 5x jednoduché početní nebo jiné příklady, které testují pochopení pojmů a tvrzení, kde stačí správná odpověď,
  • 12 bodů: 4x formulace tvrzení nebo oprava chybného tvrzení s uvedením protipříkladu,
  • 15 bodů: 3x početní příklady, kde je potřeba psát postup,
  • 20 bodů: 4x důkazy tvrzení (ze skript, nicméně často se ptáme jen na jejich části či parafráze),
  • 18 bodů: 3x úlohy na zamyšlení (k vyřešení stačí dobře rozumět pojmům a tvrzením z přednášky a geometrický názor).
• NMAG114 (Finanční matematika), písemka trvá 2,5h
  • 8 bodů: 4x jednoduché otázky Ano/Ne, netřeba zdůvodňovat,
  • 12 bodů: 4x definice pojmů,
  • 15 bodů: 5x jednoduché početní nebo jiné příklady, které testují pochopení pojmů a tvrzení, kde stačí správná odpověď,
  • 12 bodů: 4x formulace tvrzení nebo oprava chybného tvrzení s uvedením protipříkladu,
  • 21 bodů: 3x početní příklady, kde je potřeba psát postup,
  • 7 bodů: 1x důkaz tvrzení (ze skript, nicméně často se ptáme jen na jejich části či parafráze),
  • 8 bodů: 1x úloha na zamyšlení (k vyřešení stačí dobře rozumět pojmům a tvrzením z přednášky a geometrický názor).

Studentovi bude udělena známka buď na základě počtu bodů ze zkouškové písemky, nebo na základě váženého průměru procentuální úspěšnosti ze zkouškové písemky a midtermu, podle toho, které číslo bude vyšší. Váha midtermu je 1/3, váha zkouškové písemky 2/3.

• NMAG111: z celkového počtu 100 bodů je na trojku potřeba alespoň 55 bodů, na dvojku 68 bodů a na jedničku 80 bodů.
• NMAG113: z celkového počtu 83 bodů je na trojku potřeba alespoň 50 bodů, na dvojku 60 bodů a na jedničku 70 bodů.

Průběžná písemka (midterm) trvá 90 minut, její struktura je podobná jako u zkouškové písemky. Můžete si stáhnout jeden ze starších midtermů a udělat si lepší představu o formátu jednotlivých otázek.

• NMAG111
  • 6 bodů: 3x jednoduché otázky Ano/Ne, netřeba zdůvodňovat,
  • 6 bodů: 2x definice pojmů,
  • 6 bodů: 2x jednoduché početní (nebo jiné) příklady, kde stačí správná odpověď,
  • 6 bodů: 2x formulace tvrzení,
  • 5 bodů: 1x početní příklad, kde je potřeba psát postup,
  • 10 bodů: 2x důkazy jednodušších tvrzení,
  • 12 bodů: 2x úlohy na zamyšlení,
• NAMG113
  • 6 bodů: 3x jednoduché otázky Ano/Ne, netřeba zdůvodňovat,
  • 6 bodů: 2x definice pojmů,
  • 6 bodů: 2x jednoduché početní (nebo jiné) příklady, kde stačí správná odpověď,
  • 6 bodů: 2x formulace tvrzení,
  • 14 bodů: 2x početní příklad, kde je potřeba psát postup,
  • 5 bodů: 1x důkaz jednodušších tvrzení,
  • 6 bodů: 1x úloha na zamyšlení,

Náplň midtermu: kapitoly 8 a 9 ze skript. Početní úlohy budou odpovídat základním úlohám ze sad k příslušným cvičením.

Další odkazy a zdroje

Opakování středoškolské matematiky:

• diplomky na učitelství, například Jan Končel (analytická geometrie), Kateřina Dobiášová (geometrická zobrazení), Jan Sedlák (komplexní čísla) , Lenka Šilarová (komplexní čísla), Marie Motyčková (goniometrické funkce),
• Matematika realisticky,
• předmět Matematický proseminář.

Volně dostupné zdroje v češtině:

• slajdy k přednášce (1 na stránku), (4 na stránku) ze zimního semestru 2014/15,
• stránka Milana Hladíka ke kurzu LA na informatice, včetně další literatury,
• skripta Dalibora Šmída pro LA pro fyziky,
• prof. Jan Slovák má na stránkách učebnici a řešené příklady,
• Motl, Zahradník: Pěstujeme lineární algebru - náročná učebnice s mnoha aplikacemi ve fyzice a geometrii,
• Výborný, Zahradník: Používáme lineární algebru - sbírka řešených příkladů, od základních výpočtů až po netriviální aplikace,
• Matoušek: Šestnáct miniatur - několik pěkných aplikací LA, zejména v teorii grafů,
• Sbírka z matematiky pro 1. ročník informatiky - řešené příklady,
• Kniha Pavola Zlatoše - rozsáhlá, čtivá, s mnoha aplikacemi.

Volně dostupné zdroje v angličtině:

• pěkná je kniha Jima Hefferona,
• kurz lineární algebry na University of California in Davis,
• kniha používaná na Stanfordské univerzitě a stránky ke kurzu Matrix Methods tamtéž,
• Linear Algebra Done Wrong od Sergeje Treila,
• Elementary Linear Algebra od Kennetha Kuttlera,
• Strukturální diagram lineární algebry od Pavla Klavíka,
• Immersive Linear Algebra s pohyblivými obrázky.

On-line kurzy:

• videa Essence of Linear Algebra (v angličtině),
• slavný kurz Linear Algebra prof. Gilberta Stranga na MIT,
• jiný kurs je na serveru Educator.com,
• praktické znalosti LA si můžete později ověřit v kurzu Introduction to Linear Dynamical Systems prof. Stephena Boyda na Stanford University,
• výklad jednotlivých základních pojmů lze najít i na Khan Academy, další obvykle aplikované kurzy lze najít na různých MOOC platformách (např. edX) nebo na Youtube.

Další knihy (off-line):

• J. Bečvář: Lineární algebra, MatfyzPress, 2010,
• J. Kopáček a kol.: Matematická analýza pro fyziky I, Příklady z matematiky pro fyziky II,
• S. Axler, Linear Algebra Done Right, Springer 2015,
• T.S. Blyth, E.F. Robertson, Basic Linear Algebra, Springer Verlag London, 2002,
• S.H. Friedberg, A.J. Insel, L.E.Spěnce, Linear Algebra, Third Edition, Prentice-Hall, Inc., 1997,
• L. Bican, Lineární algebra a geometrie, Academia, Praha 2000,
• J. Bečvář, Vektorové prostory I, II, III, SPN Praha 1978, 1981, 1982,
• J. Bečvář, Sbírka úloh z lineární algebry, SPN Praha 1975.
• L. Bican, Lineární algebra, SNTL Praha 1979,
• L. Bican, Lineární algebra v úlohách, SPN Praha 1979,
• J. Kopáček a kol.: Matematická analýza pro fyziky I, Příklady z matematiky pro fyziky II.