Věta 3.3. Nechť f je ireducibilní polynom nad F_{q} stupně m. Potom f má v F_{q^{m}} nějaký kořen α, prvky α, α^{q}, α^{q^{2}}, …, α^{q^{m−1}} jsou navzájem různé a tvoří množinu všech kořenů polynomu f.

Důkaz. Kořenové rozšíření F_{q} určené polynomem f má q^{m} prvků a tedy se rovná F_{q^{m}}. Je-li β ∈ F_{q^{m}} a f(x) = a_{m}x^{m} + a_{m−1}x^{m−1} + … + a_{1}x + a_{0}, pak f(β)^{q} = (a_{m}x^{m} +…+a_{1}x+a_{0})^{q} = a_{m}^{q}(β^{m})^{q} +a_{m−1}^{q}(β^{m−1})^{q} +…+a_{1}^{q}β^{q} +a_{0}^{q} = a_{m}(β^{q})^{m} + a_{m−1}(β^{q})^{m−1} + … + a_{1}β^{q} + a_{0} = f(β^{q}). Je-li tedy α ∈ F_{q^{m}} kořen polynomu f(x), pak taky α, α^{q}, α^{q^{2}}, …, α^{q^{m−1}} jsou kořeny polynomu f(x).

Zbývá ješte dokázat, že jsou navzájem různé. Nechť α^{q^{i}} = α^{q^{j}} pro nějaké 0 ≤ i < j ≤ m − 1. Umocněním na q^{m−j} dostáváme (α^{q^{i}})^{q^{m−j}} = (α^{q^{j}})^{q^{m−j}}, tedy α^{q^{m−j+i}} = α^{q^{m}} = α. Tedy α je kořenem polynomu α^{q^{m−j+i}} − α a podle Lemma 3.2 platí m|m − j + i. Ovšem m − j + i < m, což je spor. □

Důsledek 3.4. F_{q^{m}} je rozkladové rozšíření F_{q} určené libovolným ireducibilním polynomem f ∈ F_{q}[x].

Důkaz. Polynom f se v F_{q^{m}} rozkládá na součin lineárních činitelů a tedy F_{q^{m}} obsahuje rozkladové rozšíření F_{q} určené polynomem f.

Naopak rozkladové rozšíření F_{q} určené polynomem f musí obsahovat kořenové rozšíření F_{q} určené polynomem f, které se rovná F_{q^{m}}. Rozkladové rozšíření F_{q} určené polynomem f dostaneme jako F_{q}(α, α^{q}, α^{q^{2}}, …, α^{q^{m−1}}) = F_{q}(α) = F_{q^{m}}.

□

Důsledek 3.5. Rozkladová rozšíření F_{q} určená dvěma ireducibilními polynomy téhož stupně jsou izomorfní.

Důkaz. Obě jsou izomorfní s F_{q^{m}}. □

Definice. Jsou-li F_{q^{m}} ⊇ F_{q} konečná tělesa a α ∈ F_{q^{m}}, pak prvky α, α^{q}, α^{q^{2}}, …, α^{q^{m−1}} se nazývají konjugované k α nad F_{q}.

Je-li F_{q} prvotěleso tělesa F_{q^{m}}, pak prvky α, α^{q}, α^{q^{2}}, …, α^{q^{m−1}} se nazývají absolutně konjugované k α nad F_{q}.

Poznámka. Je-li α ∈ F_{q^{m}}, platí α^{q^{m}} − α = 0. Pak pro minimální polynom f(x) prvku α nad F_{q} platí f(x)|x^{q^{m}} − x, tedy pro degf = d platí d|m.

Pokud d = m, jsou prvky α, α^{q}, α^{q^{2}}, …, α^{q^{m−1}} navzájem různé. Je-li d je vlastní

dělitel m, potom \underbrace{α, α^{q}, α^{q^{2}}, …, α^{q^{d−1}}}_{navzájem různé}, α^{q^{d}} = α, α^{q^{d+1}} = α^{q}, …, α^{q^{m−1}} = α^{q^{d−1}},

tedy každý z navzájem různých prvků α, α^{q}, α^{q^{2}}, …, α^{q^{d−1}} se opakuje přesně \frac{m}{d}- krát.

Věta 3.6. Prvky konjugované k α ∈ F_{q^{m}} nad F_{q} mají stejný řád v multiplikativní grupě F_{q^{m}} tj. v grupě F_{q^{m}}^{∗}.

Důkaz. Víme, že je-li G cyklická grupa řádu n a a ∈ G je její generátor, potom řád prvku a^{k} se rovná \frac{n}{NSD (n,k)} . Grupa F_{q^{m}}^{∗} je cyklická grupa řádu q^{m} − 1. Prvek α je generátor nějaké cyklické podgrupy G grupy F_{q^{m}}^{∗} řádu n|q^{m} − 1. Tedy řád α^{q} se rovná \frac{n}{NSD (q,n)} . Protože NSD(q, q^{m} − 1) = 1 a n|q^{m} − 1, platí také NSD(q, n) = 1. Řád α^{q} se proto rovná n. □

Důsledek 3.7. Je-li α ∈ F_{q^{m}} primitivní prvek F_{q^{m}}, pak všechny prvky konjugované k α nad F_{q} jsou také primitivní prvky v F_{q^{m}} (tedy je-li α ∈ F primitivní prvek F, pak všechny prvky konjugované k α nad libovolným podtělesem K ⊆ F jsou také primitivní prvky v F).

Příklad. Uvažujme těleso F_{16} a polynom f(x) = x^{4} + x + 1 ∈ F_{2}[x]. Vezměme kořen α ∈ F_{16} polynomu f(x). Pak prvky konjugované nad F_{2} jsou α, α^{2}, α^{4} = α + 1, α^{8} = (α + 1)^{2} = α^{2} + 1. Prvky konjugované nad F_{4} jsou α, α^{4} = α + 1.

Definice. Automorfismus σ tělesa F_{q^{m}} se nazývá automorfismus nad F_{q}, pokud platí σ(α) = α pro libovolné α ∈ F_{q}.

Poznámka. Každý automorfismus F je automorfismus nad prvotělesem F.

Věta 3.8. Nechť F_{q^{m}} a F_{q} jsou tělesa, pak zobrazení σ_{i} pro i = 0, 1, 2, …, m − 1 definovaná předpisem σ_{i}(α) = α^{q^{i}} pro α ∈ F_{q^{m}} jsou navzájem různá a tvoří všechny automorfismy F_{q^{m}} nad F_{q}.

Důkaz. Pri libovolné i = 0, 1, 2, …, m − 1 platí σ_{i}(αβ) = (αβ)^{q^{i}} = α^{q^{i}}β^{q^{i}} = σ_{i}(α)σ_{i}(β) a σ_{i}(α + β) = (α + β)^{q^{i}} = α^{q^{i}} + β^{q^{i}} = σ_{i}(α) + σ_{i}(β). Dále σ_{i}(α) = 0 právě tehdy, když α = 0. Tedy σ_{i} je automorfismus F_{q^{m}}. Je-li α ∈ F_{q}, potom σ_{i}(α) = α^{q^{i}} = α. Tedy σ_{i} je automorfismus nad F_{q}.

Nechť σ je libovolný automorfismus F_{q^{m}} nad F_{q}, β ∈ F_{q^{m}} primitivní prvek tělesa F_{q^{m}} a f(x) je minimální polynom β nad F_{q}. POlynom f(x) musí mít stupeň m. Označme f(x) = x^{m} + a_{m−1}x^{m−1} + … + a_{1}x + a_{0}. Platí 0 = β^{m} + a_{m−1}β^{m−1} + … + a_{1}β + a_{0} a tedy také 0 = σ(0) = σ(β^{m} + a_{m−1}β^{m−1} + … + a_{1}β + a_{0}) = σ(β^{m}) + σ(a_{m−1})σ(β^{m−1}) + … + σ(a_{1})σ(β) + σ(a_{0}) = σ(β^{m}) + a_{m−1}σ(β^{m−1}) + … + a_{1}σ(β) + a_{0} = f(σ(β)). Platí σ(β) = β^{q^{i}} pro nějaké i = 0, 1, …, m − 1. Pak σ(β^{k}) = (β^{k})^{q^{i}} pro libovolné k = 1, …, q^{m} − 1, neboli σ(α) = α^{q^{i}} = σ_{i}(α) pro každé 0 ≠ α ∈ F_{q^{m}} a rovněž pro α = 0. □

Všimněte si, že platí:

σ = σ_{1}
σ ∘ σ(α) = σ(α^{q}) = α^{q^{2}} = σ_{2}
σ ∘ σ ∘ σ(α) = σ_{3}

Důsledek 3.9. Grupa automorfismů F_{q^{m}} nad F_{q} je cyklická grupa řádu m. Grupa automorfismů F_{p^{k}} je cyklická grupa řádu k.