|
|
|
|
Teaching
Fraktály a chaotická dynamika
Předmět
představuje úvod do
fraktální geometrie
a teorie chaosu. Zkonstruujeme
nejznámější
druhy fraktálů a odvodíme jejich základní vlastnosti. Klíčovým
nástrojem zde bude pojem iterace. Soustředíme se na iterované
funkční systémy (např. Barnsleyho kapradina), iterace reálných
funkcí (Feigenbaumova univerzalita) a iterace komplexních funkcí
(Mandelbrotova a Juliovy množiny). Předmět je přístupný širšímu
okruhu zájemců jak z matematiky, tak i fyziky a informatiky.
|
Úvod
- Fraktály,
soběpodobnost, základní matematické konstrukce, příklady z
přírody.
- Hausdorffova
dimenze, příklady.
|  | |
Iterované funkční
systémy (afinní případ)
- Afinně
soběpodobné množiny, systémy kontrakcí.
-
Existence
atraktoru, 'collage theorem'.
-
Algoritmy
na generování atraktoru, 'chaos game'.
-
'Open
set property', dimenze atraktoru.
|  | |
Iterace reálných
funkcí
- Bifurkační
kaskáda a diagram.
-
Li-Yorkeova
věta, Šarkovského věta.
-
Kvadratický,
resp. unimodální případ – definice chaosu,
existence chaotických zobrazení.
|  | |
Iterace komplexních
funkcí
- Vlastnosti
funkce z2- Bernoulliho posun,
tranzitivita,
citlivost na počáteční podmínky.
-
Juliovy
a Fatouovy
množiny.
-
Kvadratický případ – příklady geometrie Juliových množin,
základní dichotomie, Douady-Hubbardův potenciál, externí
paprsky, petaly.
-
Mandelbrotova množina – základní vlastnosti, potenciál,
základy kombinatoriky Mandelbrotovy množiny.
-
Obecný případ – iterace racionálních funkcí, holomorfní
dynamika.
-
Globální chování Newtonovy metody (reálné i komplexní).
|  | |
Literatura:
- Devaney: An introduction to chaotic dynamical systems.
-
Falconer: Fractal geometry.
-
Barnsley: Fractals everywhere.
|  |
|
